nbhkdz.com冰点文库

浅议椭圆离心率问题的求解策略——从一道高考题的多种解法谈起

时间:2015-09-23


第J  粥 

高中数学教 与学  

浅 议 枷 圆 离 心 率 问 题 硇 求 触 策 略 
— —

从一道 高考题 的多种解 法谈起 

陈勇军  
( 江苏 省通卅I 高级 中学 , 2 2 6 3 0 0)  

高考 中经 常考查 椭 圆 的离 心率 问题. 从  知识 上看 : 它涉及 到 椭 圆的定 义 、 方程 、 几何 

本文 只对 问题 ( 2 )的解法作些探究 , 从 中  可 以总结 出求离心率 的规律.  

性质、 直 线 与椭 圆 的位置关 系 、 代 数变 换 、 平 

解法 1   (通 性 通 法 , 命 题 组 提  供) ‘ . ’  ( 0 , b ) , F : ( c , 0 )在直线 A B上 , . ? . 直线 
A B的方程为  +  
C   0 

面几何 、 向量 、 三角 函数 等多 方 面知识 , 具有 
定综 合性. 从 能力上 看 : 它要考 查学 生的运  算能力 、 数学方 法选择 的 能力 、 各 种知识 的综 


=1 .  

合应 用能 力 、 数学 思维 能力 等. 因此 , 在 各类 

将其代入椭 圆方程 , 得 
2 Ⅱ   c   6 ( c  一0   )  

考试 中 , 离心率 问题都 受到命 题者 的关 注. 本 
文从 2 0 1 4年 江 苏 省高 考 一 道试 题 的 解 法谈 
起, 对求 椭圆离心率 的策 略进 行 归纳 , 对 求双 

-   0 孺十 C    
2 = 0, , , 2 = 6,  
? . .

_ _ 口  十   C ;  

曲线 离心率也有类似的启迪 作用.  


、 一

道高考题 的解法探究 

点 A 的 坐 标 为 (   ,  

) .  

2 0 1 4年江苏 省高考数学卷 第 1 7题 :  
如图 1 , 在平面直 角坐标 系 x O y中 . F 。 ,  
2   2  

又A C上   轴, 由椭 圆的对称性 可得点 C  

坐 标 ( 等 ,  
. . .
? ’ .

) ,  
.  
j0 C 十 C  
C 

分别是椭圆   + 鲁 =1 ( 8>b> 0 ) 的左、 右  0   0  
焦点 , 顶 点 B的坐标为 ( 0 , b ) , 连结 B F , 并延长 

直线 F   G的斜率 为 

交椭 圆于点 A, 过点 A作  轴 的垂线 交椭圆于  另一点 c, 连结 F   C .  
,  


直线 A 曰的斜率为 一. 竺 - , 且F 。 C上A B ,  
I l } F   c?  d   = 一1 ; 又 b  = a :一C   ,  

’ .

’ .


Ⅱ  :5 c   , 故 e 2=  1


4 5  
e =
. 

这种解法 思路 自然 , 但运 算较繁 , 要解含 

Y A  ,  
图 1  

字母的二元 二 次方 程组 及 式子 的化 简. 能 否 

换个角度思考 , 设 出点 A的坐标求 解 呢? 由题  目中有 两个 几何 条 件 : ① A、 F 2 、 B三 点共 线 ,   ②  c上A B, 将它转化为代数条件 , 可以列 出  

( 1 ) 若点 c的… A A ̄ … "\4

3 ~ ,

程组, 这样 总 比解 二 元二 次 方程  ÷ ) , J  ̄ B F 2 =   二元一次方 组 的计算量要小一些.  

√  , 求椭 圆的方 程 ;   ( 2 )若 F 。 C 上A B, 求椭 圆离心率 e 的值.  

解 法 2 设点 a ( x 。 , Y o ) , 依题意 , 点 c的 
坐标 为( ‰, 一y 。 ) .  
?

3 7?  

高中数学教 与学  

. ? ?
一  

2 0 1 4年  
Fl C 上 A  , . ‘ .   Z _ BF  0 =   OBF2 = o l ,   一  

.  

,.



,  

?




即 
。 ’ 

6 ‰ +C y o=b c .  


① 
? . 。

F。 C 上 AB ,  

A C上  轴 , . . . A、 C关于  轴对称 ,  
/ _ CF2 x : / AF2 x = / BF2 0=   一a ,  

?
. .

( 一   ) ‘ ( 一 鲁 ) 一  ,  
c   0 +b y o=一c 。 .   ② 

? . .

即 

? . .

卢 =盯一/ _C F :  =  

+0 [ .  

当 b:C 时, ①、 ② 不能 同时成立 , . ? . b≠  
c . 由①, ② 联立 , 解得 
d2

c  

一2 b c  

o  


=  Y t   i  

‘  

将点 A的坐标代入椭圆方程并将 b 。:o  


。 代入消去 b , 得 
0 , 2 c  +4 c  = ( a 。 一2 c   ) 。 ,  
图 2  

化 简 得   n 2 = 5 c   , . ? . e = 譬 .  
解 法3   设A( a c o s   6 1 . b s i n  ) , 则点 C 坐标 
为( a C O S   0 , 一b s i n   0 ) ,  

在 △C F- F 2中 , 由定 义和 正 弦 足 理 , 知 
一  

c   2 c  

F 1 F 2  

s i n (   +/ 3 )  

由  、  、 曰三点共线 和 F 。 C上A B两个几  何条件 , 同样可得方程组 

 ̄ t a c o s   0 +  i “  : ‘ : ,  
a c c o  ̄0 + b 2 s i n   0 =一 c  
. 

s i n (   , I T + 2   )   s i n   n + s j n ( 詈+   )  
c 0 s   2 c t  
= —_ —  — — — — 一 ’ =

C O S  

~S I H    
 

— ■———————一

解这个方程组 , 并将 b  =a  一c   代入 , 可 
得 
s i n   0 =   一2, c o s   0=   竺 i
.  

s i n  o t+ c os   o t  

S l 1 1   o t+ c os   d 

=c o s   o / 一s i n   0 = .  

(   )  

在 直角A B O F 2 中, C O S   0 [ =号, s i n  =  



ZC  — a 

ZC   — a 

由s i n   0+C O S   0= 1 , 得 
4 c  +a 2 c  : ( 2 c  一a   )  ,  

代入 (   ) , 得  =旦 一旦
“  Ⅱ t / ,  

,  

“ 

化 筒得 

8 2:5 c   , 。 ? . e:, /   5
.  

? . .

6=2 C   n=  

=   c ' . . . e=, /   5
. 

显然 , 解法 3运用 了椭 圆的参 数 方程 设  点, 解 法更 简捷. 解 法 2和解 法 3由于 用参数  设点 , 只要解二: 元一 次方 程组 , 比参考答 案提  供的方法要 简 单得 多 , 而 且参 数 法也 是解 析  几何重要解 题方法 之一.   已知椭圆的两个焦点 和椭 圆上 的点 c, 联  系到椭圆的焦点三角形 , 因此 , 还可用 椭 圆的  定 义及平面图形的几何性 质来解.   解法 4 ( 利用定 义和三角法求 解 )如图 
2 , 连结 C F 2 , 设  C F l F 2=  ,  C F 2 F l=卢 .  
?

这里巧妙地 利用 e:- £ _=   2 c 把求椭 圆 


“ 

二 Ⅱ 

的离心率与焦点三角 形 、 椭 圆的定 义 、 正 弦定 

理联系起来 , 再根据 图形 的几 何性 质 , 解直 角 
三角形 , 无需解方程( 组) , 就可 把椭 圆的离 心 

率求 出来.   二、 求解椭 圆离心率的策略 

从 江苏省高考题 的4种解 法 , 我们可 以总 
结出求 稀圆离心率 的若干策略.   策略 1   依题设条件 一   求 出关于 a , b , C   的关系式 , ( a , b , C )=0 .  

3 8?  

赛l l 辆 

高中盘学教 与学  
的离心率就不再 是难事 , 关键 是要 因题 丽异 ,  
灵活运用 , 恰当地选择.  

( 1 ) 利用 b  =n   一c   消 去b , 得g ( n , c )=  
0- h ' 求三 =e .   消去 b是考 生常用的方法 , 这是由解题 目  

策略 2   设  、   为椭 圆 的两焦 点 , A为 
椭圆上一点 , / _ A F l F  =O t ,  A  F 。 =p , 则有 
一  

标 e=三 所决定 的, 上述江苏高考试题 的前 3   种解法 , 都是采用 了这一 解题 策略 , 是通性 通 
法.  

2 c  

F l   F 2  

。 

s i n (   +口 )  

‘  

根据此式 , 可直接求 出离 心率 e或 o , b , c  
关系式  i f , , b , c )=0 .  


( 2 ) 利用 c  =“  一 b   消去 c , 得g ( 口 , b )=  

2  

2  


0 一 求 告 廿   一 代 入 e : √ - 一 ( 、   n ) ,   求 e .  
当消去 b 有困难时 , 不妨消去 c 试 一试.  
2  

例2   如图4 , 在椭圆  + 号 :l ( n> b  
Ⅱ 

>0 )中,  为右焦点 , 四边 形 O F A B为菱形 , 则 
椭 圆的离心率 e=  
, 

例 1   如图 3 , 已知 。 ,   为椭 圆 c :   +  

A 

=l ( n>b>0 )的左 、 右焦点 , 点 P在椭 圆 
I  

c上 , 线段 P F 2 与圆  +y 2=b   相切于点 Q ,   且点 Q为线 段 P   的中点 , 则椭 圆 C的离心率 



 

图4  

,  ‘

P 

解  ‘ . ’四边形 O F A B为菱形 ,  
?

/ / / S- -  
力  





A B∥ F O, A B上 Y 轴, 且菱形边长为 c ,  

连结 A O, 由椭 圆对称性知 , O A=O B=c ,  


?

?

△ 4 D F 为 正 三 角 形 ’ . . ? A ( 号 ,   c ) ?  
一  +   等: 4 . ?  


圈3  

若用策略 1 ( 1 ) , 将 点 A的坐标 代入椭 圆 
方程 , 得 

解  连结 P F , , O Q . 由题设 , 知 

O Q =b , O Q 上P F   , 且O Q∥ P F 。 ,  



( L 女 %   )  
一   :4 .  



P F I:2 0 Q =2 b .   Q F 2: n—b .  

由椭 圆定 义 , 知P F 2=2 a一2 6 ,  


将b  =a  一c   代人得  +  





化简 , 得4 口  一8 a   c   +c  =0 , 即 
e  一 8 P   +4 = 0 .  
?
。 .

在直角 AO F 2 Q中 , 有6   +( 0一b )  =c   ,  

( 这里消 n 、 b 都很繁 , 考虑消 c )  
? . .

e  =4—2  
一1 .  

=(   一1 )   ,  

b  +( n—b )   =a  一6   ,  



?  e =  

化 简得 

一 b:   2 一
,  

若用策略 1 ( 2 ) , 将c  =口 。 一b 。 代入上式 
(   ) , 得 

4 7 , 1  

. )  

从 而易得 e:   .  
0 

每  Ⅱ  + 蜓  D  - 4 ,  
化 简 得  3 ( 詈 ) 。 一 ( 告 )   一 6   0 .  
令 (  )   = 。 ‘ . 了 3 一 t ~ 6 = o , 即 z 2 + 6  
?

其实有 了 n , b , C的关 系式  o , b , c ) =0  
后, 消6 ( 目标意识 ) 、 消C 都可 以, 甚 至消去 口 ,  

因为有 了 n , c 或口 , b 或b , c 的关系式 , 求椭 圆 

3 9?  

高中数学教 与学  

2 0 1 4惫  

高 三 数 学综 合 测试 




填 空题 ( 本大题共 1 4小题 , 每小题 5分 , 共 
7 0分 )  

s i n f  一 号) 在区 间[ 0 , 订 ] 上是减函 数 . 其  
、   二 ,  

1 . 若复数 z 满足 i z=2+ 3 i ( i 是虚数单位 ) , 则 
?  
— —

中是真 命 题 的是— — ( 写 出所有 真命 题  的序号) .   9 . 设 直线 z . :  一2 y+ 2=0的倾斜角为 o 【 . , 直  线f 2 : 眦 一Y + 4:0的倾斜角 为 2 , 且0 【 2=  


2 . 已知命题 P: “V   ∈R,   + 2 x一3≥0 ” , 请  写 出命题 P的否定 : —— _ .  

3 . 已 知 s i 『 1  = ÷ , 其 中  ∈ ( 0 , 詈 ) , 则  1 O . 已知存在实数 a 满足a b  >a>a b , 则实数 
co s

+9 0 。 , 则 m的值 为— — .  

(  +  1 =  
、  

b 的取值范 围为— — .  

O ,  

4 . 若方 程 i n   =6— 2 x的解 为 ‰, 则满足 k≤   的最 大整数 k=— —。  

1 1 . 已知函数- 厂 (  )=   +( b 一 ̄ / 2一a   )  +a   +b 是偶 函数 , 则此 函数 图象与 Y轴交点 的  纵 坐标 的最大值是一   1 2 . 已知点 P在直线  十 2 y一1=0 上, 点 Q在  直线  +2  +3 =0上 , P Q中点 为 M(   。 ,  
Y o ) , 且 Y o>   。+2 。 则  的取 值 范 围 为 
^ 0 

5 . 已知 函数- 厂 (  )=  ? e   , 则  ( 0 )=— — .  

6 . 函 数 y = 1 一 s i n   (   一 詈 ) 的 最 小 正 周 期 是  
7 . 已 知圆(  一 2 )  + Y   =1 经过椭圆  + 告 
=1 ( a>b>0 ) 的一个顶点和一 个焦点 , 则 
此椭 圆的离心率 e=— — .  

.. 



 

..

...

..

..

.. 

1 3 . 已知平面上 的向量  、 P  满 足 I   P A   l  +  

I 赢 I  : 4 , J 府I : 2 , 设向量赢 : 2   P — A+  
P 西, 则f   P  l的最小值是
— —

8 . 下列 4 个命题 : ① 函数  ):x s i n  是偶 函  数; ② 函数. 厂 (  )=s i n   —C O S   的最小正周 

. .  

期 是 霄 ; ③ 把 函 数 厂 (   ) = 3 s i n ( 2   十 一 } ) 的  
图 象向 右平移号个 单位长 度可以 得到, (   )  
=3 s i n  2 x的 图 象; ④ 函数 . 厂 (  ) =  

1 4 . 设a 、 b均为大 于 1 的 自然数 , 函数 - 厂 (  )=   Ⅱ 6+a s i n  , g (  )=c o s  + b , 若存在实数 k ,   使得  )=g (   ) , 则 a+b=一   二、 解答题( 本 大题共 6小题 , 共9 0分. 解答 时  应写出文字说明 、 证 明过程或演算步骤 )  



3=0 , . ? . t=2 √ 3—3  

2 c  
。   ?

F1 F 

2 c  

√   一 ( 告 ) 。 =  
:   :   —

=  



1 .  

1 .  

显然 , 本 例 3种解题 方法 中 , 策 略 2最简 

若用 策略 2 , 如图 4 , 取 左焦 点 F , , 连 结 
A F   , 则A F  :   c ,  
4 0?  

捷, 因此 , 我 们 希 望在 求 解 椭 圆离 心 率 问题 
中, 多关注“ 焦点三角形 ” .  

?


一道高考题的多种解法.pdf

一道高考题的多种解法裴玉玲 甘肃省迭部县高级中学...的方程,从 而使问题得到解决. 解法 4 设 AC ? ...离心率为 例(2013 年高考山东卷 理 22) 椭圆 ...

一道物理高考题的多种解法浅析.doc

一道物理高考题的多种解法浅析 [摘要]本文以 2017 全国卷Ⅱ理综 24 题为例,通过多途径,多种方案的求解,能帮助 学生从不同角度,不同侧面思考物理问题,调动学生...

2016届高三专题复习-圆锥曲线离心率的求解策略.doc

2016届高三专题复习圆锥曲线离心率的求解策略圆锥曲线的离心率是解析几何中的重要内容,也是高考考查的热点之一。 圆锥曲线的离 心率问题解法多种,如果我们能...

一题多解,触类旁通对一道椭圆离心率题的证明_论文.pdf

题多解,触类旁通一道椭圆离心率题的证明 - 翻阅近几年高考试题,发现对圆锥曲线离心率考查是常考的内容之一,也是高考命题的热点.解曲线的离心率问题...

一道高考题的多种解法.pdf

维普资讯 http://www.cqvip.com 200 4年 2月 Vo122 No.3 . 中学物理 一 道高考题的多种解法 刘 力 马 声 原题一 (200 3年上海市 高考 物理卷第 7...

从一道高考题多种解法谈学生思维能力的培养.doc

从一道高考题多种解法谈学生思维能力的培养_专业资料。龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 从一道高考题多种解法谈学生思维能力的培 养 作者:李高峰 王家庚...

一道高考试题的多种解法.pdf

一道高考试题的多种解法_数学_高中教育_教育专区。中学物理Vd.29 电子的运动逐...它作为举足轻重的压轴题,这是因 为解决这类问题需要学生具有较高数学知识素养...

一道高考题的多种解法.doc

一道高考题的多种解法_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。电学的高考试题一道高考试题的多种解法例题: (2010 例题: 2010 江苏卷 5)空间有一沿 x 轴对称...

一道高考题的多种解法探究与推广_图文.pdf

一道高考题的多种解法探究与推广_数学_高中教育_...求解 圆锥 曲线 问题 的基 本方法 之一 ,其 ...= <1得 即e2= ≠ .由椭圆离心率e <1'即 ...

椭圆离心率问题.doc

椭圆离心率问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...(三)问题引入 2(一道很普通的错题) 题 3:P ...2 r1 ? r2 2 2a 2( ) 2 (2000 年高考题) ...

赏析一道高考题的多种解法_图文.pdf

赏析一道高考题的多种解法。高考数学解析几何专题 维普资讯 http://www.

一道数学高考题的多种解法.pdf

JIETI JIQIAO YU FANGFA 解题技巧与方法 71 一道数学高考题的多种解法◎司政君...离心率 点 A( 2 , 1 e= . 2 ( 1 ) 求椭圆 E 的方程. ( 2 )求∠...

一道物理高考题的多种解法_论文.pdf

一道物理高考题的多种解法_专业资料。在2007年普通高等学校招生全国统一考试理科

一道高考试题的多种解法_论文.pdf

一道高考试题的多种解法_数学_自然科学_专业资料。...浙 求解 析几何 中的范 围或最值 问题 ,除了用...{:: )题,{1以: 1., : 因此所求椭圆的方程为...

一道高考题的多种解法_论文.pdf

中掌生数理佗 . 掌研版 一 道 高考题 的 多种 解法 一刘军旗 210 0年高考全国卷 Ⅱ选择题(2:知椭圆C:+ 1)已 法四:用椭圆第一定义及余弦定理 求解 ...

一道高考题的多种解法及阅卷启示_论文.pdf

一道高考题的多种解法及阅卷启示_专业资料。本人参加了2011年湖北省高考评卷工作

方法不同 目的一致对一道高考题的多种解法赏析及推....pdf

方法不同 目的一致一道高考题的多种解法赏析...离心率 为二 直线 被椭 圆C 截得 的线段长为 ...因为脏椭圆等庐1 上,所以鲁 =l, 所以 :一 \/...

一道高考题的多种解法_论文.pdf

一道高考题的多种解法_专业资料。一题多解就是对同一个数学问题从不同的角度进行观察

一道高考题的多种解法_论文.pdf

一道高考题的多种解法_专业资料。2010年高考数学江苏卷理科第14题为:将边长为

一道高考试题的多种解法_论文.pdf

一道高考试题的多种解法_专业资料。2009年高考数学湖北卷的解析几何解答题如下.