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高考排列组合知识点总结及典型例题

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高考排列组合知识点总结及典型例题 知识点总结: 一.基本原理 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相 加。 2.乘法原理:做一件事分 n 步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相 乘。 注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。 二.排列:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成 m 一 列,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列,所 有排列的个数记为 An . n! m 1. 公 式 : 1. An ? n?n ? 1??n ? 2?……?n ? m ? 1? ? ?n ? m?! 2. 规定:0! ? 1 (1) n! ? n ? (n ? 1)!,(n ? 1) ? n! ? (n ? 1)! n ? n! ? [(n ? 1) ?1] ? n! ? (n ? 1) ? n!? n! ? (n ? 1)!? n! ; (3) n n ?1 ?1 n ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)! n ! (n ? 1)! (2) 三.组合:从 n 个不同元素中任取 m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从 n 个 不同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数,记作 Cn 。 1. 公 式 : Cm n ? n? n ? 1?…… ? n ? m ? 1? Am n! n ? ? m m! m!? n ? m?! Am 0 规定:Cn ?1 2.组合数性质: m n ?m m m?1 m 0 1 n Cn ? Cn ,Cn ? Cn ? Cn …? Cn ? 2n ?1,Cn ? Cn ? … ① 注:C ? C r r r r ?1 ; ② ?C r r ?2 ; ③ r n?1 ; ④ ?C r r ?2 r r r ?1 r r r r ?1 ? ?Cn ?1 ? Cn ? Cr ?2 ? Cr ?2 ? ?Cn ?1 ? Cn ? Cn ?1 ? ?C ?C ? C r n r ?1 r ?1 ?C r r ?1 m1 m2 若 Cn ? Cn 则m1 =m2或m1 +m2 ? n 四、二项式定理. 0 n 0 1 n ?1 r n ?r r n 0 n 1. ⑴二项式定理: (a ? b) n ?C n a b ?C n a b ? ? ?C n a b ? ? ?C n a b . 展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ? 1项; 0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ?,C n , ?,C n n; ③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列 展开. ⑵二项展开式的通项. (a ? b) n 展开式中的第 r ? 1 项为: T r ?1?C n a r n?r r b (0 ? r ? n, r ? Z ) . -1- ⑶二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数 最大. ..... I. 当 n 是偶数时,中间项是第 ? 1 项,它的二项式系数 C 2 n 最大; II. 当 n 是奇数时,中间项为两项,即第 系数 n ?1 n ?1 2 C n ?C 2 n n 2 n n ?1 n ?1 项和第 ? 1 项,它们的二项式 2 2 最大. ③系数和: 0 1 n Cn ?C

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