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12.双曲线的标准方程Ⅱ

时间:2011-04-18


一、复习双曲线的定义和标准方程
平 内 两 定 F 、 2距 差 绝 值 于 面 到 个 点1 F 离 的 对 等 常 2a(2a < F F2 )的 的 迹 做 曲 . 数 点 轨 叫 双 线 1

这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点间的距离 F1F2 叫做焦距(记作2c).
注意
M

(1)2a<2c (2)a >0

F1

F2

1 当MF ? MF2 = ±2a时 轨 为 支 曲 , 、 , 迹 两 双 线 1 则 MF ? MF2 = 2a时 轨迹为双曲线右支; 当 1 ,

当MF ? MF2 = ?2a时 轨 为 曲 左 . , 迹 双 线 支 1
2、 2a = F F2 、 > F F2 所 轨 分 是 么 若 2a 得 迹 别 什 ? 1 1

(1)当 a < F F2 时 轨 是 支 曲 ; 2 , 迹 两 双 线 1 (2)当 a = F F2 时 轨 是 条 线 2 , 迹 两 射 ; 1 (直 F F2除 线 F F2 ) 线1 去 段1 (3)当 a > F F2 时 轨 不 在 2 , 迹 存 . 1

(1)焦 在 轴 的 曲 标 方 点 x 上 双 线 准 程 x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b 2 2 2 0) 0) 其 c = a + b F1(?c,、F2 (c, 中
(2)焦 在 轴 的 曲 标 方 点 y 上 双 线 准 程 y 2 x2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
? 其 c = a + b F1(0,c)、F2 (0,c) 中
2 2 2

y

O

x

y

c最大
2 2

O

x

a、 、 都 于 , c = a + b . b c 大 零 且
2

二、课堂练习
ex1.求适合下列条件的双曲线方程 (1)焦距为6,并且经过点 P(4, 1) 2 y2 x2 x 2 ? =1 ? y =1或 13? 4 10 4 10 ? 4 8
(2) 焦点在y轴上,并且双曲线上两点P1、P2的 9 坐标分别为(3,?4 2 ), ( ,5)
4

x y (3)求与椭圆 + = 1共焦点且过点 9 4 x2 y2 (3, 2)的双曲线方程. 3 ? 2 =1 ?

2

2

x y ex2.双曲线的标准方程为: ? =1 9 16 焦点为F1 , F2 ,如果双曲线上有一点P,
满足|PF1|=10, 则|PF2|=_______ 4或16

2

2

| |PF1| - |PF2| | = 6 10 若|PF1|=4, 则|PF2|=_____ 13 若|PF1|=7, 则|PF2|=_____
F 1

P

F2

x 2 ex3.双曲线 4 ? y = 1的两个焦点为F1、 F2, 点P在双曲线上.若 PF 1 ⊥ PF 2 ,

2

则 ? F1 PF 2的面积为
5 ± 点P的纵坐标为______ 5

_____ 1
y P

PF ?PF = 0 1 2

. F

1

o

. F

2

x

x y + = 1 表示双曲线, ex4.如果方程 2 ? m m +1

2

2

求m的取值范围.

分析: 分析: 由(2 ? m)(m+1) < 0 ? (m ? 2)(m +1) > 0 ? m > 2或m < ?1 变式: 变式: x2 y2 讨论方程 + = 1 表示的是什么曲线?
2?m m +1

焦点在x轴 改成 “焦点在 轴 上的双曲线” 上的双曲线”

三、例题举隅
例2、一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声时间 比在B处晚2秒, (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A、B两地相距800 m,并且此时声速为 340 m/s,求曲线的方程.

解:(1)由声速及A、B两处听到爆 炸声时间差,可知A、B两处与爆 炸点的距离的差,因此爆炸点应 位于以A、B为焦点的双曲线上。 因为爆炸点离A处比离B处更远, 所以爆炸点应在靠近B处的一支上.

(2)如图8—14,建立直角坐标系xOy,使A、B两点 在x轴上,并且点O与线段AB的中点重合. 设爆炸点P的坐标为(x,y),则

PA ? PB = 340×2 = 680
即 2a = 680, a= 340 又|AB|=800 ∴2c = 800, c= 400 b2 = c2 -a2 = 44400 ∵|PA|-|PB|=680>0 ∴x > 0
2

x y 所求双曲线的方程为: : ? = 1 (x > 340) 115600 44400 想一想:爆炸点的准确位置在何处? 想一想:爆炸点的准确位置在何处?

2

x y 例3、双曲线 ? = 1的两个焦点为 F1、 F2 , 9 16 点 P在双曲线上 , 若 PF1 ⊥ PF2 , 求点 P到 x轴 的距离 . 解: 设 P的 标 (x1、 1) 点 坐 为 y 2 2 9 2 2 x1 y1 则 ? =1? x1 = y1 + 9 16 9 16 又 1(?5,0)、 2 (5,0) F F ∴PF = (?5 ? x1,?y1)、 2 = (5 ? x1,?y1) PF 1 QPF ⊥ PF ? PF ? PF = 0 1 2 1 2 16 2 2 2 2 ∴x1 + y1 = 25? 25y1 =16 ? y1 = ± 5 16 ∴点P到x轴的距离为 5

2

2

x y ex1 .若双曲线与椭圆 + = 1有一个交 k 20 点为(1,15 )且共焦点,求双曲线方 程.

2

2

x y ex 2.设双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0)的 a b 左、右焦点分别 F1、 F2, AB 是双曲 线左支上过 F1的弦,且 AB = m,求 ? AF 2 B 的周长. a + 2m 4

y x ? =1 12 4

2

2

2

2

x2 y2 例 4.已知双曲线 ? = 1( m > 0, n > 0 ) m2 n 2 x y 和椭圆 + = 1( a > b > 0 ) 有公共 a b 焦点 F1、 F 2,点 P 是双曲线和椭圆的
一个公共点,求 PF 1 ? PF 2 的值.


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