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2001年全国高中数学联赛试题及解答

时间:2015-01-05


二○○一年全国高中数学联合竞赛题
(10 月 4 日上午 8:00—9:40)

题号 得分 评卷人 复核人





三 13 14 15

合计

加试

总成绩

学生注意:1、本试卷共有三大题(15 个小题) ,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 个小是题,每题均给出(A) (B) (C) (D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请 将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选的代表字母超过一个(不 论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1、已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为 (A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定 2、命题 1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点; 命题 3:长方体中,必存在到各面距离相等的点; 以上三个命题中正确的有 (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 3、在四个函数 y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以?为周期、在(0,

? )上单调递增的偶函数是 2

(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k 的⊿ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是 (A)k=8 3 (B)0<k≤12 (C)≥ ≥1 12 2 (D) )0<k≤2 或 k=8

5、若(1+x+x2)1000 的展开式为 a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000,则 a0+a3+a6+a9+…+a1998 的值为 (A)3333 (B)3666 (C)3999 (D)32001 6、已知 6 技玫瑰与 3 枝康乃馨和价格之和大于 24 元,而 4 技玫瑰与 5 枝康乃馨和价格之和小于 22 元, 则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是 (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高(C)价格相同 (D)不确定 填空题(本题满分 24 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7、椭圆 ? ?

1 的短轴长等于 2 ? cos ? 3 -I,则 z1z2= 2

。 。 。

8、若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=

9、正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1 ,则直线 A1C1 与 BD1 的距离是

10、不等式

1 3 ? 2 ? 的解集为 log 1 x 2
2



第1页 共8页

11、函数 y ? x ?

x 2 ? 3x ? 2 的值域为

。 F E

A

12、 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物 (如图) , 要求同一场块中种同一种植物, 相邻的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有 种 栽种方案。 二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13、设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 (a1<a2),又
2 2
n???

B C

D

2

lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 ,试求{an}的首项与公差。

x2 2 2 14、设曲线 C1: 2 ? y ? 1 (a 为正常数)与 C2:y =2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。 a
(1) 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2) O 为原点, 若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A, 当 0<a<

1 时, 试求⊿OAP 的面积的最大值 (用 a 表示) 。 2

15、用电阻值分别为 a1、a2、a3、a4、a5、a6、 (a1>a2>a3>a4>a5>a6)的电阻组装成一个如图的组件,在组装中 应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论。

二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题
(10 月 4 日上午 10:00—12:00)

学生注意:1、本试卷共有三大题,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 (本题满分 50 分) 如图:⊿ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于 点 M,FD 和 AC 交于点 N。求证: (1)OB⊥DF,OC⊥DE; (2)OH⊥MN。 二、 (本题满分 50 分) 设 xi≥0(I=1,2,3,…,n)且

?x
i ?1

n

2

i

?2

1? k ? j ? n

?

n k xk x j ? 1 ,求 ? x i 的最大值与最小值。 j i ?1

三、 (本题满分 50 分) 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个 正方形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小 值。

第2页 共8页

2001 年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准
一.选择题:CBDDCA 二.填空题

7.

2 3 3

8.
2

?

30 72 ? i 13 13
3 ) ? [ 2 , ? ?) 2

9.

6 6

10.

(0 , 1) ? (1 , 2 7 ) ? (4 , ? ?)

11.

[1 ,

12. 732

三.解答题 13.设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得
2 a1 (a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d ) 4 2 化简得: 2a1 ? 4a1d ? d 2 ? 0

解得: d ? (?2 ? 2 )a1

……………………………………………………… 5 分

而 ? 2 ? 2 ? 0 ,故 a1<0 若 d ? (?2 ? 2 )a1 ,则 q ?
2 a2 2 a1 2 a2 2 a1

? ( 2 ? 1) 2

若 d ? (?2 ? 2 )a1 ,则 q ?

? ( 2 ? 1) 2

……………………………… 10 分

但 lim (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2 ? 1 存在,故| q |<1,于是 q ? ( 2 ? 1) 2 不可能.
n ? ??

从而

2 a1

1 ? ( 2 ? 1)

2

? 2 ? 1 ? a12 ? (2 2 ? 2)( 2 ? 1) ? 2
……………………………… 20 分

所以 a1 ? ? 2 , d ? (?2 ? 2 )a1 ? 2 2 ? 2

? x2 2 ? 2 ? y ?1 14.解:(1)由 ? a ? y 2 ? 2( x ? m ) ?

消去 y 得: x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 m ? a 2 ? 0



设 f ( x) ? x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 m ? a 2 ,问题(1)化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等根. 只需讨论以下三种情况:

a2 ?1 ,此时 xp=-a2,当且仅当-a<-a2<a,即 0<a<1 时适合; 2 2°f (a)f (-a)<0,当且仅当-a<m<a; 3°f (-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a2,当且仅当-a<a-2a2<a,即 0<a<1 时适合.
1°△=0 得: m ?
第3页 共8页

f (a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a. 综上可知,当 0<a<1 时, m ?

a2 ?1 或-a<m≤a; 2 当 a≥1 时,-a<m<a.……………………………………………… 10 分

(2)△OAP 的面积 S ? ∵0<a<

1 ay p 2

1 ,故-a<m≤a 时,0< ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m <a, 2
x p ? ? a 2 ? a a 2 ? 1 ? 2m

由唯一性得

显然当 m=a 时,xp 取值最小.由于 xp>0,从而 yp= 1 ?

x2 p a2

取值最大,此时 y p ? 2 a ? a 2 ,∴

S ? a a ? a2 .
a2 ?1 1 时,xp=-a2,yp= 1 ? a 2 ,此时 S ? a 1 ? a 2 . 2 2 1 下面比较 a a ? a 2 与 a 1 ? a 2 的大小: 2 1 1 令 a a ? a 2 ? a 1 ? a 2 ,得 a ? 2 3 1 1 1 故当 0<a≤ 时, a a ? a 2 ≤ a 1 ? a 2 ,此时 S max ? a 1 ? a 2 . 2 3 2 1 1 1 当 ? a ? 时, a a ? a 2 ? a 1 ? a 2 ,此时 Smax ? a a ? a 2 .……… 20 分 2 3 2
当m ? 15.解:设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG,当 R i=a i,i=3,4,5,6,R1、R2 是 a1、a2 的 任意排列时,RFG 最小 …………………………………………………… 5 分 证明如下: 1.设当两个电阻 R1、R2 并联时,所得组件阻值为 R,则

1 1 1 .故交换二电阻的位置,不改 ? ? R R1 R2

变 R 值,且当 R1 或 R2 变小时,R 也减小,因此不妨取 R1>R2. 2.设 3 个电阻的组件(如图 1)的总电阻为 RAB

R AB ?

R R ? R1 R3 ? R2 R3 R1 R2 ? R3 ? 1 2 R1 ? R2 R1 ? R2

显 然 R1

+R2 越大,RAB 越小,所以为使 RAB 最 小必须取 R3 为所取三个电阻中阻值最小的—个. 3.设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为 RCD

第4页 共8页

1 1 1 ? ? RCD R AB R4 ? R1 R2 ? R1 R3 ? R1 R4 ? R2 R3 ? R2 R4 R1 R2 R4 ? R1 R3 R4 ? R2 R3 R4
1?i ? j ?4

若记 S1 ?

?R R
i

j

,
,则 S1、S2 为定值,于是 RCD ?

S2 ?

i 1?i ? j ?k ?4

?R R R
j

k

S 2 ? R1 R2 R3 S1 ? R3 R4



只有当 R3R4 最小,R1R2R3 最大时,RCD 最小,故应取 R4<R3,R3<R2,R3<Rl,即得总电阻的阻值最 ………………………………………………………………………… 15 分

4°对于图 3 把由 R1、R2、R3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替.要使 RFG 最小,由 3°必需使 R6<R5; 且由 1°应使 RCE 最小.由 2°知要使 RCE 最小,必需使 R5<R4,且应使 RCD 最小. 而由 3°,要使 RCD 最小,应使 R4<R3<R2 且 R4<R3<R1, 这就说明,要证结论成立………………………………………………………………20 分

2001 年全国高中数学联合竞赛 加试参考答案及评分标准
一.证明:(1)∵A、C、D、F 四点共圆 ∴∠BDF=∠BAC 又∠OBC=

1 (180°-∠BOC)=90°-∠BAC 2

∴OB⊥DF. (2)∵CF⊥MA ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2 ∵BE⊥NA ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2 ∵DA⊥BC ∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2 ∵OB⊥DF ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2 ∵OC⊥DE

① ② ③ ④

第5页 共8页

∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2 ⑤ …………………………………… ①-②+③+④-⑤,得 NH 2-MH 2=ON 2-OM 2 MO 2-MH 2=NO 2-NH 2 ∴OH⊥MN …………………………………………………………………… 另证:以 BC 所在直线为 x 轴,D 为原点建立直角坐标系, 设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),则 k AC ? ? ∴直线 AC 的方程为 y ? ?

30 分

50 分

a a , k AB ? ? c b

a c ( x ? c) ,直线 BE 的方程为 y ? ( x ? b) c a
a 2 c ? bc 2 ac 2 ? abc , ) a2 ? c2 a2 ? c2

c ? y ? ( x ? b) ? ? a 由? ? y ? ? a ( x ? c) ? c ?
同理可得 F(

得 E 点坐标为 E(

a 2 b ? b 2 c ab 2 ? abc , ) a2 ? b2 a2 ? b2

a c c ? (x ? ) 2 a 2 b?c 直线 BC 的垂直平分线方程为 x ? 2 a c c ? y ? ? (x ? ) ? b ? c bc ? a 2 ? 2 a 2 , 由? 得 O( ) 2 2a ?x ? b ? c ? 2 ?
直线 AC 的垂直平分线方程为 y ?

k OB

bc ? a 2 bc ? a 2 2a ? ? b?c ac ? ab ?b 2

, k DF ?

ab 2 ? abc ab ? ac ? a 2 b ? b 2 c a 2 ? bc

∵ kOB k DF ? ?1 同理可证 OC⊥DE.

∴OB⊥DF

在直线 BE 的方程 y ?

bc c ) ( x ? b) 中令 x=0 得 H(0, ? a a

bc ? a 2 bc ? 2 2 a a ? a ? 3bc ∴ k OH ? b?c ab ? ac 2 ab ? ac x 直线 DF 的方程为 y ? 2 a ? bc
ab ? ac ? y? 2 x ? ? a ? bc 由? ? y ? ? a ( x ? c) ? c ?
a 2 c ? bc2 abc ? ac2 , ) a 2 ? 2bc ? c 2 a 2 ? 2bc ? c 2

得N(

第6页 共8页

a 2b ? b 2 c abc ? ab2 同理可得 M ( 2 ) , a ? 2bc ? b 2 a 2 ? 2bc ? b 2
∴ k MN ?

a(b 2 ? c 2 )(a 2 ? bc) ab ? ac ?? 2 2 2 (c ? b)(a ? bc)(a ? 3bc) a ? 3bc

∵kOH · kMN =-1,∴OH⊥MN. 二.解:先求最小值,因为 (

?
i ?1

n

xi ) 2 ?

?
i ?1

n

xi2 ? 2

1?k ? j ?n

?

k xk x j ? 1 ? j

?x
i ?1

n

i

≥1

等号成立当且仅当存在 i 使得 xi=1,xj=0,j=i ∴

?x
i ?1

n

i

最小值为 1. …………………………………………………………… 10 分

再求最大值,令 xk ? k yk ∴

? ky
k ?1

n

2 k

?2

1?k ? j ?n

? ky
n

k

yj ?1



设M ?

?x ? ?
k k ?1 k ?1

n

? y1 ? y 2 ? ? ? y n ? a1 ? y 2 ? ? ? y n ? a2 ? k yk , 令 ? ?? ? ? y n ? an ?
…………………………………………………… 30 分

2 2 2 则①? a1 ? a2 ? ? ? an ?1
n

令 a n ?1 =0,则 M ?
n n

?
k ?1

k (ak ? ak ?1 )
n n n

?

?
k ?1

k ak ?

?
k ?1

k ak ?1 ?

?
k ?1

k ak ?

?
k ?1 n

k ? 1 ak ?

?(
k ?1

k ? k ? 1 )a k

由柯西不等式得:

M ?[

?
k ?1

n

( k ? k ?1 )2 ] 2 (

1

?
k ?1

n

2 2 ak ) ?[

1

?(
k ?1

k ? k ?1 )2 ] 2

1

等号成立?

2 2 2 ak an a1 ??? ? ? ? 1 ( k ? k ?1 )2 ( n ? n ?1 )2 2 2 2 a1 ? a2 ? ? ? an 2 ak

?

1 ? ( 2 ? 1 )2 ? ?? ( n ? n ?1 )2
k ? k ?1 [

?

( k ? k ?1 )2

? ak ?

?(
k ?1

n

(k=1,2,…,n)
2
1 2

k ? k ?1 ) ]

第7页 共8页

由于 a1≥a2≥…≥an,从而 y k ? a k ? a k ?1 ?

2 k ? ( k ?1 ? k ?1 ) [

?(
k ?1

n

k ? k ?1 ) ]
2

1 2

? 0 ,即 xk≥0

所求最大值为 [

?(
k ?1

n

k ? k ?1 )2 ] 2

1

…………………………………………… 50 分

三.解:记所求最小值为 f (m,n),可义证明 f (m,n)=rn+n-(m,n) (*) 其中(m,n) 表示 m 和 n 的最大公约数 …………………………………………… 10 分 事实上,不妨没 m≥n (1)关于 m 归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为 rn+n-(m,n) 当用 m=1 时,命题显然成立. 假设当,m≤k 时,结论成立(k≥1).当 m=k+1 时,若 n=k+1,则命题显然成立.若 n<k+1,从 矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图),由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种分法使得所得正方形边长之和恰 为 m—n+n—(m-n,n)=m-(m,n),于是原矩形 ABCD 有 D D1 C 一 种 分 法 使 得 所 得 正 方 形 边 长 之 和 为 rn + n - (m , n) …………………………………… 20 分 n (2)关于 m 归纳可以证明(*)成立. 当 m=1 时,由于 n=1,显然 f (m,n)=rn+n-(m,n) 假设当 m≤k 时, 对任意 1≤n≤m 有 f (m, n)=rn+n-(m, m A1 A B n) 若 m=k+1,当 n=k+1 时显然 f (m,n)=k+1=rn+n-(m,n). 当 1≤n≤k 时,设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形,其边长分别为 al,a2,…,ap 不妨 a1≥a2≥…≥ap 显然 a1=n 或 a1<n. 若 a1<n, 则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界). 于 是 a1+a2+…+ap 不小于 AB 与 CD 之和. 所以 a1+a2+…+ap≥2m>rn+n-(m,n) 若 a1=n,则一个边长分别为 m-n 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2,…ap 的正方形,由归 纳假设 a2+…+ap≥m-n+n-(m-n,n))=rn-(m,n) 从而 a1+a2+…+ap≥rn+n-(m,n) 于是当 rn=k+1 时,f (m,n)≥rn+n-(m,n) 再由(1)可知 f (m,n)=rn+n-(m,n). ………………………………………… 50 分

第8页 共8页


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