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2018最新北师大版高中数学必修二学案:第一章 7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积

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7.2 学习目标 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 1.掌握柱体、 锥体、 台体的体积的计算公式, 会利用它们求有关几何体的体积.2. 掌握求几何体体积的基本技巧. 知识点一 柱、锥、台体的体积公式 几何体 柱体 圆柱、棱柱 体积公式 V 柱体=________ S—柱体底面积,h—柱体的高 V 锥体=________ S—锥体底面积,h—锥体的高 V 台体=________________ S 上、S 下—台体的上、下底面面积,h—高 锥体 圆锥、棱锥 台体 圆台、棱台 知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V=Sh 1 V= Sh. 3 1 V= (S′+ S′S+S)h 3 类型一 多面体的体积 例1 如图①是一个水平放置的正三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是棱 BC 的中点.正三棱柱的主 视图如图②,求正三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法:规则几何体直接代入公式求解. (2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即 可. (3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等. (4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. 跟踪训练 1 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体 积与剩余部分体积的比值为( ) 1 A. 8 1 1 1 B. C. D. 7 6 5 类型二 旋转体的体积 例2 (1)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________m3. (2)体积为 52 cm3 的圆台,一个底面面积是另一个底面面积的 9 倍,那么截得这个圆台的圆 锥的体积为( A.54 cm3 ) B.54π cm3 C.58 cm3 D.58π cm3 反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面, 将已知条件尽量归结到轴截面中求解, 分析题中 给出的数据,列出关系式后求出有关的量,再根据几何体的体积公式进行运算、解答. (1)求台体的体积,其关键在于求高,在圆台中,一般把高放在等腰梯形中求解. (2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想,作出截面图,将空间问题平面化,是 解决此类问题的关键. 跟踪训练 2 设圆台的高为 3,如图,在轴截面中母线 AA1 与底面直径 AB 的夹角为 60° ,轴 截面中的一条对角线垂直于腰,则圆台的体积为________. 类型三 几何体体积的求法 命题角度1 等体积法 例 3 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为线段 B1C 上的一点,则三棱锥 A-DED1 的体积为________. 反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理. (2)利用等体积法可求点到面的距离. 跟踪训练 3 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在三棱锥 A1-ABD 中,求 A 到平面 A1BD 的距离 d. 命题角度2 割补法 例 4 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 已知面 ABCD 是边长为 4 的正方形, EF∥AB, EF=2, EF 与平面 AC 的距离为 3,求该多面体的体积. 反思与感悟 通过“割补法”解决空间几何体的体积问题, 需要思路灵活, 有充分的空间想 象力,什么时候“割”,什么时候“补”,“割”时割成几个图形,割成什么图形,“补” 时补上什么图形,都需要灵活的选择. 跟踪训练 4 如图所示,一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最 长母线长分别为 2 和 3,求该几何体的体积. 1. 已知高为 3 的棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三角形(如图), 则三棱锥 B1—ABC 的体积为( ) 1 A. 4 C. 3 6 1 B. 2 D. 3 4 ) 2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π,那么圆柱的体积等于( A.π C.4π B.2π D.8π ) 3.棱台的上,下底面面积分别是 2,4,高为 3,则该棱台的体积是( A.18+6 2 C.24 B.6+2 2 D.18 4.某几何体的三视图如图所示,其体积为________. 5.如图是一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径 为 6 cm,高为 20 cm 的圆锥形铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降__________cm. 1.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 1 1 S′=S S′=0 V 柱体=Sh― ― →V 台体= h(S+ SS′+S′)― ― →V 锥体= Sh. 3 3 3V 2.在三棱锥 A-BCD 中,若求点 A 到平面 BCD 的距离 h,可以先求 VA-BCD,h= .这 S△BCD 种方法就是用等体积法求点到平面的距离, 其中 V 一般用换顶点法求解, 即 VA-BCD=VB-ACD =VC-ABD=VD-ABC,求解的原则是 V 易求,且△BCD 的面积易求. 3.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规 则的几何体求解. 答案精析 知识梳理 知识点一 Sh 1 1 Sh (S 上+S 下+ S上· S下)h 3 3 题型探究 例 1 解 由主视图可知,在正三棱柱中,AD= 3,AA1=3,从而在等边三角形 ABC 中, AD 3 1 1 BC= = =2, 所以正三棱柱的体积 V=Sh= ×BC×AD×AA1= ×2× 3×3=3 3. sin 60° 3 2 2 2 跟踪训练 1 D [如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 截去三棱锥 A1-AB1D1. 设正方体的棱长为 a, 1 1 1 则 VA1-AB1D1= × a3= a3, 3 2 6 1 5 故剩余几何体的体积为 a3- a3= a3, 6

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