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高考数学所有公式及结论总结大全

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高考数学常用公式及结论 200 条

集合
? ? 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 德摩根公式

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B .

?

包含关系的等价条件

A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R

1

card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B)

?

容斥原理(CardA 是集合 A 中元素的个数)

card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C ) .

?

集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2 有 2 –2 个.
n

n

个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2

n

n

–1 个;非空的真子集

?

集合 A 中有 M 个元素,集合 B 中有 N 个元素,则可以构造 M*N 个从集合 A 到集合 B 的映射;

2

二次函数,二次方程
? 二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . ? 解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 M ?N M ?N |? ? | f ( x) ? 2 2 f ( x) ? N ?0 ? M ? f ( x) 1 1 . ? ? f ( x) ? N M ? N
? 方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必要而不 是充分条件. 特别地, 方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 (k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,
2

?

k ? k2 b ? 1 , 2a 2 k ? k2 b ?? ? k2 . 或 f (k 2 ) ? 0 且 1 2 2a
或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ? ? 闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 得,具体如下表:

b 处及区间的两端点处取 2a

二次函数在闭区间

?m, n? 上的最大、最小值问题探讨

3

设 f ?x? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ?a ? 0? ,则二次函数在闭区间 ?m, n ? 上的最大、最小值有如下的分布情况:

m?n??

b 2a

m??

b b ? n即? ? ?m, n? 2a 2a

?

b ?m?n 2a

f ?x ?max ? f ?m ? f ?x ?min ? f ?n ?

f ?x ?max ? max? f ?n ?, f ?m?? ? b ? f ?x ?min ? f ? ? ? ? 2a ?

f ?x ?max ? f ?n ? f ?x ?min ? f ?m?

对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: (1)若 ? (2)若 ?

b ? ? ? ? ? b ? ? b ? ? ?m, n? ,则 f ?x ?max ? max? f ?m?, f ? ? ?, f ?n?? , f ?x ?min ? min? f ?m?, f ? ? ?, f ?n?? ; 2a ? 2a ? ? 2a ? ? ? ? ?

b ? ?m, n? ,则 f ?x?max ? max? f ?m?, f ?n??, f ?x?min ? min? f ?m?, f ?n?? 2a

另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开 x 轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开 口向下时,自变量的取值离开 x 轴越远,则对应的函数值越小。

? 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况
2

分 布 情 况

两个负根即两根都小于 0

两个正根即两根都大于 0

一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

4

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

a ? f ?0? ? 0



表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况,注意:用韦达定理也可以)

设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为 f ? x ? ? ax ? bx ? c ? 0 ,
2
2

方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)

5

分 布 情 况

两根都小于 k 即

两根都大于 k 即

一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k

k

k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0

a ? f ?k ? ? 0



表二: (两根与 k 的大小比较)
6

7

分 布 情 况

两根都在 ?m, n? 内

两根有且仅有一根在 ?m, n? 内

一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论

——————

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0

a



8

表三: (根在区间上的分布)
根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 ?m, n? 外,即在区间两侧 x1 ? m, x2 ? n , (图形分别如下) 需满足的条件是

(1) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ; ? ? f ? n? ? 0 ? ? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0

(2) a ? 0 时, ?

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在 ?m, n? 内有以下特殊情况:

1?

若 f ? m? ? 0 或 f ? n ? ? 0 , 则此时 f ? m??f ? n ? ? 0 不成立, 但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n ,

可 以 求 出 另 外 一 根 , 然 后 可 以 根 据 另 一 根 在 区 间 ?m, n? 内 , 从 而 可 以 求 出 参 数 的 值 。 如 方 程

mx2 ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 在区间 ?1,3? 上有一根,因为 f ?1? ? 0 ,所以 mx2 ? ? m ? 2? x ? 2 ? ? x ?1?? mx ? 2? ,另
一根为

2 2 2 ,由 1 ? ? 3 得 ? m ? 2 即为所求; m 3 m

2?

方程有且只有一根,且这个根在区间 ?m, n? 内,即 ? ? 0 ,此时由 ? ? 0 可以求出参数的值,然后再将参数

的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程

x2 ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 有 且 一 根 在 区 间 ? ?3,0? 内 , 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 : ① 由 f ? ?3??f ? 0? ? 0 即

?14m ?15?? m ? 3? ? 0 得 出 ?3 ? m ? ? 14 ; ② 由 ? ? 0 即 16m2 ? 4 ? 2m ? 6? ? 0 得 出 m ? ?1 或 m ? 2 , 当
m ? ?1 时,根 x ? ?2 ? ? ?3,0? ,即 m ? ?1 满足题意;当 m ?
综上分析,得出 ?3 ? m ? ?

15

3

3 3 时,根 x ? 3 ? ? ?3,0? ,故 m ? 不满足题意; 2 2

15 或 m ? ?1 14
9

? 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1) 在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,??? 不同)上含参数的二次不等式

f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) .

(2) 在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0( t 为参数 ) 恒成立的充要条件是

f ( x, t )man ? 0(x? L ).

?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . ?c ? 0 ?b ? 4ac ? 0 ?
4 2

简易逻辑

?

真值表 p q 真 真 真 假 假 真 假 假

非p 假 假 真 真

p或q 真 真 真 假

p且q 真 假 假 假

10

?

常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

?

四种命题的相互关系 互逆 互 互 为 逆 否 为 逆 否 互逆 逆否命题 若非q则非p 互 否 逆命题 若q则p

原命题 若p则q 互 否

否命题 若非p则非q

? 充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.

函数 ? 函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

11

函数. ?

如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数 , 则在公共定义域内 , 和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数 ; 如果函数

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.
? 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;在对称区间上,奇函数的单调性相同,欧函数相 反; ,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这 个函数是偶函数,如果一个奇函数的定义域包括 0,则必有 f(0)=0; ? 若 函 数 y ? f ( x ) 是 偶 函 数 , 则 f ( x ? a ) ? f ( ? x ? a ) ; 若 函 数 y ? f ( x ? a) 是 偶 函 数 , 则

f ( x ? a) ? f (? x ? a) .
? 对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是函数 x ? 个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? ?

a?b 对称. 2 a 若 f ( x) ? ? f (? x ? a) , 则 函数 y ? f ( x) 的 图 象关 于 点 ( ,0) 对 称 ; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) , 则 函 数 2 y ? f ( x) 为周期为 2 a 的周期函数.
多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性

a?b ;两 2

?

多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. ? 函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x )

? f (2a ? x) ? f ( x) .
(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .

a?b 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx ) 2

? 两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2m

(3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. ? 若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;若将曲线

f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象.
? 互为反函数的两个函数的关系 若函数 y ? f (kx ? b) 存在反函数,则其反函数为 y ?

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
?

1 ?1 [ f ( x) ? b] ,并不是 y ? [ f ?1 (kx ? b) ,而函数 k

y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ?

1 [ f ( x ) ? b] 的反函数. k

? 几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c .
x (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .

(3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f (1) ? ? .
?
'

(5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

12

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ? 1. x

? 几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,或 f ( x ? a) ? 或 f ( x ? a) ? ?

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x)

1 1 ( f ( x) ? 0) ,或 ? f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x ? a ), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f ( x) 的周期 T=2a; 2 f ( x) 1 (3) f ( x) ? 1 ? ( f ( x) ? 0) ,则 f ( x) 的周期 T=3a; f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 f ( x ) 的周期 T=4a; 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f ( x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x ) 的周期 T=6a.

指数与对数

?

分数指数幂
m

(1) a n ? ?

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).(2) a

?

m n

?

1 a
m n

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

根式的性质
n

(1) ( n a )n ? a .(2)当 n 为奇数时, n an ? a ;当 n 为偶数时, a n ?| a |? ? ? (1) 有理指数幂的运算性质

?a, a ? 0 . ??a, a ? 0

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . r s rs (2) (a ) ? a (a ? 0, r, s ? Q) . r r r (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数 幂都适用. ? 指数式与对数式的互化式
p

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
? 对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
? 对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;(2) log a

M ? log a M ? log a N ; N
13

(3) loga M n ? n loga M (n ? R) . ? ?
2 设 函 数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) , 记 ? ? b ? 4ac . 若 f ( x) 的 定 义 域 为 R , 则 a ? 0 , 且

? ? 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验.
对数换底不等式及其推广



1 ,则函数 y ? logax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为增函数. a a 1 1 (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? logax (bx) 为减函数. a a
若a ? 0,b ? 0, x ? 0 , x ? 推论:设 n ? m ? 1, p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) logm? p (n ? p) ? logm n .(2) log a m log a n ? log a ? 平均增长率的问题
2

m?n . 2

如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1 ? p) x . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2

数列
? 数列的前 n 项和与通项的公式 ① S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ; ② a n ? ?

? S1 ( n ? 1) . ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

?

等差数列的判断方法:

①定义法: a n ? 1 ? an ? d (常数) ? ?a n?为等差数列。 ② 中项法: 2 a n ?1?a n ? a n ? 2 ? ?a n?为等差数列。 ③通项公式法: a n ? an ? b (a,b 为常数) ? ?a n?为等差数列。 ④前 n 项和公式法: s n ? A n 2 ? Bn (A,B 为常数) ? ?a n?为等差数列。

?

等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ?

a?b 。 2

?
14

等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ; 其前 n 项和公式为 sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2

?

等差数列的性质:

(1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公 差d ; 前 n 和 S n ? na1 ?

S n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 等差数列{a n }中, n 2 2 2 n Sn d d )均在直线 y = x + (a 1 - )上 2 2 n

是 n 的一次函数,且点(n,

(2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)对称性:若 ?a n?是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当 m ? n ? p ? q 时, 则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p . (4) 项数成等差 ,则相应的项也成等差数列 . 即 a k , a k ? m , a k ? 2m ,...( k , m? N *) 成等差. 若 {an } 、 {bn } 是等差数 列, 则 {kan } 、 . , ? {kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、 {ap?nq }( p, q ? N * ) 、Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n(公差为 n d )
2

也成等差数列,而 {a n } 成等比数列;若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列.
a

(5)在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时,

s n ? n(a n ? a n ?1) ; s 偶? s 奇 ? nd ;
项数为奇数 2n ? 1 时,

s 偶 a n ?1 . ? s 奇 an
s 偶 n ?1 。 ? s奇 n

s 2n ?1?(2n ?1) a n ; s 偶? s 奇? ? a1



(6)单调性:设 d 为等差数列 ?a n?的公差,则 d>0 ? ?a n?是递增数列;d<0 ? ?a n?是递减数列;d=0 ? ?a n?是常数数列 (7)若等差数列 {an } 、{bn } 的前 n 和分别为 An 、Bn , 且

An a (2n ? 1)an A2 n ?1 ? f ( n) , ? ? f (2n ? 1) . 则 n ? Bn bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

(8)设 a l ,a m ,a n 为等差数列中的三项,且 a l 与 a m ,a m 与 a n 的项距差之比

l ?m = ? ( ? ≠-1) ,则 m ?n

15

am=

a l ? ?a n . 1??
(9)在等差数列{ a n }中,S n = a,S m = b (n>m),则 S m ? n = 已知 ?a n?成等差数列,求 s n 的最值问题:
? ? 0,

n?m (a-b). n?m

?

an ① 若 a1 ? 0 ,d<0 且满足 ? ?

? ?an ?1 ? 0

,则 s n 最大;

?a n ? 0, ,则 ② 若 a1 ? 0 ,d>0 且满足 ? s n 最小. ? ? ?a n ?1 ? 0

“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项和
an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) 的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组 ? ; ? 或? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ? ?an ?1 ? 0 ?

法二:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性

n? N* 。 上述两种方法是运用了哪种数学思想? (函数思想) , 由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?
? ? 等比数列的判断方法:定义法

an ?1 a a ,其中 q ? 0, an ? 0 或 n?1 ? n (n ? 2) 。 ? q(q为常数) an an an?1

等比中项:如果 a、G、b 三个数成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,即 G= ? ab .提醒:不是 任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。

?

等比数列的通项公式 an ? a1q

n ?1

?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1
? 等比数列的性质: (1) 对称性: 若 ?a n?是有穷数列, 则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当 m ? n ? p ? q 时, 则有 am .an ? a p .aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 a m .a n ? a p . (2) 若{ a n }是公比为 q 的等比数列,则{| a n |}、{a 2 n }、{ka n }、{
2

1 }也是等比数列,其公比分别为| q an

|}、{q }、{q}、{

2

a 1 }。若 {an }、 {bn } 成等比数列,则 {anbn } 、 { n } 成等比数列; 若 {an } 是等比数列,且公比 bn q

16

q ? ?1 , 则 数 列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n

, ? 也 是 等 比 数 列 。 当 q ? ?1 , 且 n 为 偶 数 时 , 数 列

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?是常数数列 0,它不是等比数列. 若 ?a n?是等比数列,且各项均为正数,则 loga a n

?

?

成等差数列。若项数为 3n 的等比数列(q≠-1)前 n 项和与前 n 项积分别为 S 1 与 T 1 ,次 n 项和与次 n 项积分别 为 S 2 与 T 2 ,最后 n 项和与 n 项积分别为 S 3 与 T 3 ,则 S 1 ,S 2 ,S 3 成等比数列,T 1 ,T 2 ,T 3 亦成等比数列 (3) 单调性: 若 a1 ? 0, q ? 1 , 或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 则 {an } 为递增数列; 若 a1 ? 0, q ? 1 ,或 a1 ? 0,0 ? q ? 1 则

{an } 为递减数列;若 q ? 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列.
(4) 当 q ? 1 时, S n ?

? a1 n a q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ?0 ,这是等比数列前 n 项和 1? q 1? q

公式的一个特征,据此很容易根据 Sn ,判断数列 {an } 是否为等比数列。如若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r , 则r= (答:-1)

(5) Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm .如设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差 数列,则 q 的值为_____(答:-2) (6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? a1 ? qS偶 . (7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数数列 {an } 仅是此数列既 成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 . ? 等比差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d ( b ? ) ? n , ( q ? 1) ? 1? q q ?1 1? q ?
? 分期付款(按揭贷款)

每次还款 x ?

ab(1 ? b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b)n ? 1

17

三角函数

?

常见三角不等式

(1)若 x ? (0,

) ,则 sin x ? x ? tan x .(2) 若 x ? (0, ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .
? 同角三角函数的基本关系式

?

?

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =
? 正弦、余弦的诱导公式

sin ? , tan ? ? cot? ? 1 . cos ?
(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)
n ? 2 ( ? 1) co s ? , n? ? co s( ??) ? ? n ?1 2 ?( ?1) 2 sin ? , ?

n ? 2 ( ? 1) sin ? , n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);

和角与差角公式

cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?
? ? 半角正余切公式: tan 二倍角公式

?
2

?

sin ? sin ? , cot ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ?

b ). a

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . tan 2? ?
? 三倍角公式

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) . 3 3 cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3

?

?

?

?

.

tan 3? ?
?

3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3tan ? 3 3
2?

三角函数的周期公式

函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A,ω , ? 为常数, 且 A≠0, ω >0)的周期 T ? 函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?
18

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

?



? ?
2

正弦定理 余弦定理 面积定理

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C

a ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
?

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 . (3) S ?OAB ? 2
(1) S ? ? 三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

? 在三角形中有下列恒等式: ① sin( A ? B) ? sin C ② tan A ? tan B ? tan C ? tan A.tan B.tan C ? 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) . co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .
特别地,有

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) . co s ? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .
?

sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z . sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .
tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? , k? ? arctan a), k ? Z . 2 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )

最简单的三角不等式及其解集

?

?

?

角的变形: 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )

? ? (? ? ? ) ? ?

向量

? 实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a;
19

(2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a;(3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. ? 向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律);(2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ( ? b); (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. ? 平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ 1、λ 2, 使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. ? 向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . ? a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . ? a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. ? 平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . 两向量的夹角公式 (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . ?

??? ? ??? ? ??? ?

cos? ?
?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB

平面两点间的距离公式

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
? 向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . ? 线段的定比分公式 设P 1 2 的分点, ? 是实数,且 PP 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y) 是线段 PP 1 ? ? PP 2 ,则

??? ?

????

x ? ? x2 ? ???? ???? x? 1 ? ??? ? OP ? ? OP ? 1? ? 1 2 ? OP ? ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ? ??? ? ??? ? ???? 1 t? ). ? (1 ? t ) OP ? OP ? tOP 1 2( 1? ?
? 三角形的重心坐标公式 △ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(x1 ,y1 ) 、 B(x2 ,y2 ) 、 C(x3 ,y3 ) , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是

G(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
? 点的平移公式

20

' ' ???? ??? ? ????' ? ? ?x ? x ? h ?x ? x ? h ' ? ? OP ? OP ? PP . ? ' ? ' y ? y ? k y ? y ? k ? ? ? ?
'

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P' ( x' , y ' ) ,且 PP' 的坐标为 ( h, k ) . ? “按向量平移”的几个结论 (1)点 P( x, y) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) . (2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k .
' '

????

(3) 图 象 C 按 向 量 a= ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 若 C 的 解 析 式 y ? f ( x) , 则 C 的 函 数 解 析 式 为
' '

y ? f ( x ? h) ? k . ' ' (4)曲线 C : f ( x, y) ? 0 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . (5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) .
? 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

??? ?2 ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? (5) O 为 ?ABC 的 ? A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . 不等式

?

常用不等式:
2 2

(1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ? ? (4)柯西不等式

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.
(5) a ? b ? a ? b ? a ? b . ? 极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y) ? ( x ? y) ? 2xy
2 2

1 2 s . 4

(1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. ?
2 2 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax ? bx ? c 同号,则其
2 2

解集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根 之间. x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ;
21

x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
? 含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式 (1)

(2)

(3)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? f ? ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

? 指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ? a ? 1 (2)当 时, f ( x) g ( x) a ? a ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

直线方程

?

斜率公式

①k ?

y2 ? y1 (P k=tanα (α 为直线倾斜角) 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ).② x2 ? x1

? 直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)截距式
22

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). ? 两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . ① l1 || l2 ? (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

②两直线垂直的充要条件是 A ;即: l1 ? l2 ? A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 1 A2 ? B 1B2 ? 0 ? 夹角公式

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

k2 ? k1 |. 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) A B ? A2 B1 (2) tan ? ?| 1 2 |. A1 A2 ? B1 B2 ( l1 : A ). 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 ? l1 到 l2 的角公式 k ? k1 (1) tan ? ? 2 . 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) A B ? A2 B1 (2) tan ? ? 1 2 . A1 A2 ? B1B2 ( l1 : A ). 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 . 2
(1) tan ? ?| ? 四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其中 k 是待定 的系数; 经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. (2) 共点直线系方程:经过两直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

( A1x ? B1 y ? C1 ) ? ?( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ 是待定的系数. (3) 平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ
是参变量. ? 点到直线的距离 (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 ? 设 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 若 A>0, 则 在 坐 标 平 面 内 从 左 至 右 的 区 域 依 次 表 示 Ax ? By ? C ? 0 , Ax ? By ? C ? 0 ,若 A<0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 Ax ? By ? C ? 0 , Ax ? By ? C ? 0 ,可 记为“x 为正开口对,X 为负背靠背“。 (正负指 X 的系数 A,开口对指”<>",背靠背指"><")
23

d?

| Ax0 ? By0 ? C |

85. ( A 1x ? B 1 y ? C1 )( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A ,则 1x ? B 1 y ? C1 )( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A 1A 2B 1B2 ? 0 )

( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.


?

圆的四种方程
2 2

(1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? (4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1)( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ? ? 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 , 其中 ax ? by ? c ? 0 是直线 AB 的方程,λ 是待定的
系数.
2 2 (2) 过 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 与 圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ,λ 是待定的系数. 2 2 (3) 过 圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 2 ? 0 的交点的圆系方程是 1 ? 0 与 圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F

x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的系数.
? 点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若d ? ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.
直线与圆的位置关系

2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . Aa ? Bb ? C 其中 d ? . A2 ? B 2
? 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线;
24

d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
91.圆的切线方程 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点的切点弦方程. 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,注意不 x0 x ? y0 y ?
要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 .
2 ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r ;

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 .

25

椭圆

? ?

椭圆 椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 PF1 ? a ? ex , PF2 ? a ? ex , F1 , F2分别为左右焦点
?PF1 F2 x2 y 2 2 ; 特别 焦点三角形:P 为椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点,则三角形 PF 1F 2 的面积 S= b ? tan 2 a b 2 地,若 PF 1 ? PF 2 , 此三角形面积为 b ;

?

?

x2 y 2 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上存在点 P,使 PF1 ? PF2 的条件是 c≥b,即椭圆的离心率 e 的范围是 a b 2 [ ,1) ; 2
椭圆的的内外部
2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

?

x2 y 2 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a b 2 x y2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
? 椭圆的切线方程

xx y y x2 y 2 (1)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 xx y y x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b

26

双曲线 ?

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 2 a b a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
双曲线 双曲线的内外部
2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

2

2

?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 ? 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 a b a b
y 轴上). ? 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 2 2 2 2 2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b
(1)双曲线 ? 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即 b 值)

27

抛物线 ? 焦点与半径

a a 抛物线y 2 ? ax(a ? 0), 焦点是( , 0), 准线x ? ? ; 4 4 a a 抛物线x2 ? ay (a ? 0), 焦点是(0, ), 准线y ? ? ; 4 4
? 焦半径公式 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,C ( x0 , y0 ) 为抛物线上一点,焦半径 CF ? x0 ? 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? 设点方法 抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P (
2

p . 2

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p .对焦点在 y 轴上的抛物线有类似结论。 2 2

y0 2 2 , y0 ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其中 y0 ? 2 px0 . 2p

?

二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 2a 4a

28

b 4ac ? b2 , ); 2a 4a b 4ac ? b 2 ? 1 , ); (2)焦点的坐标为 (? 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 (3)准线方程是 y ? . 4a
(1)顶点坐标为 (? ? 抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) . (2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . (3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . (4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? ?2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? ?2 py( p ? 0) . ? 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (2)过抛物线 y 2 ? 2 px 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (3)抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC . ? 过

y 2 ? 2 px ( p>0) 的 焦 点 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ), 则有y1 y2 ? ? p 2 , x1 x2 ? 4 p 2 ,
抛 物 线

F





线







线







1 即kOA .K OB =- (O为原点) 4
1 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ), 则有y1 y2 ? ? p 2 , x1 x2 ? 4 p 2 , 即kOA .K OB =- (O为原点) ; 4

圆锥曲线共性问题 ? 两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y) ? 0 , f 2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是

f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2 2 2 2

x2 y2 ? ? 1 ,其中 k ? max{a2 , b2} .当 k ? min{a2 , b2} 时,表示椭 a 2 ? k b2 ? k
29

圆; 当 min{a , b } ? k ? max{a , b } 时,表示双曲线.

?

直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或 AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?
(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). F ( x , y ) ? 0 ?

?

涉 及 到曲 线 上的 点 A , B 及 线段 AB 的 中点 M 的 关 系时 , 可以 利用 “点 差 法 : , 比如 在 椭圆中:

A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 中点M( x 0, y 0), 则有 : x12 y12 ? ? 1(1) a2 b2 x2 2 y2 2 ? ? 1(2) a2 b2 x y ? y2 x ? x2 b2 b2 (1) ? (2) ? 1 ? 1 ? (? 2 ) ? 0 ? (? 2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 a y0 a
? 圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?
?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? )?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2
2 2
2

“四线”一方程
2

对于一般的二次曲线 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,用 x0 x 代 x ,用 y0 y 代 y ,用 用

x0 ? x y ?y 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程均是 2 2 2

x0 y ? xy0 代 xy , 2

此方程得到.

立体几何

109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径
30

(1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的 对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB . ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.

118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p ? ax ? by .

推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP ? xMA ? yMB , 或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB .

????

??? ?

????

??? ?

???? ?

????

????

119.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? k ) ,则当 k ? 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面; 若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共面.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ???? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? A、B、 C、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? xAB ? yAC ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OD ? (1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O ? 平面 ABC).

120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x,y,z,使 p=xa+yb +zc. 推论 设 O 、 A 、 B 、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数 x , y , z,使

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC.
121.射影公式

已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A ,作 B 点在 l 上的射影 B ,则 122.向量的直角坐标运算 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;
31

??? ? ??? ? A' B' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e

'

'

(2)a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a= (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (λ ∈R); (4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 124.空间的线线平行或垂直 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .

r

r

? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a Pb ? a ? ?b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .
125.夹角公式 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

.

2 2 2 2 2 推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a1 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 ? ,则

cos ? ?

| ( AB 2 ? CD 2 ) ? ( BC 2 ? DA2 ) | . 2 AC ? BD

127.异面直线所成角

r r cos? ?| cos a, b | r r | x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | | a ?b | r ? = r 2 | a |?|b | x1 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2
o o

b 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, b 的方向向量) (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a,

r r

??? ? ?? AB ? m ?? ? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). ? ? arc sin ??? | AB || m | 129.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ?1 、 ?2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则

128.直线 AB 与平面所成角

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? (sin2 A ? sin2 B)sin2 ? .
特别地,当 ?ACB ? 90 时,有
?

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? . 130.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? , 另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ?1 、

?2 , A'、B ' 为 ?ABO 的两个内角,则 tan2 ?1 ? tan2 ?2 ? (sin2 A' ? sin2 B' ) tan2 ? .
特别地,当 ?AOB ? 90 时,有
?

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? . 131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角
32

?? ? ?? ? ?? ? m? n m? n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |
132.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所成的角为? 2 , AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面角的棱所成的角是 θ ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2sin?1 sin?2 cos? ;

| ?1 ??2 |? ? ? 180? ? (?1 ??2 ) (当且仅当 ? ? 90? 时等号成立).
134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 . 135.点 Q 到直线 l 距离 ??? ? ??? ? 1 h? (| a || b |)2 ? (a ? b)2 (点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a= PA ,向量 b= PQ ). |a|
136.异面直线间的距离

137.点 B 到平面 ? 的距离

??? ? ?? ? ? | CD ? n | ? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离). d? |n| ??? ? ?? ? | AB ? n | ? ? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ). d? |n|

138.异面直线上两点距离公式

d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? . ???? ??? ? d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos EA' , AF .
d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ( ? ? E ? AA' ? F ).
( 两条异面直线 a 、 b 所成的角为 θ ,其公垂线段 AA 的长度为 h. 在直线 a 、 b 上分别取两点 E 、 F ,
'

A' E ? m , AF ? n , EF ? d ).
139.三个向量和的平方公式

? ? ? ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? (a ? b ? c)2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 ?1、? 2、?3 ,则 有
2 l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

S?

S' . cos?
'

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和面积分别是 c1 和 S1 , 则
33

① S斜棱柱侧 ? c1l . ② V斜棱柱 ? S1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面 距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应 边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系:

E?

1 nF ; 2
(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 146.球的半径是 R,则

1 mV . 2

4 ? R3 , 3 2 其表面积 S ? 4? R .
其体积 V ? 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球 的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3
排列组合

? ? ?

分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn .

分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn . 排列数公式
m = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = An

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)!

注:规定 0! ? 1 . ? 排列恒等式
m m?1 (1) An ; ? (n ? m ? 1) An

34

n m An ?1 ; n?m m m?1 (3) An ? nAn ?1 ;
(2) An ?
m

n n?1 n (4) nAn ? An ?1 ? A n ; m m m?1 (5) An ?1 ? A n ? mA n .

(6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n! ? (n ? 1)!? 1 . ? 组合数公式
m = Cn

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * = = ( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am

?

组合数的两个性质

m n?m (1) C n = Cn ; m m?1 m (2) C n + Cn = Cn ?1 . 0 注:规定 Cn ? 1.

?

组合恒等式
m

n ? m ? 1 m ?1 Cn ; m n m m Cn (2) Cn ? ?1 ; n?m n m ?1 m (3) Cn ? Cn ?1 ; m
(1) Cn ? (4)

?C
r ?0 r r

n

r n

=2 ;

n

r r ?1 (5) C ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn ?1 . 0 1 2 r n (6) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2n . 1 3 5 0 2 4 (7) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2n?1 . 1 2 3 n (8) Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n2n?1 . r 0 r ?1 1 0r r r (9) Cm Cn ? Cm Cn ? ? ? Cm Cn ? Cm ?n . 0 2 1 2 2 2 n 2 n (10) (Cn ) ? (Cn ) ? (Cn ) ? ? ? (Cn ) ? C2 n.

?
m n

排列数与组合数的关系

m . A ?m ! ? Cn

? 单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位”
m m ?1 m?1 1 m ?1 ①某(特)元必在某位有 An ?1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ?1 (补集思想) ? An ?1 An ?1 (着眼位 m 1 m ?1 置) ? An ?1 ? A m ?1 A n ?1 (着眼元素)种.

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
k m? k ①定位紧贴: k (k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Ak An?k 种. n ? k ?1 k ②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k ?1 Ak 种.注:此类问题常用捆绑法;

③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一组互不能挨近的所有
35

h k 排列数有 Ah Ah ?1 种.

(3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有
n Am n ?1 ? Cm ?1 种排法. n An

n (4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为 Cm ?n .

? 分配问题 ( 1 ) ( 平均分组 有归属问题 ) 将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人, 各得 n 件,其分配方法数 共有

(m n)! . (n!) m (2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其分配方法数共有 n n C n ? C n ? C n ...? C2 (mn)! n ? Cn . N ? mn mn ? n mn ? 2n ? m! m!(n!)m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须被分完,分别得 到 n1 , n2 , ? , nm 件 , 且 n1 , n2 , ? , nm 这 m 个 数 彼 此 不 相 等 , 则 其 分 配 方 法 数 共 有
n n n n n N ? C mn ? Cmn ? n ? C mn ? 2 n ? ? ? C 2 n ? C n ?
nm n1 n2 N ? Cp ? Cp Cn ? m!? ? n1 ... m

p!m! . n1!n2!...nm!

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须被分完,分 别得到 n1 , n2 ,?, nm 件,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、?个相等,则其分配方法数有

p !m ! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...) (5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,?, nm 件无记号的 p! . m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数有 N ? n1!n2!...nm! (6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,?, nm 件无记 p! 号的 m 堆, 且 n1 , ?, b、 c、 ?个相等, 则其分配方法数有 N ? . nm 这 m 个数中分别有 a、 n2 , n1!n2!...nm!(a!b!c!...) (7)(限定分组有归属问题)将相异的 p ( p ? n1 +n2 +?+nm )个物体分给甲、乙、丙,??等 m 个人,物 体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n2 件,丙得 n3 件,?时,则无论 n1 , n2 ,?, nm 等 m 个数是否全相 N? ?
异或不全相异其分配方法数恒有
nm n1 n2 N ? Cp ? Cp Cn ? ? n1 ... m

nm n1 n2 Cp ? Cp Cn ? m! ? n1 ... m

p! . n1!n2!...nm!

? “错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

f (n) ? n ![

1 1 1 1 ? ? ? ? ? (?1) n ] . 2! 3! 4! n!

推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为
1 2 3 4 f (n, m) ? n !? Cm (n ? 1)!? Cm (n ? 2)!? Cm (n ? 3)!? Cm (n ? 4)! p m ? ? ? (?1) p Cm (n ? p)!? ? ? (?1) m Cm (n ? m)!
1 2 3 4 p m Cm Cm Cm Cm p Cm m Cm ? n![1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? (?1) p ? ? ? (?1) m ] . An An An An An An

36

?

不定方程 x1 +x2 +?+xn ? m 的解的个数

n?1 (1)方程 x1 +x2 +?+xn ? m ( n, m ? N ? )的正整数解有 Cm 个. ?1

(2) 方程 x1 +x2 +?+xn ? m ( n, m ? N ? )的非负整数解有 C n?1 个. n?m?1
? (3) 方 程 x1 + x2 +? +x ( n, m ? N ? ) 满 足 条 件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 ) 的 非 负 整 数 解 有 n ? m

n?1 个. Cm ?1 ? ( n?2)( k ?1)
? (4) 方 程 x1 + x ( n, m ? N ? ) 满 足 条 件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 ) 的 正 整 数 解 有 ? +x 2 + n ? m

1 n ?1 n ?1 2 n ?1 Cnn?? ? C1 Cm ? Cn2?2 Cm ? ? ? (?1)n?2 Cnn?? Cm?1?( n?2) k 个. m?1 n?2 ? n? k ? 2 ?n?2 k ?3 2

?

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 二项式定理 (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;

二项展开式的通项公式
r n ?r r 1, 2?,n) . Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,

概率 ? 等可能性事件的概率

P ( A) ?

m . n

? 互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). ? n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). ? 独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). ? .n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). ? n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P)n?k .

期望与方差

? .离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P ); i ? 0(i ? 1, 2,? (2) P 1?P 2 ? ? ? 1. ? 数学期望

E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ? ? ? xn P n ??
? 数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . (3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q ? ? 方差
2 2 2

k ?1

p ,则 E? ?

1 . p

D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?
标准差
37

?? = D? .
? (1) D ? a? ? b? ? a2 D? ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(?

方差的性质

? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ?

q . p2

? ?

方差与期望的关系

D? ? E? 2 ? ? E? ? .
2

正态分布密度函数

f ? x? ?
准差. ?

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表示个体的平均数与标

.标准正态分布密度函数
2

x ? 1 f ? x? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6 ? .对于 N (?, ? 2 ) ,取值小于 x 的概率 ? x?? ? F ? x? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?

? F ? x2 ? ? F ? x1 ?

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
? 回归直线方程
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ?b ? ? n n ? 2 . y ? a ? bx ,其中 ? xi ? x ? xi 2 ? nx 2 ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx

?

相关系数

r?

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 2 2 2 i ?1 i ?1

n

n

.

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小.

极限

?

.特殊数列的极限

38

?0 ? (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? ? b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
(3) S ? lim ?
x ? x0

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

a1 1 ? q n 1? q
x ? x0

?

n ??

??

a1 1? q

( S 无穷等比数列

?a q ?
n ?1 1

( | q |? 1 )的和).

函数的极限定理
x ? x0

lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .
? .函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ; (2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),
x ? x0 x ? x0

则 lim f ( x) ? a .
x ? x0

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. ? 几个常用极限

1 ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 ) ; n ?? n 1 1 (2) lim x ? x0 , lim ? . x ? x0 x ? x0 x x0
(1) lim
n ??

?

两个重要的极限

(1) lim

sin x ? 1; x ?0 x
x

? 1? (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?? ? x?
? .函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x) ? a , lim g ( x ) ? b ,则
x ? x0 x ? x0

(1) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b;
x ? x0 x ? x0

(2) lim ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? a ?b ; (3) lim
x ? x0

f ? x? a ? ?b ? 0? . g ? x? b
n ??

? .数列极限的四则运算法则 若 lim an ? a, lim bn ? b ,则
n ??

(1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ; (2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ?? n ??

(3) lim
n ??

an a ? ?b ? 0? bn b
39

(4) lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数).
n ?? n ?? n ??

导数

?

. f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ?( x0 ) ? y?
? 瞬时速度

x ? x0

? lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x

? ? s?(t ) ? lim
?

?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t

瞬时加速度
?t ? 0

a ? v?(t ) ? lim

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim . ? t ? 0 ?t ?t ? . f ( x) 在 ( a, b) 的导数 dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? ? ? lim ? lim . dx dx ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ? . 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义
函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切线方程是

y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
? .几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) . (3) (sin x)? ? cos x . (5) (ln x )? ? (4) (cosx)? ? ? sin x .

1 1 e x ; (log a )? ? log a . x x x x x x (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .
.导数的运算法则 (1) (u ? v) ? u ? v .
' ' ' ' ' '

?

(2) (uv) ? u v ? uv . (3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

?

.复合函数的求导法则

' ' 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ' ? ? ' ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数 yu ? f (u) ,则 ' ' ' 复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 yx ,或写作 f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) . ? yu ? ux

?
40

常用的近似计算公式(当 x 充小时)

1 n 1 x ; 1? x ?1? x ; 2 n 1 ?1? x; (2) (1 ? x)? ? 1 ? ? x(? ? R) ; 1? x x (3) e ? 1 ? x ; (4) ln (1 ? x) ? x ; (5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tan x ? x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ? x ( x 为弧度) ? .判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法
(1) 1 ? x ? 1 ? 当函数 f ( x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.

复数

?

.复数的相等

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) ? .复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)

| z | = | a ? bi | = a2 ? b2 .
? .复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

? .复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . ? ? .复平面上的两点间的距离公式 .向量的垂直

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则

???? ?

???? ?

???? ? ???? ? z OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1
203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非零实数).

?b ? b2 ? 4ac ①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ? ; 2a
2

41

b ; 2a 2 ③ 若 ? ? b ? 4ac ? 0 , 它 在 实 数 集 R 内 没 有 实 数 根 ; 在 复 数 集 C 内 有 且 仅 有 两 个 共 轭 复 数 根
2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ?

x?

?b ? ? ( b2 ?4 a c) i 2 . ( b ? 4 a c? 0 ) 2a

42


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