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浙江省衢州市2015届高三2月教学质量检测数学(理)试题

时间:2015-02-25


2015 年 2 月衢州市高三教学质量检测 数学(理)
考生须知:
1. 全卷分试卷Ⅰ、试卷Ⅱ和答题卷.考试结束后,将答题卷上交. 2. 试卷共 4 页,三大题,共 22 小题.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 3. 请将答案做在答题卷的相应位置上,写在试卷上无效. 参考公式: 球的表面积公式 锥体的体积公式

5.已知 m、n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ▲ ) A.若 ? ⊥ ? ,m∥ ? ,则 m⊥ ? C.若 m⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 m∥ ?
2

B.若 m∥ ? ,n∥ ? ,且 m∥n,则 ? ∥ ? D.若 m⊥ ? ,

n⊥ ? ,且 m⊥n,则 ? ⊥ ?

6.数列{ an }满足 an = n ? kn ? 2 ,若不等式 an ≥ a4 恒成立,则实数 k 的取值范围是( ▲ ) A.[-9,-8] B.[-9,-7] C.(-9,-8) D. (-9,-7)

S ? 4? R2
球的体积公式

V ?

1 Sh 3

7.对 a, b ? R ,记 max{ a , b }= A.有最大值

{

a(a≥b) 9 b (a<b) 则函数 f ( x) ? max{| x ? 1|, x 2 ? 2 x ? } (▲)
4
B.有最大值 B.有最小值

4 V ? ? R3 3
其中 R 表示球的半径

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体 的高 A.有最小值 8.如图

3 ,无最小值 2 3 ,无最大值 2

1 ,无最小值 2 1 ,无最大值 2
ABC 沿边 BC 折起,使得二面

试卷Ⅰ 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求 .... 的.)
1.设集合 A={x| x -x-12>0},B={x|-2≤x≤6},则( ?R A )∪B= ( ▲ )
2

ABC 是等腰三角形,其中 ? A = 90 ,且 DB⊥BC, ?BCD ? 30 ,现将

角 A-BC-D 大小为 30 ,则异面直线 BC 与 AD 所成的角为 ( ▲ ) A. 30 B. 45 C. 60
A

D. 90
A

A. R
2 2

B.[-3,6]

C.[-2,4]

D.(-3,6]

2.“ ac ? bc ”是“a>c”的 ( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
B CB

C

3.把函数 y ? sin 2 x ? 3cos2 x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 所得的图像解析式为( ▲ ) A. y ? 2sin(4 x ? C. y ? 2 sin( x ?

1 倍,纵坐标不变, 2

9.已知圆 M:( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 ,过点 P(0,t)
2 2

?
3 )

)

?

2? ) B. y ? 2sin(4 x ? 3
D. y ? 2 sin( x ?

的直线交圆于不同的两点 A,B,且 PA=PB, 则实数 t 的取值范围是 ( ▲ ) A.[-1,7] B.(3,7]

第 8 题图
D

D

?

C.[3-2 2 ,3)∪(3,3+2 2 ]

D. C.[3-4 2 ,3)∪(3,3+4 2 ] 1(x ? M) 0(x ? M),其中 M 为非空数集且

3

6

)

10.函数 f M ( x) 的定义域为 R,且定义如下: f M ( x) = 4.函数 f ( x) ? a ( a >0 且 a ≠1)满足 f (1) >1,则函数 y ? loga ( x ?1) 的单调减区间为( ▲ )
x

{

2

M ? R) ,若 A,B 是实数集 R 的两个非空真子集且满足 A ? B ? ? ,则函数

A.(1,+∞)

B.(-∞,0)

C.(-∞,-1)

D.(0,+∞)

F ( x) ?

f A? B ( x ) ? f A ? B ( x ) 的值域为 ( ▲ ) f A ( x) ? f B ( x) ? 1

高三教学质量检测数学(理)

(第 1 页 共 8 页)

A.{0,

1 } 2

B.{0,1}

C.{0,

2 ,1} 3

D.{0,

1 2 , } 2 3

(Ⅱ)求 ABC 周长的最大值.

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把正确答案填在答题卡中的横线上.) 19. (本题满分 14 分)已知数列{ an }是公差不为 0 的等差数列,其前 n 项和为 Sn , a1 , a2 , a4 成等比数列, 2a5 ? S3 ? 8
2

1 2 11.已知抛物线 C: y ? x ,则其焦点坐标为 4
12.若 cos(? ?

;准线方程为

.

?

4 ? ) ? ? ,则 sin(? ? ) = 3 5 6

.
2 正视图 侧视图

(Ⅰ)求数列{ an }的通项公式;

13.一个几何体的三视图如右图所示, 则该几何体的表面积是 .
1 俯视图 1

2

3n * (Ⅱ)若数列{ an }的前 n 项和 Tn ? ,对任意 n ? 2 且 n ? N ,不等式 bn < kTn 恒成立, an ? 1
求实数 k 的取值范围.

14.已知非负实数 x,y,z 满足 3x ? y ? z ? 3 ? 0 , 则 x ? y ? 1 的最大值为 .

第13题图

20. (本题满分 14 分)在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,E 为 AD 的 中点,∠BAD= 120 ,PA=AB=BC=
C

15.如图,定圆 C 半径为 r,A 为圆 C 上的一个定点,B 为 圆 C 上的动点,若点 A,B,C 不共线,且 | AB ? t AC |?| BC |
A

1 PF AD,F 是线段 PB 上动点,记 ? ? 2 PB
P

B
第15题图

(Ⅰ)求证:CE∥平面 PAB; (Ⅱ)设二面角 F-CD-E 的平面角为θ , 当 tanθ =

对任意 t∈(0,+∞)恒成立,则 AB AC =

.

1 时,求实数 ? 的值. 2
B

F

E A

D

16.已知双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 作双曲线 C a 2 b2

C
第20题图

的一条渐近线的垂线,垂足为 H,交双曲线于点 M 且 F2 M ? 2MH ,则双曲线 C 的 离心率为 .

x2 y 2 3 21. (本题满分 15 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) ,短轴长为 2,离心率为 . a b 2
[ x] ? a ( x ? 0) 有且仅有 3 个 2x
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若过点 P(1,0)的任一直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点(长轴端点除外), 证明:存在一定点 Q ( x0 ,0) ,使 QA QB 为定值,并求出该定点坐标.

17.已知 x∈R,[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ( x ) ? 零点,则实数 a 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18.(本题满分 14 分)在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

cos 2 B ? 3cos B ? 1 ? 0 ,且 a 2 ? c 2 ? ac ? b ? 2
(Ⅰ)求边 b 的边长;

22. (本题满分 15 分)已知函数 fn ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) ,
n

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(第 2 页 共 8 页)

(Ⅰ)若 f1 ( x) ? 3x ? 1 , f 2 ( x) 为偶函数,求 a, b, c 的值; (Ⅱ)若对任意实数 x ,不等式 2 x ? f 2 ( x) ?

1 ( x ? 1) 2 恒成立,求 f 2 (?1) 的取值范围; 2

(Ⅲ)当 a ? 1 时,对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,恒有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求实数 b 的取值范围.

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(第 3 页 共 8 页)

2015 年 2 月衢州市高三教学质量检测

19. (本题满分 14 分)
2 ?a2 ?(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ? a1a4 ?a1 ? d ? ? ? 解: (1) 由条件可知, ?2a5 ? S3 ? 8 ? ?2(a1 ? 4d ) ? 3a1 ? 3d ? 8 ? ?a1 ? 5d ? 8 ? 0 ?d ? 0 ?d ? 0 ?d ? 0 ? ? ? 解得a1 ? d ? 2, an ? 2n

数学(理)参考答案
一、选择题: BAACD BCADD 二、填空题: 11. (0,1), y ? ?1 ; 15. r ;
2

(2) {bn }前n项和Tn ?
12.

4 ; 5

b 3n 3n ? ?当n ? 1时,b1 ? T1 , 此时 1 ? 1;. an ? 1 2n ? 1 T1
bn Tn ? Tn ?1 T 2 2 2 ? ? 1 ? n ?1 ? ? ? Tn Tn Tn 3 3(2n ? 1) 3 bn 2 ? Tn 3 bn 2 )max,即k ? Tn 3

13. 24 ? 4 5 ;

14. 3 ? 1 ;

16. 5 ;

? 3 2? 17. ? , ? ? 8 5?

?2 3 ? ?. ?3 , 4 ? ?

当n ? 2时,bn ? Tn ? Tn ?1 ? 由上分析可知,对n ? N ? ,

三、解答题: 18. (本题满分14 分) 解: (Ⅰ)

cos 2 B ? 3cos B ? 1 ? 0

? 2 c o sB ?
2

3 cB o? s ? 2

0

要使对任意n ? N?且n ? 2,不等式bn ? kTn 恒成立,只要k ? (
20.(本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)

解得 cos B ?

1 或 cos B ? ?2 (舍去) 2
2 2 2

又 B ? (0, ? ) 则 B ?

?
3
E 为 AD 的中点, BC ?

2 2 由余弦定理得 b ? a ? c ? ac ,又 a ? c ? ac ? b ? 2

1 AD 2

? A E ? B C 又 AD / / BC

? b2 ? b ? 2 ? 0

解得 b ? 2

(Ⅱ)解法 1:由正弦定理得

a c b 2 4 3 ? ? ? ? , sin A sin C sin B sin ? 3 3

则a?b?c ?

4 3 4 3 2 (sin A ? sin c) ? 2 ? [sin A ? sin( ? ? A)] ? 2 3 3 3 4 3 3 3 ? ( sin A ? cos A) ? 2 ? 4sin( A ? ) ? 2 3 2 2 6

?

? 四边形 AEBC 为平行四边形, AB / /CE 又 CE ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB ? CE / / 平面 PAB (Ⅱ)解法 1:过 F 作 FH / / AP 交 AB 于点 H , PA ? 平面 ABCD ? FH ? 平面 ABCD 过 H 作 HG ? CD 交直线 CD 于点 G ,连接 FG ,则 FG ? CD ??FGH 即为二面角 F ? CD ? E 的平面角, P 1 tan ?FGH ? 延长 AB 与 DC 交于点 Q , F 2 1 A 设 FH ? a ,则 HG ? 2a ,又 PA ? AB ? BC ? AD H 2 B C G ? ?BQC ? 30? , ?PBA ? 45? , Q

E

D

?当 A ?

?
3
2

时,周长 a ? b ? c 取得最大值 6
2

在 Rt ?HGQ 中, HQ ? 4a ; Rt ?PHB 中, BH ? FH ? a ,则 BQ ? 3a , HA ? 2a

解法 2:由 a ? c ? ac ? b ? 2 ? ac ? 4 得

?? ?

PF AH 2a 2 ? ? ? PB AB 3a 3

(a ? c) 2 ? 3ac ? 4 ? 3 ? (
则a?c ? 4

a?c 2 ) ?4 2

(当且仅当 a ? c 时取“=” )

, C( , 解法 2:以 A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系,设 AB ? 1 则 B(1, 0, 0) z
由? ?

? 当 a ? c ? 2 时周长 a ? b ? c 取得最大值 6

1 3 , 0) ,D(?1, 3, 0) 2 2

PF 可得 PF ? ? PB PB

, ? ? (0,1)
F

P

A
高三教学质量检测数学(理) (第 4 页 共 8 页)

E

D
y

x

B

C

可求得 F (? ,0,1 ? ? ) 则 CF ? (? ?

定点 Q (

17 , 0) (其他解法酌情给分) 8

1 3 ,? ,1 ? ? ) 2 2

DF ? (? ? 1, ? 3,1 ? ? )
?n CF ? 0 ? ? ?n DF ? 0
由 tan ? ?

22. (本题满分 15 分) 解:(Ⅰ)由

f1 ( x)? 3x ? , 1 f 2 ( x) 为偶函数得
?a ? b ? 3 ? ? a ? 3, b ? 0, c ? 1 . ?c ? 1 ?b ? 0 ?

设平面 FCD 的法向量 n ? (1, y, z )

由?

可得 n ? (1, 3,

? ?2 ) ? ?1

又平面 CDE 的法向量为 n1 ? (0,0,1)

1 2 5 可得 cos ? ? 2 5

(Ⅱ)由题意可知 f 2 (1) ? 2 , f 2 (1) ? 2 ? f 2 (1)=2 ,

由 cos ? ?

n n1 n n1

?

2 6 2 2 5 解得 ? ? 或? = (舍去) ,所以 ? ? 3 3 5 5

?a ? b ? c ? 2 ,
对任意实数 x 都有 f 2 ( x ) ? 2 x ,即 ax2 ? (b ? 2) x ? c ? 0 恒成立,

21. (本题满分 15 分) 解:(Ⅰ)由题意得 b ? 1 ,又 e ?

3 c 3 即 ? 2 a 2

? c2 ?

3 2 a 4

即b ?
2

1 2 a 4

∴?

?a ? 0
2 ?(b ? 2) ? 4ac ? 0

,由 a ? b ? c ? 2, ? a ? c, b ? 2 ? 2a

? a 2 ? 4 椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4 x2 ? y 2 ? 1消去 x 化简得 4

此时 f 2 ( x ) ?

1 1 1 ( x ? 1) 2 ? ( a ? )( x ? 1) 2 , 对任意实数 x 都有 f 2 ( x ) ? ( x ? 1) 2 成立, 2 2 2

(Ⅱ)由题意设直线 l : x ? ty ? 1, 将其代入椭圆

?0 ? a ?

1 , ? f 2 (?1) ? a ? b ? c ? 4a ? 2 的取值范围是 ? ?2,0? . 2

(t 2 ? 4) y 2 ? 2ty ? 3 ? 0

?2t ? y1 ? y2 ? 2 ? ? t ?4 由韦达定理 ? ? y y ? ?3 1 2 ? t2 ? 4 ?
则 QA ? ( x1 ? x0 , y1 ) , QB ? ( x2 ? x0 , y2 )

( Ⅲ)对任意 x1, x2 ? [?1,1] 都有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 等价于在 ? ?1,1? 上的最大值与最小值之差 M ? 4 ,据此 分类讨论如下:

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

?QA QB ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? y1 y2 ? x1x2 ? (x1 ? x2 )x0 ? x02 ? y1 y2
? (ty1 ?1)(ty1 ?1) ? [t ( y1 ? y2 ) ? 2]x0 ? x02 ? y1 y2
? (t 2 ?1) y1 y2 ? t (1 ? x0 )( y1 ? y2 ) ? ( x0 ?1)2
? (t 2 ? 1) ?3 ?2t ? t (1 ? x0 ) 2 ? ( x0 ? 1) 2 t ?4 t ?4
2

b |? 1, 即 b ? 2 时, M ?| f 2 (1) ? f 2 (-1) |? 2 | b |? 4 ,与题设矛盾. 2 b b b 2 (ⅱ) 当 -1 ? - ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, M ? f 2 (1) ? f 2 (- ) ? ( ? 1) ? 4 恒成立. 2 2 2 b b b 2 (ⅲ)当 0 ? - ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, M ? f 2 (-1) ? f 2 (- ) ? ( -1) ? 4 恒成立. 2 2 2 综上可知, ?2 ? b ? 2 .
(ⅰ)当 | (其他解法酌情给分)

?

( x0 2 ? 4)t 2 ? 4 x0 2 ? 8 x0 ? 1 t2 ? 4

对过点 P 的任意直线,使 QA QB 为定值

? 只要

x0 2 ? 4 4 x0 2 ? 8 x0 ? 1 ? 1 4

解得 x0 ?

17 8

此时 QA QB =

33 64

高三教学质量检测数学(理)

(第 5 页 共 8 页)


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