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2010年上海市松江区中考数学二模卷及答案

时间:2010-12-08


2010 年松江区初中毕业生学业模拟考试 数学试卷
(满分 150 分,完卷时间 100 分钟)
考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题; 2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一 律无效; 3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中, 有且只有一个选项是正确的, 选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】 1.下列计算中,正确的是 (A) a + a = a ; (B) a ? a = a ; (C) ( a ) = a ; (D) 2a + 3a = 5a .
2 3 5 2 3 6

2010.4

2

3

5

2

2

2

2.在方程 x + 程是

2

2 1 =3x-4 中,如果设 y=x -3x,那么原方程可化为关于 y 的整式方 x ? 3x

2

(A) y + 4 y ? 1 = 0 ;
2

(B) y ? 4 y + 1 = 0 ;
2

(C) y + 4 y + 1 = 0 ;
2

(D) y ? 4 y ? 1 = 0 .
2

3.如果反比例函数 y = 围是 (A) k >

2k ? 1 的图像在每个象限内 y 随 x 的增大而增大,那么 k 的取值范 x
(C) k > 0 ; (D) k < 0 .

1 1 ; (B) k < ; 2 2
2

4.如果将二次函数 y = x ? 1 的图像向左平移 2 个单位,那么所得到二次函数的图像的解 析式是 (A) y = x + 1 ;
2

(B) y = x ? 3 ;
2

(C) y = ( x ? 2) ? 1 ;
2

(D) y = ( x + 2) ?1 .
2

5.下列命题中,正确的是 (A)正多边形都是轴对称图形; (B)正多边形都是中心对称图形; (C)每个内角都相等的多边形是正多边形; (D)正多边形的每个内角等于中心角. 6.下列各式错误的是

(A) 3a ? 3a = 0 ; (C) 3a + 3a = 6a ;

(B) 3 × (3a ) = 9a ; (D) 3( a + b) = 3a + 3b .

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.计算:

1 x =__▲_. ? x ?1 x ?1
x ? 3 的定义域是__▲__ .
3

8.函数 y =

9.因式分解: x ? x =



.

10.方程 x ? 1 = 2 的解是___▲___ . 11.已知正比例函数的图像经过点( ? 2 , 4 ) ,则正比例函数的解析式是 ▲ . 12.某商品原价 a 元,连续两次降价 20% 后的售价为 ▲ 元. .

13.在不大于 20 的正整数中任意取一个正整数能被 5 整除的概率为 ▲ 14.在半径为 13 的圆中,弦 AB 的长为 24,则弦 AB 的弦心距为 ▲ .

15.在梯形 ABCD 中,AD // BC,E、F 分别是两腰 AB、CD 的中点,如果 AD = 4,EF = 6, 那么 BC = __▲__. 16.已知一斜坡的坡比 i = 1 : 3 ,坡面垂直高度为 2 米,那么斜坡长是 ▲ 米. 17.如图,在△ABC 中,D 是 BC 上的点,若 BD︰ DC=1︰ AB = a , AC = b , 2, 那么 AD = ▲ (用 a 和 b 表示) . 18.如图,已知在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,将 ?ABC 绕着点 B 顺时针 旋转,使点 C 落在边 AB 上的点 C′处,点 A 落在点 A′处,则 AA′的长为 ▲ . A A

B

D (第 17 题图)

C C (第 18 题图) B

(本大题共 三、解答题: 本大题共 7 题,满分 78 分) 解答题: ( 19. (本题满分 10 分) 计算: 12 ?
1 2? 3 ? 27 2 + ( 3 + 3) 0 + 1 ? 3 . 2+ 3

20. (本题满分 10 分) 解方程:

4x 2 2 = 1+ ? . x ?9 x?3 x+3
2

21.(本题满分 10 分) 已知:如图,在△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD=AB,E、F 分别是 AC、BD 的中点, 且 FE⊥AC,若 AC=8, tan ∠B = 2 ,求 EF 和 AB 的长. A

E

B

F

D

C

(第 21 题图)

22. (本题满分 10 分,第(1)题 3 分,第(2)题 2 分,第(3)题 2 分,第(4)题 3 分) 有关部门想了解本区 20000 名初中生对世博知识掌握情况, 对全区初中生进行世博知识 统一测试,在测试结果中随机抽取了 400 名学生的成绩进行分析,并将分析结果(分数取整 数)绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图. 频数分布表

频数分布直方图
(人数)

分组(分) 90~100 80~90 70~80 60~70 50~60 合计

频数 100

频率 0.25

240 200 160

80

0.20 0.10

120 80 40

20 400

0.05 1.00
0 50 60 70 80 90 100 (分)

根据以上提供的信息,解答下列问题: (1)补全频数分布表; (2)补全频数分布直方图;

(每组数据含最小值, 不含最大值)

(3)样本中学生成绩的中位数位于频数分布表中 ▲ 分数段内; (4)若 90 分及以上为优秀,请你估计该区有 ▲ 名学生测试成绩为优秀.

23.(本题满分 12 分,第(1)题 5 分,第(2)题 7 分) 已知:如图,在四边形 ABCD 中,点 G 在边 BC 的延长线上,CE 平分∠BCD、 CF 平分∠GCD, EF∥BC 交 CD 于点 O . (1)求证:OE=OF; (2)若点 O 为 CD 的中点, 求证:四边形 DECF 是矩形. B C G A E O F D

(第 23 题图) 24. (本题满分 12 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 3 分,第(2)小题 5 分) 如图,在平面直角坐标系中,直线 y = ?
2

3 x + 3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A 和点 B. 4

二次函数 y = ax ? 4ax + c 的图象经过点 B 和点 C(-1,0) ,顶点为 P. (1)求这个二次函数的解析式,并求出 P 点坐标; (2)若点 D 在二次函数图象的对称轴上,且 AD∥BP,求 PD 的长; (3)在(2)的条件下,如果以 PD 为直径的圆与圆 O 相切,求圆 O 的半径. y

B

C

O

A

x

25. (本题满分 14 分,第(1)小题①4 分,第(1)小题②5 分,第(2)小题 5 分) 如图,正方形 ABCD 中, AB=1,点 P 是射线 DA 上的一动点, DE⊥CP,垂足为 E, EF⊥BE 与射线 DC 交于点 F. (1)若点 P 在边 DA 上(与点 D、点 A 不重合) . ①求证:△DEF∽△CEB; ②设 AP=x,DF=y,求 y 与 x 的函数关系式,并写出函数定义域; (2)当 S ?BEC = 4 S ?EFC 时,求 AP 的长. D E P F C D C

A

B A (第 25 题图)

B

2010 年松江区初中毕业学业模拟考试 初中毕业学业模拟考试 初中毕业学业模拟考试数学参考答案及评分标准

2010.4 一、选择题 1、D; 2、C; 3、B; 4、D; 5、A; 6、A 二、填空题 7、 ? 1 ; 8、 x ≥ 3 ; 9、 x ( x + 1)( x ? 1) ; 10、 x = 5 ; 11、 y = ?2 x ; 12、 0.64a ;

1 2 1 ; 14、5; 15、8; 16、4; 17、 a + b ; 18、 2 5 5 3 3 三、解答题
13、 19.解:原式= 2 3 ? ( 2 ? 3 ) 2 ? 3 3 + 1 + 3 ? 1 ………………………………5 分 = 4 3 ? 7 ……………………………………………………………………5 分 20.解:方程两边同乘以 ( x + 3)( x ? 3) 得:………………………………………1 分

4 x = x 2 ? 9 + 2( x + 3) ? 2( x ? 3) …………………………………………2 分
整理得: x ? 4 x + 3 = 0 …………………………………………………2 分
2

解得: x1 = 1 , x2 = 3 ………………………………………………………3 分 经检验: x2 = 3 是原方程的增根;……………………………………………1 分 所以,原方程的解为 x = 1 . …………………………………………………1 分 21.解:连接 AF,∵AD=AB,F 是 BD 的中点 . ∵ ∴AF⊥BC,∴ ∠AFC = 90° …………………………………………………2 分 在 Rt?AFC 中, ∠AFC = 90° ∵E 是 AC 的中点,∴ EF = ∴

1 AC = 4 ……… ………………………………………3 分 2

又∵FE⊥AC,∴ AF = CF = 4 2 ………… ∵ …………………………………………2 分 ∴ 在 Rt?AFB 中, ∠AFB = 90°

AF = 2 ,∴ BF = 2 2 ,∴ AB = 2 10 ……………………3 分 ∴ BF 22.(1)160;0.4;40……3 分(2)图略;……2 分(3) 80 ~ 90 .……………2 分
∵ tan ∠B = (4)5000………………3 分 23.(1)证明:∵CE 平分∠BCD、CF 平分∠GCD ∴ ∠BCE = ∠DCE , ∠DCF = ∠GCF ……………………………………1 分 ∵EF∥BC,∴ ∠BCE = ∠FEC , ∠EFC = ∠GCF ………………………1 分

∴ ∠DCE = ∠FEC , ∠EFC = ∠DCF ………………………………………1 分 ∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF……………………………………………2 分 (2)∵点 O 为 CD 的中点,∴OD=OC,又 OE=OF ∴四边形 DECF 是平行四边形………………………………………………2 分 ∵CE 平分∠BCD、CF 平分∠GCD

1 1 ∠BCD, ∠DCF = ∠DCG ………………………………2 分 2 2 1 1 ∴ ∠DCE + ∠DCF = (∠BCD + ∠DCG ) = 90° ………………………2 分 2 2 即 ∠ECF = 90° ,∴四边形 DECF 是矩形 ………………………………1 分 3 24.解: (1)因为直线 y = ? x + 3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A 和点 B. 4
∴ ∠DCE = 由 x = 0, 得 y = 3 , y = 0 ,得 x = 4 ,
2

所以 A( 4,0) B (0,3) ……………1 分

把 C (?1,0) B (0,3) 代入 y = ax ? 4ax + c 中,得

?c = 3 , ? ?a + 4 a + c = 0

?c = 3 ? 解得 ? 3 …………………………………2 分 a=? ? 5 ?

3 2 12 x + x + 3 ……………………………1 分 5 5 3 27 27 y = ? ( x ? 2) 2 + ,P 点坐标为 P ( 2, ) ………………………………1 分 5 5 5 3 (2)设二次函数图象的对称轴与直线 y = ? x + 3 交于 E 点,与 x 轴交于 F 点 4 3 把 x = ?2 代入 y = ? x + 3 得, 4 3 3 27 3 39 y = , ∴ E (2, ) ,∴ PE = ? = …………………………1 分 2 2 5 2 10 ∵PE//OB,OF=AF, ∴ BE = AE 39 ……………………………2 分 ∵AD∥BP,∴ PE = DE , PD = 2 PE = 5
∴这个二次函数的解析式为 y = ? (3)∵ E ( 2, ) ,

3 2

∴ OE =

4+

9 5 = ,∴ ED > OE 4 2

设圆 O 的半径为 r ,以 PD 为直径的圆与圆 O 相切时,只有外切,………1 分 ∴r?

39 5 = , 10 2

解得: r1 =

32 7 , r2 = 5 5

……………………………3 分

即圆 O 的半径为

32 7 或 5 5

25.解:1(1)∵ ∠DEC = ∠FEB = 90 o ,∴ ∠DEF = ∠BEC ……………1 分
∵ ∠EDF + ∠DCP = ∠BCE + ∠DCP = 90 ,…………………………1 分
o

∴ ∠EDF = ∠BCE ,∴△DEF∽△CEB …………………………………1 分 (2)∵ Rt?PDC 中, DE ⊥ CP ,∴ ∠CDP = ∠CED = 90 ∴△DEC∽△PDC,∴
o

DE PD ………………………………………1 分 = EC DC DE DF DF …………………………………1 分 ∵△DEF∽△CEB,∴ = = EC CB DC PD DF ∴ ,∴ PD = DF ………………………………………………1 分 = DC DC
∵AP=x,DF=y,∴ PD = 1 ? x, ∴ y = 1 ? x ……………………………1 分

(0 < x < 1)

…………………………………………………………………1 分

(3)∵△DEF∽△CEB,∴

S ?DEF DF 2 = S ?CEB CB 2

(1) …………………………1 分



S ?DEF DF S DF ? CF = (2) ,∴(1) ÷ (2)得 ?cEF = S ?CEF CF S ?CEB CB 2

……………1 分

又∵ S ?BEC = 4 S ?EFC ,∴ 当 P 点在边 DA 上时, 有

S ?cEF DF ? CF 1 = = ……………………………1 分 2 S ?CEB CB 4

(1 ? x) ? x 1 1 = ,解得 x = ………………………………………………2 分 1 4 2 2 ?1 ……………………………………………1 分 2

当 P 点在边 DA 的延长线上时,

(1 + x) ? x 1 = ,解得 x = 1 4


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