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高三数学第一轮复习课时作业(60)随机事件的概率与古典概型B

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课时作业(六十)B

第 60 讲

随机事件的概率与古典概型

时间:35 分钟

分值:80 分

基础热身 1.在数学考试中,小明的成绩在 90 分及以上的概率是 0.12,在 80~89 分的概率为 0.55,在 70~79 分的 概率为 0.15, 60~69 分的概率为 0.08.则小明在数学考试中取得 80 分及以上成绩的概率与考试不及格(低于 在 60 分)的概率分别是( ) A.0.90,0.10 B.0.67,0.33 C.0.67,0.10 D.0.70,0.10 2 2 2. 若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m, 作为点 P 的坐标, n 则点 P 落在圆 x +y =16 内的概率为( ) 2 7 1 1 A. B. C. D. 9 36 6 4 3.如图 K60-1,三行三列的方阵有 9 个数 aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数 位于同行或同列的概率是( )

?a11 a12 a13? ?a21 a22 a23? ? ? ?a31 a32 a33?
图 K60-1

3 4 1 13 A. B. C. D. 7 7 14 14 4.将 5 本不同的书全发给 4 名同学,每名同学至少有一本书的概率是( ) 15 15 24 48 A. B. C. D. 64 128 125 125 能力提升 5.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩具)先后抛掷 3 次,至少 出现一次 5 点向上的概率是( ) 5 25 31 91 A. B. C. D. 216 216 216 216 6.甲袋中有不可识别的 m 个白球,n 个黑球,乙袋中有不可识别的 n 个白球,m 个黑球(m≠n),现从两袋 中各摸一个球.事件 A: “两球同色” ,事件 B: “两球异色” ,则 P(A)与 P(B)的大小为( ) A.P(A)<P(B) B.P(A)=P(B) C.P(A)>P(B) D.视 m、n 大小确定 7.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,?,18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出的 火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 51 68 306 408 8.以平行六面体 ABCD-A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这 两个三角形不共面的概率 P 为( ) 367 376 192 18 A. B. C. D. 385 385 385 385 9.某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成.现从中随机选出两位作为成 果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为________.(结果用分数表示) 10.从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被 3 整除的概率为 ________. 11.甲、乙二人参加普法知识竞答,共有 10 个不同的题目,其中 6 个选择题,4 个判断题,甲、乙二人依 次各抽一题,则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________. 12.(13 分)为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行

的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅 3 1 2 游团到四川名胜旅游, 其中 是省外游客,其余是省内游客. 在省外游客中有 持金卡, 在省内游客中有 持银卡. 4 3 3 (1)在该团中随机采访 2 名游客,求恰有 1 人持银卡的概率; (2)在该团中随机采访 2 名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.

难点突破 13.(12 分)2011·重庆卷 某市公租房的房源位于 A、B、C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区 的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的,求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 X 的分布列与期望.

课时作业(六十)B 【基础热身】 1. 解析 取得 80 分及以上的概率为: C 0.12+0.55=0.67; 不及格的概率为: 1-0.67-0.15-0.08=0.10. 2. 解析 基本事件的总数是 36, P 落在圆内的基本事件是(1,1), A 点 (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), 8 2 (3,1),(3,2)共 8 个,故所求的概率是 = . 36 9 3 1 1 1 3.D 解析 从中任取三个数共有 C 9=84 种取法,没有同行、同列的取法有 C3C2C1=6,至少有两个数位于 6 13 同行或同列的概率是 1- = ,选 D. 84 14 5 2 4 4.A 解析 将 5 本不同的书全发给 4 名同学共有 4 种发法,其中每名同学至少有一本书的发法有 C5A4,故 2 4 C5A4 15 每名同学至少有一本书的概率是 P= 5 = ,选 A. 4 64 【能力提升】 5.D 解析 抛掷 3 次,共有 6×6×6=216 个事件.一次也不出现 5,则每次抛掷都有 5 种可能,故一次 125 125 91 也未出现 5 的事件总数为 5×5×5=125.于是没有出现一次 5 点向上的概率 P= , 所求的概率为 1- = . 216 216 216 2 6.A 解析 基本事件总数为(m+n) ,记事件 A 为“两球同色” ,则 A 可分为“两球皆白”与“两球皆黑” mn mn 2mn 两个互斥事件,∴P(A)= 2+ 2= 2.而 B 与 A 是对立事件,且 m≠n,所以 P(B)=1-P(A)= (m+n) (m+n) (m+n) m2+n2 2>P(A).故选 A. (m+n) 3 7.B 解析 基本事件总数为 C18=17×16×3. 选出火炬手编号为 an=a1+3(n-1), a1=1 时,由 1,4,7,10,13,16 可得 4 种选法; a1=2 时,由 2,5,8,11,14,17 可得 4 种选法; a1=3 时,由 3,6,9,12,15,18 可得 4 种选法. 4+4+4 1 所以 P= = . 17×16×3 68 3 8.A 解析 由平行六面体的八个顶点,共能作成的三角形有 C 8=56 个,从中任意取出两个三角形的方法 2 数为 C56,由于平行六面体共有六个面和六个对角面,且每一个面上有四个顶点,从中任意取出三个点作成的三 2 角形都是共面三角形,从而任取两个三角形共面的情况有 12C4=72 个,即任意取出的两个三角形恰好共面的概 72 18 率是 P1= 2 = .由于事件 A: “任意取出两个三角形不共面”与事件 B: “任意取出的两个三角形恰好共面”是 C56 385 367 对立事件,故所求概率 P=1-P1= ,选 A. 385 119 9. 解析 方法 1:将事件“两人不属于同一个国家”分拆为下列基本事件:A: “一中一法” B: , “一中 190 一美” C: ; “一美一法” ,则 A、B、C 互斥, 1 1 1 1 1 1 C4C5 C11C5 C11C4 由 P(A)= 2 ,P(B)= 2 ,P(C)= 2 . C20 C20 C20 119 ∴P=P(A)+P(B)+P(C)= . 190 2 2 2 C11+C4+C5 方法 2:设事件 A: “两人不属于同一国家”的对立事件为 A : “两人同属一个国家” P( A )= ,∵ 2 C20 71 = , 190 71 119 ∴P(A)=1- = . 190 190 35 10. 解析 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被 3 整 54 3 2 除. 所有的三位数有 A 10-A9=648 个, 10 个数字分成三组, 将 即被 3 除余 1 的有{1,4,7}、 3 除余 2 的有{2,5,8}, 被

被 3 整除的有{0,3,6,9},若要求所得的三位数被 3 整除,则可以进行如下分类:①三个数字均取第一组,或均 3 3 2 取第二组, 2A3=12 个; 有 ②若三个数字均取自第三组,则要考虑取出的数字中有无数字 0, 共有 A4-A3=18 个; 1 1 1 3 ③若三组各取一个数字,第三组中不取 0,有 C3·C3·C3·A3=162 个;④若三组各取一个数字,第三组中取 0, 420 35 1 1 2 有 C3·C3·2·A2=36 个.这样能被 3 整除的数共有 228 个,不能被 3 整除的数有 420 个,所以概率为 = . 648 54 13 11. 解析 方法 1:设事件 A:甲乙两人中至少有一人抽到选择题.将 A 分拆为 B: “甲选乙判” C: , “甲 15 选乙选” D: , “甲判乙选”三个互斥事件,则 P(A)=P(B)+P(C)+P(D). 1 1 1 1 1 1 C6C4 C6C5 C4·C6 而 P(B)= 1 1,P(C)= 1 1,P(D)= 1 1 , C10C9 C10C9 C10C9 24 30 24 78 13 ∴P(A)= + + = = . 90 90 90 90 15 方法 2: 设事件 A: 甲乙两人中至少有一人抽到选择题, 则其对立事件为 A : 甲乙两人均抽判断题. P( A ) ∴ = C C 12 12 78 13 = ,∴P(A)=1- = = . C C 90 90 90 15 故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为
1 1 4 3 1 1 10 9

13 . 15 12.解答 (1)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡. 设事件 A 为“采访该团 2 人,恰有 1 人持银卡” , 1 1 C6C30 2 则 P(A)= 2 = , C36 7 2 所以采访该团 2 人,恰有 1 人持银卡的概率是 . 7 (2)设事件 B 为“采访该团 2 人,持金卡人数与持银卡人数相等” ,可以分为: 事件 B1 为“采访该团 2 人,持金卡 0 人,持银卡 0 人” ,或事件 B2 为“采访该团 2 人,持金卡 1 人,持银 2 1 1 C21 C9C6 44 卡 1 人”两种情况,则 P(B)=P(B1)+P(B2)= 2 + 2 = , C36 C36 105 44 所以采访该团 2 人,持金卡与持银卡人数相等的概率是 . 105 【难点突破】 13.解答 这是等可能性事件的概率计算问题. 4 2 2 (1)解法一:所有可能的申请方式有 3 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式有 C4·2 种,从而恰有 2 人 2 2 C4·2 8 申请 A 片区房源的概率为 4 = . 3 27 解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验,记“申请 A 片区房源”为事件 A, 1 则 P(A)= . 3 从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为 P4(2) 1 2 2 2 8 2 =C4? ? ? ? = . ?3? ?3? 27 3 1 (2)X 的所有可能值为 1,2,3.又 P(X=1)= 4= , 3 27 2 1 3 2 2 C3(C2C4+C4C2) 14 P(X=2)= = 4 3 27 2 4 ?或P(X=2)=C3(2 -2)=14?, 4 3 27? ? 2 3 1 2 1 C4A3 4 C3C4C2 4 P(X=3)= 4 = ?或P(X=3)= 4 = ?. 3 9? 3 9? 综上知,X 有分布列

1 1 P 27 1 14 4 65 从而有 E(X)=1× +2× +3× = . 27 27 9 27

X

2 14 27

3 4 9


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