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高考排列组合知识点总结及典型例题

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高考排列组合知识点总结及典型例题 知识点总结: 一.基本原理 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相 加。 2.乘法原理:做一件事分 n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相 乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成 一 列,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列,所 有排列的个数记为 Anm . 1. 公 式 : 1. Anm ? n?n ?1??n ? 2?……?n ? m ? 1? ? ?n n! ? m?! 2. 规定:0! ? 1 (1) n! ? n?(n ?1)!,(n ?1)? n! ? (n ?1)! (2) n? n! ? [(n ?1) ?1]? n!? (n ?1)? n!? n!? (n ?1)!? n!; (3) n ? n ?1?1 ? n ?1 ? 1 ? 1 ? 1 (n ?1)! (n ?1)! (n ?1)! (n ?1)! n! (n ?1)! 三.组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个 不同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公 式 : C m n ? A m n A m m ? n?n ? 1?……?n ? m ? 1? m! ? n! m!?n ? m?! 规定: C 0 n ?1 2.组合数性质: Cnm ? Cnn ?m,C m n ? C m?1 n ? C nm?1,C 0 n ? Cn1 ? …… ? Cnn ? 2n ① ;② ;③ 注:Crr ? Cr r ?1 ? Cr r?2 ? Cr n?1 ? Cnr ? C r?1 r ?1 ? Cr r ?1 ? Cr r?2 ? ;④ Cr n?1 ? Cnr ? C r?1 r?2 ? Cr r?2 ? Cr n?1 ? Cnr ? C r ?1 n?1 若 C m1 n ? C m2 n 则m1 =m2或m1 +m2 ? n 四、二项式定理. 1. ⑴二项式定理: (a ? b) n ?C n0a nb0 ?C n1a n?1b ? ??C r n a n?r b r ? ??C nna 0b n . 展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ?1项; ② 系数:依次为组合数 C 0 n ,C n1,C 2 n , ? ,C r n , ? ,C n n ; ③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列 展开. ⑵二项展开式的通项. (a ? b) n 展开式中的第 r ? 1 项为: T r ?1?C r n a n?rb r (0 ? r ? n, r ? Z ) . -1- ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二.项.式.系.数.最大. n I. 当 n 是偶数时,中间项是第 n 2 ? 1 项,它的二项式系数 C 2 n 最大; II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第 n ?1 项和第 n ?1 ?1项,它们的二项式 2 2 n?1 n?1 系数 C 2n ?C 2n 最大. ③系数和: C 0 n ?C n1? ? ?C n n ?2 n C 0 n ?C 2 n ?C 4 n ? ? ?C 1 n ?C 3 n ? ? ?2 n?1 典例分类讲解: 一、合理分类与准确分步法(利用计数原理) 解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的 连续过程分步,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。 例 1、五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法 有( ) A.120 种 B.96 种 C.78 种 D.72 种 分析:由题意可先安排甲,并按其分类讨论:1)若甲在末尾,剩下四人可自 4 由排,有 A 4 =24 种排法;2)若甲在第二,三,四位上,则有 3*3*3*2*1=54 种 排法,由分类计数原理,排法共有 24+54=78 种,选 C。 解排列与组合并存的问题时,一般采用先选(组合)后排(排列)的方法 解答。 二、分组(堆)问题 分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分;②无序等分;③无序局部等分; (④有序不等分;⑤有序等分;⑥有序局部等分.) 处理问题的原则: ①若干个不同的元素“等分”为 m个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积 除以 m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆,要将选取出每一个堆的组合 数的乘积除以 m! ③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘法原理作积. ④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列. 例 1.有四项不同的工程,要发包给三个工程队,要求每个工程队至少要得到一 项工程. 共有多少种不同的发包方式? 解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤: ⑴ 将四项工程分为三“堆”,有 C42C21C11 ? 6 A22 种分法; -2- ⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队, 有 3!=6 种给法. ∴共有 6×6=36 种不同的发包方式. 三.特殊元素和特殊位置优先策略 例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

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