17.1一元二次方程的概念

问题1： 某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长 为900米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿 地的长和宽各为多少？ 解：设长方形绿地的宽为x米，得 2?x ? x ? 10? ? 900 整理可得： 4 x ? 20 ? 900 …… （1） 变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面 积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那 么绿地的长和宽各为多少？ 解：设长方形绿地的宽为x米，得 x?x ? 10? ? 900 整理可得： x 2 ? 10x ? 900 …… （2） 4 x ? 20 ? 900 x ? 10x ? 900 2 思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？ 思考2：方程（1）和方程（2）有什么共同点呢？ 思考3：你能类比一元一次方程给方程（2）起个 名称吗？ 思考4：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是 一元二次方程吗？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程，叫做一元二次方程。 一元一次方程与一元二次方 程有什么区别与联系？ 整式方程 一元一次方程 一般式 一元二次方程 2+bx+c=0 (a≠0） ax ax=b (a≠0） 都是整式方程，只含有一个未知数 相同点 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 一元二次方程的概念 （默1） ? 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 即：一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程; ?一元二次方程的一般形式 2 “=”的右 边必须整理 成0. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把 ax ? bx ? c ? 0 为什么要限制a≠0， (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式 . b,c可以为零吗？ ax ? bx ? c ? 0 2 二次 项 一次 项 a x 2+ b x + c = 0 (a ≠ 0) （默2） a是二次项系数 b是一次项系数 常数项 一元二次方 程的一般形式 完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0, b≠0, c≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 不完全的 ax2+bx=0 (a≠0,b≠0) 2+c=0 (a≠0,c≠0) ax 一元二次方程 ax2=0 (a≠0) 判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程 判断下列方程是否为一元二次方程？ 例1 ： 化为一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个 条件进行判别。 2 （默3） 3 2 (1)x +x =36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0 2 ? ? (2) x + x =36 ? ? 1 2 (4) 2 ? ? 0 x x 2 ? (7)4x ?1 ? (2 x ? 3) (8)( x ) ? 2 x ? 6 ? 0 2 x (6) ? 6 ? 3 2 ?（默3） ? 下列方程中哪些是一元二次方程？ (1) x ? 2 x ? 5 ? 0 (2)4 x ? 3 y ?1 ? 0 2 2 可能为0 (3)ax ? bx ? c ? 0 2 (4) x( x ? 1) ? 2 ? 0 1 (5)a ? ? 0 a 2 是分式 (6)(m ? 2) ? 1 2 是二次 根式 (7) x ? x ? 5 2 (8)2x