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等差、等比数列性质的比较与分析

时间:2014-10-14


等差数列与等比数列的性质比较
等差数列性质 1、定义 等比数列性质

a n+1 -a n =d(n ? 1) ; a n -a n-1 =d(n ? 2)

a n+1 =q(n ? 1) an



an =q(n ? 2) a n-1
n ?1 n?m

2、通项 公式

an ? a1 ? (n ? 1) d

an ? a1 ? q
n m

an ? am ? (n ? m ) d(n ,m ? N ? )

a ? a ?q
q=1 , Sn =na1; q ? 1,Sn =

3、 前n项 和

s s

n

?

(a1 ? a n ) n 2 n(n ? 1) d 2
a+b ; 2

n

? n a1 ?

a、A、b 成等差数列 ? A= 4、中项

a n 是其前 k 项 a n-k 与后 k 项 a n+k 的等差中 a +a 项,即: a n = n-k n+k 2 若 m+n=p+q,则 a m ? a n ? a p ? a q
特别地,若 m+n=2p,则

a1 (1-q n ) 1-q a -a q = 1 n 1-q A b ? a、A、b 成等比数列 ? a A 2 (不等价于 A =ab ,只能 ? ); a n 是其前 k 项 a n-k 与后 k 项 a n+k 的
等比中项,即: a 2 n =a n-k ? a n+k

5、 下标和 公式

a ?a
m

n

? 2ap

若 m+n=p+q,则

( 该 项性 质 可推 广, m+n+t=p+q+r, 则 有

am+an+at=ap+aq+ar,依次,可推
广到 n 项数相加的情况。 )
6、 首尾项 性质 等差数列的第 k 项与倒数第 k 项的和等于 首尾两项的和, 即:

a ?a ? a ?a 特别地,若 m+n=2p,则 a ? a ? a
m n p q

2 p

m

n

等比数列的第 k 项与倒数第 k 项的积 等于首尾两项的积, 即:

a ?a ?a ?a
1 n 2

n ?1

? ? ? a k ? a n ?( k ?1)

a ?a ? a ?a
1 n 2

n ?1

? ? ? ak ? an ?( k ?1)

a }为等差数列,若 m,n,p 成等差数列, 则 a , a , a 成等差数列
{
n
m n p

{

a

n

}为等比数列,若 m,n,p 成等差

数列,则 等比数列{

a ,a ,a
m n

p

成等比数列

(两个等差数列的和仍是等差数列)

(两个等比数列的积仍是等比数列)

a },{ b }的公差分别为 d , e , 则数列{ a ? b }仍为等差数列,公差为
等差数列{
n n

7、结论

d ?e

n

n

列,公比为 pq

a },{ b }的公比分别为 p, q ,则数列{ a ? b }仍为等比数
n n

n

n

取出等差数列的所有奇(偶)数项,组成 的新数列仍为等差数列,且公差为 2 d 若 a m =n,a n =m(m ? n), 则 am?n ? 0 若 Sm =n,Sn =m(m ? n), 则

取出等比数列的所有奇(偶)数项, 组成的新数列仍为等比数列, 且公比 为

q

2

无此性质; 无此性质;

Sm ? n ? ? (m ? n)



s ? s (m ? n),则s ? 0 s , s ? s , s ? s ,?成等差数列,
m n m? m m 2m m 3m 2m
2

无此性质; 当 q≠-1 或 q=-1 且 k 为奇数时,

公差为 m d

s ,s
m

2m

? sm , s3m ? s2m ,?成等比

数列,公比为 当项数为偶数 2 n 时,

q

m

s ? s ? nd s ? a s a
偶 奇
奇 n 偶 n ?1

当项数为偶数 2 n 时,

s



? qs



当项数为奇数 2n ? 1 时,S 奇 (该式中 an 也称为中间项)

-S

偶= n

a

当项数为奇数 2n ? 1 时,

s



? a1 ? q s偶

S2n-1=(2n-1) n (该式中 an 也称为中 间项)

a

s s

奇 偶

?

n n ?1
①定义法:

①定义法: an ? an ?1 ? d ?n ? 2?

an ?q an ?1

②等差中项概念; 2an ? an ?1 ? an ?1 ?n ? 2? 8、等差(等 比)数列的判 断方法 ③函数法:an ? pn ? q(p ,q为常数) 关于 n 的一 次函数 ? 数列{an } 是首项为 p+q,公差为 p ? ? 0 ? 的等差数列; ④数列 {a n } 的前 n 项和形如

②等比中项概念; an an?2 ? an?12 (an ? 0) ③函数法:an ? cqn ( c, q 均为不为 0 的 ④数列 {a n } 的前 n 项和形如 常数, 则数列 ?an ? 是等比数列. n ? N? ),

Sn ? an2 ? bn

(a,b 为常数),那么数列 {a n } 是等差数列, 9、共性

数且 q≠1),则数列 ?an ? 是公比不为 1 的等比数列.

Sn ? Aqn ? A ( A,q 均为不等于 0 的常

非零常数列既是等差数列又是等比数列

基础篇
等差练习
1、 已知 {a n } 是等差数列,且 a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 , a3 ? a13 =_________________________。 2、 已知在等差数列 {a n } 中,若 a 49 ? 80 , a 59 ? 100 ,求 a 79 =______________________________ 3、 在等差数列 {a n } 中,若 a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? a 7 ? 450 ,则 a 2 ? a 8 = 。

4、 若 a,x,y,b,z 成等差数列,试用 a,b 表示下列各项:x=_______,y=______,z=______. 5、 在等差数列 {a n } 中, (1)若 a 7 ? m , a 14 ? n ,则 a 21 =_________; (2) 若 a1 ? a 3 ? a 5 ? ?1, 则 a1?a 2 ? ? ? a 5 =________; (3) 若 a 6 ? a3 ? a8 , 则 S9 =________; (4) 若 a11 ? 20 , 则 S 21 =________; (5) 若 a 4 ? a 7 ? a10 ? a13 ? 20 , 则 S16 ? ________。

6、 在等差数列 {a n } 中,前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 1 , a 7 ? a 8 ? a 9 ? 5 ,则 S 99 =________。 7、 等差数列 {a n } 前 n 项的和为 Sn ,且 S3 ? 3 , S6 ? 7 ,则 S9 的值是 8、 等差数列 {a n } 前 n 项的和为 Sn ,且 S7 ? 8 , S8 ? 7 ,则 S15 的值是 9、 在等差数列 {a n } 中, a1 ? 0 , Sn 为前 n 项和,且 S3 ? S16 ,则 Sn 取得最小值时 n 的值 为 10、 。 在等差数列 {a n } 中, Sm ? Sn ? l(m ? n) ,则 a 1 ? a m? n = A.mnl 11、 B. (m ? n) ? l C.0 D. (m ? n ? 1) ? l 。 。

( 1 )设等差数列共有 10 项,其中奇数项之和为 12.5 ,偶数项之和为 15 ,则其首项

a 1 =_______,公差 d=________;
( 2 ) 在 项 数 为 2n ? 1(n ? N? ) 的 等 差 数 列 中 , 它 的 奇 数 项 之 和 与 偶 数 项 之 和 的 比 =_____________________。 12、 13、 14、 15、 16、 等差数列 {a n } 的公差为 1, a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 99 ? 102 ,试求 a 3 ? a 6 ? ? ? a 99 的值。 已知 {a n } 是等差数列,前 m 项和为 S m =30,前 2m 项和为 S 2 m =100,求前 3m 项和 S 3m 。 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sm ? 1 , S3m ? 4 ,试求 S 6 m 的值。 正数等比数列 {an } 中 a6 ? 4 ,则 log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? ? log2 a11 =__________________ 等差数列 {an } 中,

(1) a p ? q , aq ? p ( p ? q ) ,那么 a p?q ? _______________________; (2) sm ? sn (m ? n) ,那么 sm? n

? ___________________。 ? ______________________ ? _____________________

(3) sm ? n, sn ? m(m ? n) ,那么 sm? n

(4) S m ? p、S n ? q ? m ? n ? ,那么 sm? n

等比练习

1.等比数列

{a n }

中,

an ? 0, a1 , a99 为方程 x 2 ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,则 a20 ? a50 ? a80 的值为(
B.64 C.256 D. ? 64



A.32

2.已知-9,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则b2(a2 -a1)= ( ) A.8
3.等比数列

?an ? 的各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 =18,则 log3 a1 ? log3 a2 ?
B.10 C .8 D.2+

B.-8

C. ?8

? log 3 a10 =(

)

A.12 5.等比数列

log 3 5

?an ?的前 n 项和为 Sn ,S3 ? S6 ? 2S9 ,则公比 q =______________
的前 项和 = ,则 =_______.

6.等比数列{

7.等比数列
8.等比数列

?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 S4 ? 2S2 则公比为(

an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an ? 2 ? an ?1 ? 6an ,则{ an }的前4项和 S4 = S n a ? 2n ? a ? 2 ?a n ? n an


1 1 ? A.1 B.1或-1 C. 2 或 2 D.2或-2
9.已知等比数列{an }的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为 A .15 B.17 C.19 D .21 10.设

{an }

是公比为正数的等比数列,若 A.15 B.31

a3 ? 4, a5 ? 16
C.32

,则数列

{an }

的前5项和为 D.41

11.已知

?an ? 是首项为 1 的等比数列, sn 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9s3 ? s6 ,则数列 ?
15 或5 8
(B )

?1? ? 的前 5 项和为 ? an ?

(A)

31 或5 16

(C)

31 16

(D)

15 8


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