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【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训(三十一)等差数列及其前n项和 理 新人教A版

时间:2013-09-27


限时集训(三十一)

等差数列及其前 n 项和
满分:81 分)

(限时:45 分钟

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知 {an }是等差数列,且 a3 +a9 =4a5 ,a2 =-8,则该数列的公差是( A.4 C.-4 B.14 D.-14 ) )

2.已知等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,若 S17 =a,则 a2 +a9 +a16 等于( A. C.

a
17 3a 17

B.

4a 17

3a D.- 17

3.(2 013·秦皇岛模拟)设 Sn 为等差数列{an }的前 n 项和,若 a1 =1,公差 d=2,Sk +2 -Sk =24,则 k=( A.8 C.6 ) B.7 D.5

4.已知{an }为等差数列,a1 +a3 +a5 =105,a2 +a4 +a6 =99.以 Sn 表示{an }的前 n 项和, 则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 C.19 ) B.20 D.18

5.已知 Sn 为等差数列{an }的前 n 项和,若 S1 =1, =4,则 的值为( A. C. 9 4 5 3 B. 3 2

S4 S2

S6 S4

)

D.4

6.(2013·玉溪模拟)数列{an }的首项为 3,{bn }为等差数列且 bn =an +1 -an (n∈N * ).若

b3 =-2,b10 =12,则 a8 =(
A.0 C.8

) B.3 D.11

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7. 等差数列{an }中 a1 =1, n 项和 Sn 满足 =4, 前 则数列{an }的前 n 项和 Sn =________. 8. 已知等差数列{an }中,n ≠0, n>1 且 an -1 +an +1 -a2 =0,2 n -1 =38, n 等于________. a 若 S 则 n

S4 S2

1

9.(2013·南京模拟)已知等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,若(a2 -1)3 +2 012(a2 -1)= 1,(a2
011

-1)3 +2 012·(a2 011 -1)=-1,则下列四个命题中真命题的序号为________.
011

①S2

=2 011;②S2 012 =2 012;③a2

011

<a2 ;④S2

011

<S2 .

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.设 a1 ,d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列{an }的前 n 项和为 Sn ,满足 S5 S6 +15=0. (1)若 S5 =5,求 S6 及 a1 ; (2)求 d 的取值范围. 11.已知等差数列{an }中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn ,a2 ·a3 =45,a1 +a5 =18. (1)求 数列{an }的通项公式; (2)令 bn =

Sn

n+c

(n∈N ),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn }也为等差数列?若存在,

*

求出 c 的值;若不存在,请说明理由. 12.已知 Sn 是数列{an }的前 n 项和,Sn 满足关系式 2Sn =Sn -1 - 1 数),a1 = . 2 (1)令 bn =2n an ,求证数列{bn }是等差数列,并求数列{an }的通项公式; (2)在(1)的条件下,求 Sn 的取值范围. 答 限时集训(三十一) 1.A 7.n
2

?1?n -1 +2(n≥2,n 为正整 ?2?

案 等差数列及其前 n 项和

2.C 8.10

3.D

4.B

5.A

6.B

9.②③

15 10.解:(1)由题意 知 S6 =- =-3,

S5

a6 =S6 -S5 =-8,
所以?
?5a1 +10d=5, ? ? ?a1 +5d=-8,

解得 a1 =7.

所以 S6 =-3,a1 =7. (2)因为 S5 S6 +15=0, 所以(5a1 +10d)(6a1 +15d)+15=0, 即 2a 1+9da1 +10d +1=0. 故(4a1 +9d)2 =d2 -8,所以 d2 ≥8.
2
2 2

故 d 的取值范围为

d≤-2 2或 d≥2 2.
11.解:(1)由题设,知{an }是等差数列,且公差 d>0,则由?
? ?? ?a2 a3 =45, ? ? ?a1 +a5 =18,

得?

a1 +d? ? a1 +2d? =45, a1 +4d? =18,
故 an =4n-3(n∈N * ).

?a1 +? ?

解得?

?a1 =1, ? ? ?d=4.

n? 1+4n-3?
(2)由 bn =

Sn = n+c

2

2n n - =

? ?

n+c

n+c

1? 2? .

1 ∵c≠0,∴可令 c=- ,得到 bn =2n. 2 ∵bn +1 -bn =2(n+1)-2n=2(n∈N * ), ∴数列{bn }是公差为 2 的等差数列. 1 即 存在一个非零常数 c=- ,使数列{bn }也为等差数列. 2 1 1 1 12.解:(1)由 2Sn =Sn -1 -? ?n -1 +2,得 2Sn +1 =Sn -? ?n +2,两式相减得 2an +1 =an +? ? ?2? ?2? ?2?
n

, 上式两边同乘以 2n 得 2n +1 an +1 =2n an +1,即 bn +1 =bn +1,所以 bn +1 -bn =1,故数列{bn }

是等差数列, 且公差为 1.又因为 b1 =2a1 =1,所以 bn =1+(n-1)×1=n.因此 2n an =n,从而 an = 1 n·? ?n .

?2?

(2)由于 2Sn =Sn -1 -

?1?n -1 +2,所以 2S -S =2-?1?n -1 ,即 S +a =2-?1?n -1 . n n -1 n n ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? ?2?

1 1 1 1 1 Sn =2-? ?n -1 -an ,而 an =n·? ?n ,所以 Sn =2-? ?n -1 -n·? ?n =2-(n+2)·? ?n .

?2?

所以 Sn +1 =2-(n +3)·

?1?n +1 ,且 Sn +1 -Sn =n+1>0.所以 Sn ≥S1 =1,又因为在 Sn =2 ?2? 2n +1 2

1 1 -(n+2)·? ?n 中,(n+2)·? ?n >0,故 Sn <2, ?2? ?2? 1 即 Sn 的取值范围是? ,2?. ?2 ?

3


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