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2013年全国高中数学联赛江苏赛区复赛

时间:2016-04-25


全国高中数学联赛江苏赛区 一试(1)
一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1. 若函数 f(x)= 3x2+7 (x∈R), g(x)=x2+ 的最小值是 16 -1 (x∈R), 则函数 g(f(x)) x +1
2

? a a ?0≤x≤2π , 2.在区域? 中随机取一点 P(a,b),满足 b>(sin +cos )2 的概率 2 2 ?0≤y≤3 ?





1 1 3.设[x]表示不超过实数 x 的最大整数.若[x- ]·[x+ ]是质数,则 x 的取值 2 2 范围是

4.若 x,y 是两个不同的实数,x2=2x+1,y2=2y+1,则 x6+y6=

.

5. 已知 F1, F2 分别为椭圆 C: + =1 的左, 右焦点, 点 P 在椭圆 C 上. 若△PF1F2 19 3 的面积为 3,则∠F1PF2= .

x2

y2

6.已知半径为 3 的球面上有 A,B,C,D 四点.若 AB=3,CD=4,则四面体 ABCD 体积的最大值是 .

7.已知 a1,a2,?,a10 与 b1,b2,?,b10 为互不相等的 20 个实数.若方程 |x-a1|+|x-a2|+?+|x-a10|=|x-b1|+|x-b2|+?+|x-b10|有有限多个 解,则此方程解的个数最多有 .

8.若 11 ?1 除以 3102 的余数为 1,则最小的正整数 n 为 ?
n ?1



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二、 解答题 (本题满分 16 分) 已知数列{Fn}满足 F1=F2=1, Fn+2=Fn+1+Fn, n∈N*. 若

Fa,Fb,Fc,Fd 分别是一个凸四边形的边长,其中 a<b<c<d,求 d-b 的值.

三、解答题(本题满分 20 分)设动点 P 在直线 l1:y=x-4 上运动,过点 P 作 圆 C:x2+y2=1 的两条切线 PA、PB,A、B 为切点.求线段 AB 中点 M 的轨迹方程.

四、解答题(本题满分 20 分)若实数 a,b,c 满足 a2+b2 ≤c≤1,求 a+b+c 的最大值和最小值.

第 2 页


一、 (本题满分 40 分)



如图,PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B,过点 P 的割线交⊙O 于点 C、D,PA 的 中点为 M,CM 交 AB 于点 E.求证:DE∥PA.
A M P E D B (第 1 题图) O

C

二、 (本题满分 40 分) 设正实数 a, b, c 满足 a+b= ab+9, b+c= bc+16, c+a= ca+25. 求

a+b+c.

第 3 页

三、 (本题满分 50 分) 圆周上依次排列着 A1、A2、A3、?、A2013 共 2013 个不同的点,每个点染红、 蓝、绿三色之一.在以任意两个同色点为端点圆弧上,与此两端点异色的点的个 数为偶数的染色方法称为“好染色”方法.问所有“好染色”方法有多少种?

四、 (本题满分 50 分) 设 p 为奇素数,整数 a1,a2,a3,?,ap-1 均与 p 互素.若对 k=1,2,?,

k k k p-2,均有 ak 1+a2+a3+?+ap-1≡0(mod p).
证明:a1,a2,a3,?,ap-1 除以 p 的余数互不相同.

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