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[推荐学习]高中数学第一章三角函数1.11.2角的概念的推广学案北师大版必修4

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生活的色彩就是学习

§1 §2

周期现象

角的概念的推广

1.了解现实生活中的周期现象. 2.了解任意角的概念,理解象限角的概念.(重点) 3.掌握终边相同角的含义及表示.(难点) 4.会用集合表示象限角.(易错点)

[基础·初探] 教材整理 1 周期现象 阅读教材 P3~P4“例 3”以上部分,完成下列问题. 1.以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象. 2.要判断一种现象是否为周期现象,关键是看每隔一段时间,这种现象是否会重复出 现,若出现,则为周期现象;否则,不是周期现象.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)某同学每天上学的时间是周期现象.( ) )

(2)月球到太阳的距离随时间的变化是周期现象.( (3)潮汐现象是周期现象.( )

【解析】 (1)由周期现象的概念知,某同学每天上学的时间不是周期现象. (2)月球到太阳的距离在任何一个确定的时刻都是确定的,并且经过一定时间,月球又 回到原来的位置,因此,是周期现象. (3)每一昼夜潮水会涨落两次,是周期现象. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√

教材整理 2 角的概念 阅读教材 P6~P7“例 1”以上部分,完成下列问题. 1.角的有关概念

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2.角的概念的推广 类型 正角 定义 按逆时针方向旋转形成的角 图示

负角

按顺时针方向旋转形成的角

一条射线从起始位置 OA 没有作任何旋转,终止位置 零角 OB 与起始位置 OA 重合,称这样的角为零度角,又称 零角 3.象限角的概念 (1)前提条件 ①角的顶点与原点重合. ②角的始边与 x 轴的非负半轴重合. (2)结论 角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. (3)各象限角的表示 第一象限:S={α |k·360°<α <90°+k·360°,k∈Z}; 第二象限:S={α |90°+k·360°<α <180°+k·360°,k∈Z}; 第三象限:S={α |180°+k·360°<α <270°+k·360°,k∈Z}; 第四象限:S={α |270°+k·360°<α <360°+k·360°,k∈Z}. (4)终边相同的角及其表示 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合: S ={β |β =α +

k×360°, k∈Z}.
如图 1-2-1 所示:

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图 1-2-1 注意以下几点: ①k 是整数,这个条件不能漏掉. ②α 是任意角. ③ k·360°与 α 之间用“+”号连接,如 k·360°-30°应看成 k·360°+ ( - 30°)(k∈Z). ④终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们 相差周角的整数倍.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)三角形的内角必为第一、二象限角.( (2)第三象限角一定比钝角大.( ) ) )

(3)始边相同,终边不同的角一定不相等.(

【解析】 (1)当三角形的一个内角为 90°时,就不是第一、二象限角.(2)第三象限 角为负角时比钝角小.(3)据终边相同角的含义知,终边不同的角一定不相等. 【答案】 (1)× (2)× (3)√ [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________

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生活的色彩就是学习 解惑:___________________________________________________________

[小组合作型] 周期现象的判断 (1)下列变化中不是周期现象的是( A.“春去春又回” B.钟表的分针每小时转一圈 C.天干地支表示年、月、日的时间顺序 D.某交通路口每次绿灯通过的车辆数 (2)水车上装有 16 个盛水槽,每个盛水槽最多盛水 10 升,假设水车 5 分钟转一圈,计 算 1 小时内最多盛水多少升. 【自主解答】 (1)由周期现象的概念易知,某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周 期现象.故选 D. 【答案】 D (2)因为 1 小时=60 分钟=12×5 分钟,且水车 5 分钟转一圈,所以 1 小时内水车转 12 圈.又因为水车上装有 16 个盛水槽,每个盛水槽最多盛水 10 升,所以每转一圈,最多盛水 16×10=160(升),所以水车 1 小时内最多盛水 160×12=1 920(升). )

1.应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的 目的. 2.只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”,就可以把问题转化到一个周期内 来解决.

[再练一题] 1.如图 1-2-2 所示是某人的心电图,根据这个心电图,请你判断其心脏跳动是否正 常.

图 1-2-2 【解】 观察图像可知,此人的心电图是周期性变化的,因此心脏跳动正常.

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生活的色彩就是学习 角的概念 下列结论: ①锐角都是第一象限角; ②第二象限角是钝角; ③小于 180 °的角是钝角、直角或锐角. 其中,正确结论的序号为________.(把正确结论的序号都写上) 【导学号:66470000】 【精彩点拨】 根据任意角、象限角的概念进行判断,正确区分第一象限角、锐角和小 于 90°的角. 【自主解答】 ①锐角是大于 0°且小于 90°的角,终边落在第一象限,故是第一象限 角,所以①正确; ②480°角是第二象限角,但它不是钝角,所以②不正确; ③0°角小于 180°,但它既不是钝角,也不是直角或锐角,所以③不正确. 【答案】 ①

判断角的概念问题的关键与技巧 1.关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. 2.技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.

[再练一题] 2.(2016·咸阳高一检测)下列说法正确的是( A.终边相同的角一定相等 B.钝角一定是第二象限角 C.第一象限角一定不是负角 D.小于 90°的角都是锐角 【解析】 终边相同的角不一定相等, 故 A 不正确; 钝角一定是第二象限角, 故 B 正确; 因-330°是第一象限角,因而 C 不正确;-45°<90°,但它不是锐角,所以 D 不正确. 【答案】 B [探究共研型] 象限角表示 探究 1 如果把象限角定义中的“角的始边与 x 轴的非负半轴重合”改为“与 x 轴的正 半轴重合”行不行,为什么? )

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生活的色彩就是学习 【提示】 不行.因为始边包括端点(原点).

探究 2 是不是任意角都可以归结为是象限角?为什么? 【提示】 不是.一些特殊角终边可能落在坐标轴上.如果角的终边在坐标轴上,就认 为这个角不属于任何一个象限. 探究 3 终边落在坐标轴上的角经常用到,下表是终边落在 x 轴、y 轴各半轴上的角, 请完成下表. α 终边所在的位置 角 α 的集合

x 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴正半轴 y 轴负半轴
【提示】 x 轴正半轴:{α |α =k·360°,k∈Z},

x 轴负半轴:{α |α =k·360°+180°,k∈Z}, y 轴正半轴:{α |α =k·360°+90°,k∈Z}, y 轴负半轴:{α |α =k·360°+270°,k∈Z}.
α 已知 α 为第二象限角,问 2α , 分别为第几象限的角? 2 【精彩点拨】 由角 α 为第二象限角, 可以写出 α 的范围: 90°+k·360°<α <180° α +k·360°(k∈Z), 在此基础上可以判断 2α , 的范围, 进而可以判断出它们所在的象限. 2 【自主解答】 ∵α 是第二象限角, ∴90°+k·360°<α <180°+k·360°(k∈Z). ∴180°+2k·360°<2α <360°+2k·360°(k∈Z). ∴2α 是第三或第四象限角,以及终边落在 y 轴的负半轴上的角.

k α k 同理,45°+ ·360°< <90°+ ·360°(k∈Z). 2 2 2
①当 k 为偶数时,令 k=2n(n∈Z). α 则 45°+n·360°< <90°+n·360°(k∈Z), 2 α 此时 为第一象限角; 2 ②当 k 为奇数时,令 k=2n+1(n∈Z). α 则 225°+n·360°< <270°+n·360°(n∈Z). 2 α 此时 为第三象限角, 2 K12 的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习 α 综上可知, 为第一或第三象限角. 2 [再练一题] α 3.本例中, 是第几象限角? 3 【解】 ∵α 为第二象限角. ∴90°+k·360°<α <180°+k·360°(k∈Z).

k α k ∴30°+ ·360°< <60°+ ·360°(k∈Z). 3 3 3
①当 k=3n(n∈Z)时, α 30°+n·360°< <60°+n·360°. 3 α 此时, 为第一象限角; 3 ②当 k=3n+1(n∈Z)时, α 150°+n·360°< <180°+n·360°. 3 α 此时, 为第二象限角; 3 ③当 k=3n+2(n∈Z)时, α 270°+n·360°< <300°+n·360°. 3 α 此时, 为第四象限角. 3 α 综上可知, 为第一或第二或第四象限角. 3

终边相同的角 探究 4 在同一坐标系中作出 390 °,-330°,30°的角并观察,这三个角终边之间 的关系?角的大小关系? 【提示】如图所示,三个角终边相同,相差 360°的整数倍.

探究 5 对于任意一个角 α ,与它终边相同的角的集合应如何表示? 【提示】 所有与角 α 终边相同的角连同 α 在内,可以构成一个集合.S={β |β = K12 的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习 α +k·360°,k∈Z},即任何一个与角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与周角整数 倍的和. 已知 α =-1 910°. (1)把 α 写成 β +k·360°(k∈Z,0°≤β <360°)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求 θ ,使 θ 与 α 的终边相同,且-720°≤θ <0°.

【精彩点拨】 利用终边相同的角的关系 β =α +k·360°,k∈Z. 【自主解答】 (1)-1 910°=250°-6×360°,其中 β =250°,从而 α =250°+ (-6)×360°,它是第三象限的角. (2)令 θ =250°+k·360°(k∈Z), 取 k=-1,-2 就得到满足-720°≤θ <0°的角, 即 250°-360°=-110°,250°-720°=-470°. 所以 θ 为-110°,-470°.

终边相同的角相差 360°的整数倍. 判定一个角在第几象限, 只要在 0°~360°范围内 找与它终边相同的角,即把这个角 β 写成 β =α +k×360°(0°≤α <360°)(k∈Z)的形 式,判断角 α 是第几象限角即可.

[再练一题] 4.在与角 10 030°终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最大的负角; (2)最小的正角; (3)360°~720°的角. 【解】 (1)与 10 030°终边相同的角的一般形式为 β =k·360°+10 030°(k∈Z), 由-360°<k·360°+10 030°<0°,得-10 390°<k·360°<-10 030°,解得 k=-28, 故所求的最大负角为 β =-50°. (2)由 0°<k·360°+10 030°<360°,得-10 030°<k·360°<-9 670°,解得 k =-27,故所求的最小正角为 β =310°. (3)由 360°≤k·360°+10 030°<720°,得-9 670°≤k·360°<-9 310°,解得

k=-26,故所求的角为 β =670°.
[构建·体系]

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1.下列变化是周期现象的是( A.地球自转引起的昼夜交替变化 B.某同学每天上学的时间

)

C.某交通路口每小时通过的车辆数 D.某同学每天打电话的时间 【解析】 由周期现象的概念知 A 为周期现象. 【答案】 A 2.与-265°终边相同的角为( A.95° C.85° ) B.-95° D.-85°

【解析】 因为-265°=-360°+95°,所以-265°与 95°终边相同. 【答案】 A 3.25°的角的始边与 x 轴的非负半轴重合,把终边按顺时针方向旋转 2.5 周所得的角 是________. 【解析】 由题意,所得的角为 25°+360°×(-2.5)=-875°. 【答案】 -875° 4.已知点 P(0,-1)在角 α 的终边上,则所有角 α 组成的集合 S=________. 【导学号:66470001】 【解析】 由题意知在 0~360°内对应的 α =270°,所以所有 α 组成的集合 S= {α |α =270°+k·360°,k∈Z}. 【答案】 {α |α =270°+k·360°,k∈Z} 5.写出终边落在坐标轴上的角的集合 S. 【解】 终边在 x 轴上的角的集合为 S1={β |β =n·180°,n∈Z},终边在 y 轴上的 角的集合为 S2={β |β =n·180°+90°,n∈Z}. K12 的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习 于是终边在坐标轴上的角的集合

S=S1∪S2={β |β =n·180°,n∈Z}∪{β |β =n·180°+90°,n∈Z}
={β |β =2n·90°,n∈Z}∪{β |β =(2n+1)·90°,n∈Z} ={β |β =n·90°,n∈Z}.

我还有这些不足: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________

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