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南京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明

时间:2013-10-07


南京大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.若 P ? 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

a ? a ? 7 , Q ? a ? 3 ? a ? 4 , (a ? 0) 则 P、Q 的大小关系是(
B.P=Q D.由 a 的取值确定

)

A.P>Q C.P<Q 【答案】C A. B. C. D.

2.如果正数 a, b, c, d 满足 a ? b ? cd

) ? 4 ,那么( ab ? c ? d 且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一 ab ? c ? d 且等号成立时 a, b, c, d 的取值唯一 ab ? c ? d 且等号成立时 a, b, c, d 的取值不唯一 ab ? c ? d 且等号成立时 a, b, c, d 的取值不唯一

【答案】A 3.用反证法证明命题: “如果 a ? b ? 0 ,那么 a ? b ”时,假设的内容应是(
2 2

)

A. a ? b
2

2

B. a ? b
2 2

2

C. a ? b
2

2

D. a ? b 且 a ? b
2 2

2

【答案】C 4.平面内有一长度为 2 的线段 AB 和一动点 P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( A.[1,4]; B.[2,6]; C.[3,5 ]; D. [3,6]. )

【答案】C 5.下面哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较合适( ) A.三角形 B.平行四边形 C.梯形 D.矩形 【答案】B 6.下边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形,根据图中的数构成 的规律,a 所表示的数是( A.2 B.4 ) C.6 D. 8

【答案】C 7.由

7 5 9 8 13 9 b?m b 与 之间大小关系为( ? , ? , ? , ?若 a>b>0,m>0,则 10 8 11 10 25 21 a?m a
B.前者大 C.后者大 D.不确定

)

A.相等 【答案】B

8.用反证法证明命题: a, b, c, d ? R , a ? b ? 1, c ? d “ 少有一个负数”时的假设为( )

? 1 ,且 ac ? bd ? 1 ,则 a, b, c, d 中至

A. a, b, c, d 中至少有一个正数 C. a, b, c, d 中至多有一个负数

B. a, b, c, d 全为正数 D. a, b, c, d 全都大于等于 0

【答案】D 9.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密), 已知加密规则为:明文 a,b,c,d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得到的明文为( ) A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7 【答案】C 2S 10.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= ;类 a+b+c 比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为 R, 四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=( ) V 2V A. B. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 3V 4V C. D. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 【答案】C 11.用反证法证明命题“ a,b ? N ,如果 ab 可被 5 整除,那么 a ,b 至少有 1 个能被 5 整除.则 假设的内容是( ) B. a , b 都不能被 5 整除 D. a , b 有 1 个不能被 5 整除 A. a , b 都能被 5 整除 C. a 不能被 5 整除 【答案】B 12.类比“两角和与差的正余弦公式”的形式,对于给定的两个函数, S ( x) ?

a x ? a? x , 2

a x ? a? x ,其中 a ? 0 ,且 a ? 1,下面正确的运算公式是( 2 ① S ( x ? y) ? S ( x)C( y) ? C ( x)S ( y) ; ② S ( x ? y) ? S ( x)C( y) ? C ( x)S ( y) ; ③ C( x ? y) ? C( x)C( y) ? S ( x)S ( y) ; ④ C( x ? y) ? C( x)C( y) ? S ( x)S ( y) ; C ( x) ?
A.①③ 【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) B.②④ C.①④

)

D.①②③④

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为 4 的球的两条弦 AB、CD 的长度分别等于 2 7 、

4 3 ,每条弦的两端都在球面上运动,则两弦中点之间距离的最大值为
【答案】5 14.某同学在证明命题“ 要证明 7 ?



7 ? 3 ? 6 ? 2 ”时作了如下分析,请你补充完整.

3 ? 6? 2,

只需证明____________,只需证明____________,

+ 展开得 9 2 14 ? 9 ? 2 18 ,
所以原不等式: 【答案】 7 ? 砖 块.

即 14 ? 18 ,

只需证明 14 ? 18 ,____________,

7 ? 3 ? 6 ? 2 成立.
2 2 2 ? 6 ? 3 , ( 7 ? 2 ) ? ( 6 ? 3 ) ,因为 14 ? 18 成立。

15.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第 23 个图案中需用黑色瓷

【答案】100 16.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝,第二件首饰是 由 6 颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图 1 所示的正六边形,第三件首饰如图 2,第四件 首饰如图 3,第五件首饰如图 4,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量 的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第 7 件首饰上应有____________颗珠宝。

【答案】91 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知 a 是整数, a 2 是偶数,求证: a 也是偶数. 【答案】 (反证法)假设 a 不是偶数,即 a 是奇数. 设 a ? 2n ? 1(n ?Z) ,则 a2 ? 4n2 ? 4n ? 1 .

∵ 4(n2 ? n) 是偶数,
∴4n2 ? 4n ? 1 是奇数,这与已知 a 2 是偶数矛盾. 由上述矛盾可知, a 一定是偶数. 18. 有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的 a,b,c,?,z 的 26 个字母(不分大小写), 依次对应 1,2,3,?,26 这 26 个自然数,见如下表格:

给出如下变换公式:

?x ?1 ? 2 ( x ? N ,1 ? x ? 26, x不能被2整除) ? ' X ?? ? x ? 13( x ? N ,1 ? x ? 26, x能被2整除) ?2 ?
8 5+1 将明文转换成密文,如 8→ +13=17,即 h 变成 q;如 5→ =3,即 e 变成 c. 2 2 ①按上述规定,将明文 good 译成的密文是什么? ②按上述规定,若将某明文译成的密文是 shxc,那么原来的明文是什么? 【答案】①g→7→ 7+1 =4→d; 2 15+1 o→15→ =8→h; 2 d→o;

则明文 good 的密文为 dhho ②逆变换公式为

?2 x ' ? 1( x ' ? N ,1 ? x ' ? 13) ? x?? ' ?2 x ? 26 ( x ' ? N ,14 ? x ' ? 26 ) ?
则有 s→19→2×19-26=12→l; x→24→2×24-26=22→v; 故密文 shxc 的明文为 love 19.设 {a n } 和 {b n } 均为无穷数列. (1)若 {a n } 和 {b n } 均为等比数列,试研究: {a n ? bn } 和 {a n bn } 是否是等比数列?请证明你 的结论;若是等比数列,请写出其前 n 项和公式. (2)请类比(1) ,针对等差数列提出相应的真命题(不必证明) ,并写出相应的等差数列的前 n 项 和公式(用首项与公差表示) . 【答案】 (1)①设 c n ? a n ? bn , 则设 c n
2
n n n ? c n ?1c n ?1 ? (a1 q1n?1 ? b1 q 2 ?1 ) 2 ? (a1 q1n ? b1 q 2 ) (a1 q1n ? 2 ? b1 q 2 ? 2 )

h→8→2×8-1=15→o;

c→3→2×3-1=5→e

n ? a1b1 q1n ? 2 q 2 ? 2 (q1 ? q 2 ) 2

(或

c n ?1 a n ?1 ? bn ?1 a q1n ? b q n ? ? 1 n ?1 1 2 ?1 ) n cn a n ? bn a1 q1 ? b1 q 2
2 ? q 2 时,对任意的 n ? N , n ? 2 , c n ? c n ?1 c n ?1 (或

当 q1

c n ?1 ? q1 )恒成立, cn

故 {a n ? bn } 为等比数列;

?n(a1 ? b1 ), q1 ? q 2 ? 1, ? S n ? ? (a1 ? b1 )(1 ? q1n ) , q1 ? q 2 ? 1. ? 1 ? q1 ?

当 q1

? q 2 时,
2

证法一:对任意的 n ? N , n ? 2 , c n 证法二: c 2
2

? c n ?1c n ?1 , {a n ? bn } 不是等比数列.

2 ? c1c3 ? a1b1[2q1q 2 ? (q12 ? q 2 )] ? 0 , {a n ? bn } 不是等比数列.

②设 d n ? a n bn , 对于任意 n ? N ,
*

d n ?1 a n ?1bn ?1 ? ? q1 q 2 , {a n bn } 是等比数列. dn a n bn

?n(a1b1 ), q1 q 2 ? 1, ? n S n ? ? a1b1 (1 ? q1n q 2 ) , q1 q 2 ? 1. ? 1? q q 1 2 ?
(2)设 {a n } , {b n } 均为等差数列,公差分别为 d 1 , d 2 ,则: ① {a n ? bn } 为等差数列; S n ? (a1 ? b1 )n ?

n(n ? 1) (d1 ? d 2 ) 2

②当 d 1 与 d 2 至少有一个为 0 时, {a n bn } 是等差数列,

n(n ? 1) a1d 2 ; 2 n(n ? 1) 若 d 2 ? 0 , S n ? a1b1 n ? b1d1 . 2
若 d1

? 0 , S n ? a1b1n ?

③当 d 1 与 d 2 都不为 0 时, {a n bn } 一定不是等差数列. 20.求证:

6? 5 > 2 2? 7 6 ? 5 >2 2 ? 7

【答案】要证: 只需: 6 ? 即证:

? 6 ? 7 ? ?2
2

7 >2 2 ? 5 成立,
>

2? 5

?

2

只需证:13+2 即证:

42 > 13+2 40

42>40

∵42>40 显然成立, ∴

6 ? 5 >2 2 ? 7 证毕。

21.△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列, a, b, c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边,求证:

1 1 3 ? ? 。 a?b b?c a?b?c

【答案】要证 即证

1 1 3 a ?b?c a?b?c ,即需证 ? ? ? ?3。 a?b b?c a?b b?c a?b?c

c a 2 2 2 ? ? 1 。又需证 c(b ? c) ? a(a ? b) ? (a ? b)(b ? c) ,需证 c ? a ? ac ? b a?b b?c

∵△ABC 三个内角 A、B、C 成等差数列。∴B=60°。 由余弦定理,有 b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos 60? ,即 b2 ? c2 ? a2 ? ac 。 ∴ c2 ? a2 ? ac ? b2 成立,命题得证。 22.已知

x ? 1, y ? 1 ,用分析法证明: x ? y ? 1 ? xy .
x ? y ? 1 ? xy ,即证 ?x ? y ?2 ? ?1 ? xy ?2 ,
2 2

【答案】要证
2 2

即证 x ? y ? 1 ? x y , 即证 x ? 1 1 ? y
2

? ?

?? ??

2

?? 0 , ? ? 0 ,不等式得证.

因为

x ? 1, y ? 1 ,所以 x 2 ? 1 ? 0,1 ? y 2 ? 0 ,
2 2

所以 x ? 1 1 ? y


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