17.1一元二次方程的概念_图文

问题1： 某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长 为900米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿 地的长和宽各为多少？ 解：设长方形绿地的宽为x米，得 2?x ? x ? 10? ? 900 整理可得： 4 x ? 20 ? 900 …… （1） 变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面 积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那 么绿地的长和宽各为多少？ 解：设长方形绿地的宽为x米，得 x?x ? 10? ? 900 整理可得： x 2 ? 10x ? 900 …… （2） 4 x ? 20 ? 900 x ? 10x ? 900 2 思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？ 思考2：方程（1）和方程（2）有什么共同点呢？ 思考3：你能类比一元一次方程给方程（2）起个 名称吗？ 思考4：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是 一元二次方程吗？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程，叫做一元二次方程。 一元一次方程与一元二次方 程有什么区别与联系？ 整式方程 一元一次方程 一般式 一元二次方程 2+bx+c=0 (a≠0） ax ax=b (a≠0） 都是整式方程，只含有一个未知数 相同点 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 一元二次方程的概念 （默1） ? 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 即：一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程; ?一元二次方程的一般形式 2 “=”的右 边必须整理 成0. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把 ax ? bx ? c ? 0 为什么要限制a≠0， (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式 . b,c可以为零吗？ ax ? bx ? c ? 0 2 二次 项 一次 项 a x 2+ b x + c = 0 (a ≠ 0) （默2） a是二次项系数 b是一次项系数 常数项 一元二次方 程的一般形式 完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0, b≠0, c≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 不完全的 ax2+bx=0 (a≠0,b≠0) 2+c=0 (a≠0,c≠0) ax 一元二次方程 ax2=0 (a≠0) 判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程 判断下列方程是否为一元二次方程？ 例1 ： 化为一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个 条件进行判别。 2 （默3） 3 2 (1)x +x =36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0 2 ? ? (2) x + x =36 ? ? 1 2 (4) 2 ? ? 0 x x 2 ? (7)4x ?1 ? (2 x ? 3) (8)( x ) ? 2 x ? 6 ? 0 2 x (6) ? 6 ? 3 2 ?（默3） ? 下列方程中哪些是一元二次方程？ (1) x ? 2 x ? 5 ? 0 (2)4 x ? 3 y ?1 ? 0 2 2 可能为0 (3)ax ? bx ? c ? 0 2 (4) x( x ? 1) ? 2 ? 0 1 (5)a ? ? 0 a 2 是分式 (6)(m ? 2) ? 1 2 是二次 根式 (7) x ? x ? 5 2 (8)2x ? x ? 3? ? 2x ?1 2 化简为： ? 6 x ? 1. (1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有：____________ 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 例题讲解 数项都是包括符号的 例题讲解 [例2] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数： 2 (1) 3x( x ? 1) ? 5( x ? 2) (2) 解：3x 2 2 ? 3x ? 5 x ? 10 x ?0 3x ? 3x ? 5x ? 10 ? 0 2 3x ? 8x ? 10 ? 0 二次项： 3x 2，其系数为 3 一次项：－ 8x，其系数为－ 8 二次项：x 2、系数为 1 一次项： 0、系数为 0 常数项： 0 常数项为－ 10 2 ax + bx + c = 0 (a≠0) 二次项系数 一次项系数 常数项 注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必 须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未 知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写 一次项,最后是常数项。 例3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次 项系数、一次项系数和常数项： 一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项 方 2 程 3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6 3 3x2－5 5x＋1＝0 3 －5 1 1x2 ＋1 x－8＝0 7x2 － 4＝0 1 1 －8 4-7x =0 2 7 0 －4 抢答： 一元二次方程 二次项 一次项 常数项 系数 系数 2x +x+4=0 2 2 -4 3 1 2 -1 0 1-m 4 0 -1 -5 -m -10 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0 (m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3) 2 2 2 2 4 m-3 3 3x(x-1)=5(x+2) -8 －2bx+a=0, ①在什么条件下此方程为一元二次方程？ ②在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解： ①由题意得，2a－4≠0，解之得a≠2 ∴当a≠2时是一元二次方程； ② 2a－4=0 a=2 由题意得， －2b≠0 解之得 b≠0 ∴当a＝2且b≠0时是一元一次方程. 例4： 方程(2