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17.1一元二次方程的概念_图文

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问题1: 某小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟周长 为900米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿 地的长和宽各为多少? 解:设长方形绿地的宽为x米,得 2?x ? x ? 10? ? 900 整理可得: 4 x ? 20 ? 900 …… (1) 变式:某小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面 积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那 么绿地的长和宽各为多少? 解:设长方形绿地的宽为x米,得 x?x ? 10? ? 900 整理可得: x 2 ? 10x ? 900 …… (2) 4 x ? 20 ? 900 x ? 10x ? 900 2 思考1:方程(2)与一元一次方程的区别在哪里? 思考2:方程(1)和方程(2)有什么共同点呢? 思考3:你能类比一元一次方程给方程(2)起个 名称吗? 思考4:根据以上讨论的结果,你能说出什么方程是 一元二次方程吗? 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的整式方程,叫做一元二次方程。 一元一次方程与一元二次方 程有什么区别与联系? 整式方程 一元一次方程 一般式 一元二次方程 2+bx+c=0 (a≠0) ax ax=b (a≠0) 都是整式方程,只含有一个未知数 相同点 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 一元二次方程的概念 (默1) ? 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元),并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 即:一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程; ?一元二次方程的一般形式 2 “=”的右 边必须整理 成0. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把 ax ? bx ? c ? 0 为什么要限制a≠0, (a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式 . b,c可以为零吗? ax ? bx ? c ? 0 2 二次 项 一次 项 a x 2+ b x + c = 0 (a ≠ 0) (默2) a是二次项系数 b是一次项系数 常数项 一元二次方 程的一般形式 完全的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0, b≠0, c≠0) ax2+bx+c=0 (a≠0) 不完全的 ax2+bx=0 (a≠0,b≠0) 2+c=0 (a≠0,c≠0) ax 一元二次方程 ax2=0 (a≠0) 判断一个方程是否是一元二次方程,关键是要将方程 判断下列方程是否为一元二次方程? 例1 : 化为一般式,然后根据一元二次方程必须同时满足的三个 条件进行判别。 2 (默3) 3 2 (1)x +x =36 (3)x+3y=36 (5) x+1=0 2 ? ? (2) x + x =36 ? ? 1 2 (4) 2 ? ? 0 x x 2 ? (7)4x ?1 ? (2 x ? 3) (8)( x ) ? 2 x ? 6 ? 0 2 x (6) ? 6 ? 3 2 ?(默3) ? 下列方程中哪些是一元二次方程? (1) x ? 2 x ? 5 ? 0 (2)4 x ? 3 y ?1 ? 0 2 2 可能为0 (3)ax ? bx ? c ? 0 2 (4) x( x ? 1) ? 2 ? 0 1 (5)a ? ? 0 a 2 是分式 (6)(m ? 2) ? 1 2 是二次 根式 (7) x ? x ? 5 2 (8)2x ? x ? 3? ? 2x ?1 2 化简为: ? 6 x ? 1. (1) ( 4) ( 6) 是一元二次方程的有:____________ 二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 例题讲解 数项都是包括符号的 例题讲解 [例2] 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们 的二次项、一次项和常数项及它们的系数: 2 (1) 3x( x ? 1) ? 5( x ? 2) (2) 解:3x 2 2 ? 3x ? 5 x ? 10 x ?0 3x ? 3x ? 5x ? 10 ? 0 2 3x ? 8x ? 10 ? 0 二次项: 3x 2,其系数为 3 一次项:- 8x,其系数为- 8 二次项:x 2、系数为 1 一次项: 0、系数为 0 常数项: 0 常数项为- 10 2 ax + bx + c = 0 (a≠0) 二次项系数 一次项系数 常数项 注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必 须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未 知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写 一次项,最后是常数项。 例3.把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它的二次 项系数、一次项系数和常数项: 一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项 方 2 程 3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6 3 3x2-5 5x+1=0 3 -5 1 1x2 +1 x-8=0 7x2 - 4=0 1 1 -8 4-7x =0 2 7 0 -4 抢答: 一元二次方程 二次项 一次项 常数项 系数 系数 2x +x+4=0 2 2 -4 3 1 2 -1 0 1-m 4 0 -1 -5 -m -10 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0 (m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3) 2 2 2 2 4 m-3 3 3x(x-1)=5(x+2) -8 -2bx+a=0, ①在什么条件下此方程为一元二次方程? ②在什么条件下此方程为一元一次方程? 解: ①由题意得,2a-4≠0,解之得a≠2 ∴当a≠2时是一元二次方程; ② 2a-4=0 a=2 由题意得, -2b≠0 解之得 b≠0 ∴当a=2且b≠0时是一元一次方程. 例4: 方程(2

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共同特点: (1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2 二、 一元二次方程的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的...