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2.4.1等比数列的定义与通项公式

时间:2018-04-12


等比数列
等比数列的概念与通项公式
主讲人:颜婉菁

知识链接回顾

第一部分

还记得等差数列的定义吗?

定义

从第2项起,每一项与其前 一项的差都等于同一常数的 数列,称为等差数列

递推公式

an+1 -an=d
等差中项 若a,b,c三数成等差数列,则b叫 做a与c的等差中项

通项公式

an= a1+(n-1)d

2b=a+c

二、情 景 引 入
1.如图是某种细胞分裂的模型,那么这种细胞每次分裂的个数组成 一个什么数列?

1,2,4,8,16…

从第2项每一项与 前一项的比等于多 少?

2.庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
意思:“一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为一份, 则每日剩下的部分依次为:

1 1 1 1 1, , , , , … 2 4 8 16
从第2项每一项与前 一项的比等于多少?

3、 一种计算机病毒通过邮件进行传播,如果把病毒制造 者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发送病毒称为第二轮, 依此类推.假设每一轮每台计算机都感 染20台计算机,那 么在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计算机数 构成的数列是什么?

2 3 1,20,20 ,20 ,…

从第2项每一 项与前一项的 比等于多少?

(1)1,2,4,8,16…
1 1 1 1 (2 ) 1, , , , , … 三、自主探究 2 4 8 16

(3)1,20,202,203,…
你能看出以上数列有哪些共同特征吗?
7

三、自主探究
特征一

? 数列每一项数字都不为零

? 从第二项开始,数列每一项与它前一项的 比等于同一个常数 特征二 ? 从第三项开始,数列中间一项的平方等于 其前项与后项的乘积 特征三

8

1.等比数列的定义
如果一个 数列从第2 项起,
等比 数列

那么这个数 列叫做等比 数列,
的 定义

公比通常用字 母q表示(q≠0)

每一项与它 的前一项的 比等于同一 常数,

这个常数叫 做等比数列 的公比。

2.等比数列{an}的递推公式:

an ? q ( n ? 2) an?1


an ? 0

an?1 * ? q(n ? N ) an





等差数列

等比数列

定 义

如果一个数列从第2项起,如果一个数列从第2项起, 每一项与前一项的差等于 每一项与它前一项的比 同一个常数,那么这个数 都等于同一个常数 , 那么 列叫做等差数列.这个常 这个数列叫做等比数列 . 数叫做等差数列的公差, 这个常数叫做等比数列 的公比,用q表示 用d表示

数学式 子表示 通项公式

an+1-an=d an = a1 +(n-1)d

?

3.等比数列的通项公式
×q ×q ×q ×q
是等比数列,它的公比是q,那么

a2 ? a1 ? q

a3 ? a2 ? q ? a1 ? q 2

a4 ? a3 ? q ? a1 ? q

3 4

不完全归纳法

a5 ? a4 ? q ? a1 ? q

...

由此可知,等比数列

?an ? 的通项公式为

当q=1时,这是一 个常函数。

an ? 0

由定义归纳通项公式
问:如何用a1 和q表示第n项an 累乘法:

a2 ? q, a1

a4 a3 ? q, ? q, a3 a2
an ? ? q, a n ?1

an ? q, an ?1



a2 a3 a4 ? ? ? a1 a2 a3

a2 a3 a4 ∴ a ?a ?a ? 1 2 3

an ? ? q n ?1, an ?1



an ? q n ?1, a1

特别地,等比数列{an}中,a1≠0,q≠0

注意:
公比q,数列中的项an能不能是零?

不能!!

注意:(1)等比数列通项公式的推导方法,体现了从特殊到 一般的思想. (2)已知等比数列的首项和公比,可以求得该数列中的任意 一项. (3)在等比数列中,若已知 a1,q,n,an 四个量中的三个, 就可以求出另一个量.

初露才华:下面四个等比数列的通项公式分别是什么?

(1)1,2,4,8,16…

an ? 2

n?1 ,

1 1 1 1 (2) 1, , , , , … 2 4 8 16

1 n ?1 an ? ( ) , 2

(3)1,20,202,203,…

an ? 20

n?1 ,

4.等比中项 与等差数列概念类似, 如果在a和b中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数 列,那么G叫做a与b的等比中项,有:

2 G =ab 6 练一练:2,x,y,z,18 成等比数列,则 y=________.

5.将等比数列的通项公式看作是一个关 于n的函数,这是一个什么类型的函数?

a1 n 等比数列的通项公式可以变形为 an=( q )q , 因此等比数列 {an}中各项所表示的点(n,an)孤立地分布在第一象限或第四象 a1 x 限,即这些点在曲线 y=( q )q 上,因此可以利用函数思想求解 等比数列的通项公式.

三、例题精讲

题型一:等比数列的基本概念

21

例1:一个等比数列的第3项和第4项分别是12 和18,求它的第1项和第2项.
解 解:用{an} 表示题中公比为q的等比数列,由已知条件,有



解得

因此, 答:这个数列的第1项与第2项分别是

在等比数列{an}中,
3 ? a q ? 1 =2 [解析] 设公比为 q,由题意,得? 6 ? ?a1q =8

a4=2,a7=8,求 an;

① ②



② ①

得 q3=4,∴q= 4.

3

2 1 ∴a1=q3=2, ∴an=a1q
n-1

1 =2 ×



.

三、例题精讲

题型二:等比数列的判定和证明

24

[ 方法总结]

判定数列是等比数列常用的方法

an+1 an (1)定义法: a =q(常数)或 =q(常数)(n≥2)?{an}为等 an-1 n 比数列.
* (2)等比中项法 a2 = a · a ( a ≠ 0 , n ∈ N )?{an}为等比数 + + n 1 n n 2 n

列. (3)通项法: an=a1q 为等比数列.
n-1

(其中 a1、 q 为非零常数, n∈N*)?{an}

【变式与拓展】 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求证:数列{an+1}是等比数列;

(2)求{an}的通项公式.
(1)证明:方法一:∵an+1=2an+1,

an+1+1 ∴ =2. an+1

方法二:an+1=2an+1, an+1+1 2an+1+1 2?an+1? ∴ = = =2. an+1 an+1 an+1

∴{an+1}是首项为 a1+1=2, (2)解:由(1)知:an+1=(a1+1)qn-1=2· 2n-1=2n, 公比为 2 的等比数列.
∴an=2n-1.

∴{an+1}是首项为 a1+1=2,公比为 2 的等比数列.

三、例题精讲

题型三:中项

28

等差数列{an}的公差不为零,首项 a1=1,a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列{an}的前 10 项之和是( B ) A.90 C.145 B.100 D.190

[ 解析]
2

设公差为 d,由题意得 a2 a5, 2=a1·

∵a1=1,∴(1+d)2=1+4d, ∴d -2d=0,∵d≠0,∴d=2, 10×9 ∴S10=10×1+ 2 ×2=100,故选 B.

等差数列{an}中,公差 d≠0,且 a3 是 a1 和 a9 的等比中项,

13 a1+a3+a9 则 =________. 16 a2+a4+a10
[解析] 由题意知,a3 是 a1 和 a9 的等比中项,

2 ∴a2 = a a ,∴ ( a + 2 d ) =a1(a1+8d),解得 a1=d, 3 1 9 1

13d 13 ∴ =16d=16. a2+a4+a10

a1+a3+a9

小 结:
知识内容 研究方法 思想方法

等比数列的 概念。

类比

方程的思想。

感谢观看

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