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山东省2016届高三数学专题突破训练立体几何文_图文

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山东省 2016 届高三数学文专题突破训练
立体几何
一、选择、填空题 1、(2015 年高考)已知等腰直角三角形的直角边的长为 ,将该三角形绕其斜边所在的直线 旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )

()

()

( ) 2 2?

( ) 4 2?

13.2、(2014 年高考)一个六棱锥的体积为 2 3 ,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都

相等,则该六棱锥的侧面积为



3、(2013 年高考)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图 1-1 所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是( )

A.4 5,8 B.4 5,83 C.4( 5+1),83 D.8,8

图 1-1

4、(滨州市 2015 届高三一模)一个四棱锥的底面是正方形,其正视图和侧视图均

为如图所示的等腰三角形,则该四棱锥的侧面积为

5、(德州市 2015 届高三一模)棱长为 2 的正方体被一平面截得的几何体的三视图

如图所示,那么被截去的几何体的体积是

A、 14 3

B、 10

C、4

D、3

3

6、(菏泽市 2015 届高三一模)已知平面? , ? ,直线 l, m ,且有 l ? ? , m ? ? ,给出下列命题: ①若? // ? ,则 l ? m ;②若 l // m ,则? ? ? ;③若? ? ? ,则 l // m ;④若 l ? m ,则? // ? ,

其中正确命题个数有( )

A.1 B.2

C.3

D.4

7、(济宁市 2015 届高三一模)已知 m, n 表示两条不同直线,? 表示平面,下列说法正确的是

A.若 m / /?, n / /?,则m / /n

B. 若 m ? ? , n ? ? ,则m ? n

C. 若 m ? ? , m ? n,则n / /?

D.若 m / /?, m ? n,则n ? ?

8、(莱州市 2015 届高三一模)某几何体的三视图如图所示,且该几

何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是

A.2

B. 9

2

C. 3

D.3

2

9、(青岛市 2015 届高三二模)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱

锥的体积是 32 ;

10、(日照市 2015 届高三一模)已知某几何体的三视图如右上图,则该几何体的表面积是

A.24

B. 36 ? 6 2

C.36

D. 36 ?12 2

11、(山东省实验中学 2015 届高三一模)某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 是 A.30 B.40 C.24 D.72

12、(泰安市 2015 届高三二模)已知某锥体的正视图和侧视图如图, 其体积为 ,则该椎体的俯视图可以是()

A.

B.

C.

D.

13、(潍坊市 2015 届高三二模)设 m, n 是不同的直线,? , ? 是不同的平面,下列命题中正确
的是
A.若 m // ? , n ? ? , m ? n ,则? ? ? ; B.若 m // ? , n ? ? , m // n ,则? ? ? ;

C.若 m // ? , n ? ? , m ? n ,则? // ? ; D.若 m // ? , n ? ? , m // n ,则? // ? ;
14、(潍坊市 2015 届高三二模)已知三棱锥 S—ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,底面△ABC 是边长为 1 的正三角形,棱 SC 是球 O 的直径且 SC=2,则此三棱锥的体积为

A. 2 6

B. 3 6

C. 2 3

D. 2 2

15、已知 m , n 为两条不同的直线,? 、 ? 为两个不同的平面,则下列命
题中正确的是
A.若 l ? m , l ? n ,且 m, n ? ? ,则 l ? ? B.若平面? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则? // ? C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? D.若,则 m ? ?

二、解答题
1、(2015 年高考)如图,三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中
点.
(I)求证: BD / / 平面 FGH ; (II)若 CF ? BC,AB ? BC,求证:平面 BCD ? 平面 EGH .

2 、 ( 2014 年 高 考 ) 如 图 , 四 棱 锥
AP ? 平面PCD, AD // BC, AB ? BC ? 1 AD , E, F 分别为 2
线段 AD, PC 的中点。

P ? ABCD

中,

(Ⅰ)求证: AP // 平面BEF

(Ⅱ)求证: BE ? 平面PAC

3、(2013 年高考)如图,四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA, AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB,AB,BC,PD,PC 的中点.
(1)求证:CE∥平面 PAD; (2)求证:平面 EFG⊥平面 EMN.

4、(滨州市 2015 届高三一模) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC
是正三角形, AC 与 BD 的交点 M 是 AC 的中点, ?CAD ? 30 , AB ? 2 , 点 N 在线段 PB 上,且 PN ? 1 。
NB 3 (1)求证: BD ? PC ; (2)求证: MN // 平面 PDC 。

5、(德州市 2015 届高三一模)在如图所示的几何体中,四边形 CDEF 为正方形,ABCD 为等腰
梯形,AB∥CD,BD=2 3 ,AB=2AD=4,AE⊥BD。
(I)求证:BD⊥平面 ADE; (II)点 M 为 BD 的中点,证明:BF∥平面 ECM。
6、(菏泽市 2015 届高三一模) 如图,将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 翻折,连接 AC、FD,形成如图所示的多
面体,且 AC ? 6 (1)证明:平面 ABEF ? 平面 BCDE; (2)求三棱锥 E ? ABC 的体积
7、(济宁市 2015 届高三一模) 如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,
AD / /BC,CE / /BG,且?BCD ? ?BCE ? ? , 2
平面 ABCD ? 平面BCEG, BC ? CD ? CE ? 2AD ? 2BG ? 2. (I)求证: EC ? CD ;
(II)求证:AG//平面 BDE; (III)求几何体 EGBDC 的体积.
8、(莱州市 2015 届高三一模)如图,在四棱锥 P ? ABCD中,PA ? 平面 ABCD, ?ABC ? ?ACD ? 90 , ?BAC ? ?CAD ? 60 ,E 为 PD 的中点,F 在 AD 上且 ?FCD ? 30 .[
(1)求证:CE//平面 PAB; (2)若 PA=2AB=2,求四面体 PACE 的体积.

9、(青岛市 2015 届高三二模)如图,在正四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1B1=a,AB=2a,



E、F 分别是 AD、AB 的中点. (Ⅰ)求证:平面 EFB1D1∥平面 BDC1; (Ⅱ)求证:A1C⊥平面 BDC1. 注:底面为正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心,这样的四棱锥叫做正四棱锥.用 一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥,底面与截面之间的部分叫做正四棱台.

10、(日照市 2015 届高三一模)
如图,已知四边形 ABCD 是正方形,PD ? 平面 ABCD,CD=PD=2EA,PD//EA,F,G,H 分别为 PB,
BE,PC 的中点. (I)求证:GH//平面 PDAE;
(II)求证:平面 FGH ? 平面 PCD.
11、(山东省实验中学 2015 届高三一模) 如图在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 ,设 E、F 分别为 PC,BD 的中点。 (1)求证:EF//平面 PAD; (2)求证:面 PAB⊥平面 PDC。

12、(泰安市 2015 届高三二模)如图,三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥底面 ABC,D 是 AB 的中点,AB=2DC, E 是 PA 的中点,F 是△ACD 的重心. (I)求证:BC⊥平面 PAC; (II)求证:EF∥平面 PBC.
13、(潍坊市 2015 届高三二模)
如图,边长为 2 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,其中 AB∥CD,AB⊥BC, DC=BC= 1 AB=1,点 M 在线段 EC 上。
2
(Ⅰ)证明:平面 BDM⊥平面 ADEF;
(Ⅱ)判断点 M 的位置,使得三棱锥 B—CDM 的体积为 2 。 18
14、如图,四边形 ABCD 中, AB ? AD ,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点 E、F 分别在 BC、 AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使平面 ABCD ?
平面 EFDC,设 AD 中点为 P. ( I )当 E 为 BC 中点时,求证:CP//平面 ABEF (Ⅱ)设 BE=x,问当 x 为何值时,三棱锥 A-CDF 的体积有
最大值?并求出这个最大值。
15、如图,已知 AB ? 平面 ACD,DE//AB,△ACD 是正三角形, AD ? DE ? 2AB, 且 F 是 CD 的中点.
(I)求证:AF//平面 BCE;
(II)求证:平面 BCE ? .

参考答案 一、选择、填空题
1、【答案】B

考点:1.旋转体的几何特征;2.几何体的体积.
2、【解析】:设六棱锥的高为 h ,斜高为 h? ,

? ? 则由体积V

?

1 3

?

? ??

1 2

?

2

?

2

?

sin

60

?

6

? ??

?

h

?

2

3 得: h ? 1 , h? ?

2
3 ? h2 ? 2

? 侧面积为 1 ? 2? h?? 6 ? 12 . 2

答案:12

3、B [解析] 由正视图知该几何体的高为 2,底面边长为 2,斜高为 22+1= 5,∴侧面积

1

1

8

=4×2×2× 5=4 5,体积为3×2×2×2=3.

4、16 5
5、C 6、B 7、B 8、D 9、解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是底面边长为 8,该边上的高为 6 的三棱锥, 且三棱锥的高为 4; ∴该三棱锥的体积为
V = 三棱锥 × 8×6×4=32.

故答案为:32.
10、答案 B.解析:由题意知该几何体为四棱锥,底面是长为 4 、宽为 3 的长方形,一条侧棱 和底面垂直.又故侧面积为 1(4? 4+3? 4+4? 5+4 2 ? 3)=24+6 2 ,底面积12 ,所以表 2

面积为 36+6 2 .故选 B.
11、B 12、解答: 解:∵锥体的正视图和侧视图均为边长为 2 的等边三角形, 故锥体的高为 ,

又∵锥体的体积为 , 故锥体的底面面积为 2, A 中图形的面积为 4,不满足要求; B 中图形的面积为 π ,不满足要求; C 中图形的面积为 2,满足要求; D 中图形的面积为 ,不满足要求; 故选:C 13、B 14、A 15、D 二、解答题 1、【答案】证明见解析
思路二:在三棱台 DEF ? ABC 中,由 BC ? 2EF, H 为 BC 的中点, 可得 HBEF 为平行四边形, BE / / HF. 在 ?ABC 中, G,H 分别为 AC,BC 的中点, 得到 GH / / AB, 又 GH ? HF ? H , 得到平面 FGH / / 平面 ABED . (II)证明:连接 HE .根据 G,H 分别为 AC,BC 的中点,得到 GH / / AB, 由 AB ? BC, 得 GH ? BC ,又 H 为 BC 的中点,得到四边形 EFCH 是平行四边形,从而 CF / / HE. 又 CF ? BC ,得到 HE ? BC . 试题解析:(I)证法一:连接 DG,CD. 设 CD ? GF ? M ,连接 MH ,在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2DE,G 分别为 AC 的中点,可得 DF / /GC, DF ? GC ,所以四边形 DFCG 是 平行四边形,则 M 为 CD 的中点,又 H 是 BC 的中点,所以 HM / / BD , 又 HM ? 平面 FGH , BD ? 平面 FGH ,所以 BD / / 平面 FGH .

证法二:在三棱台 DEF ? ABC 中,由 BC ? 2EF, H 为 BC 的中点, 可得 BH / / EF, BH ? EF, 所以 HBEF 为平行四边形,可得 BE / / HF. 在 ?ABC 中, G,H 分别为 AC,BC 的中点, 所以 GH / / AB, 又 GH ? HF ? H , 所以平面 FGH / / 平面 ABED , 因为 BD ? 平面 ABED , 所以 BD / / 平面 FGH .
(II)证明:连接 HE .因为 G,H 分别为 AC,BC 的中点,所以 GH / / AB, 由 AB ? BC, 得 GH ? BC ,又 H 为 BC 的中点,所以 EF / / HC, EF ? HC, 因此四边形 EFCH 是平行四边 形,所以 CF / /HE. 又 CF ? BC ,所以 HE ? BC . 又 HE,GH ? 平面 EGH , HE ? GH ? H ,所以 BC ? 平面 EGH , 又 BC ? 平面 BCD ,所以平面 BCD ? 平面 EGH.
考点:1.平行关系;2.垂直关系. 2、【解析】:(Ⅰ)连接 AC 交 BE 于点 O,连接 OF,不妨设 AB=BC=1,则 AD=2
? AB ? BC, AD // BC, ?四边形 ABCE 为菱形

?O, F分别为AC, PC中点,?OF // AP
又 OF ? 平面BEF,AP ? 平面BEF? AP / /平面BEF
(Ⅱ)? AP ? 平面PCD,CD ? 平面PCD,? AP ? CD
? BC // ED, BC ? ED,? BCDE为平行四边形,? BE // CD ,
? BE ? PA
又? ABCE为菱形,? BE ? AC
又? PA ? AC ? A, PA、AC ? 平面PAC ,? BE ? 平面PAC
3、证明:(1)证法一:取 PA 的中点 H,联结 EH,DH. 因为 E 为 PB 的中点, 1 所以 EH∥AB,EH=2AB. 又 AB∥CD,CD=12AB, 所以 EH∥CD,EH=CD. 因此四边形 DCEH 是平行四边形. 所以 CE∥DH. 又 DH 平面 PAD,CE 平面 PAD, 因此 CE∥平面 PAD.
证法二:联结 CF. 因为 F 为 AB 的中点, 所以 AF=12AB. 又 CD=12AB, 所以 AF=CD. 又 AF∥CD, 所以四边形 AFCD 为平行四边形. 因此 CF∥AD. 又 CF 平面 PAD, 所以 CF∥平面 PAD. 因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点, 所以 EF∥PA. 又 EF 平面 PAD, 所以 EF∥平面 PAD. 因为 CF∩EF=F, 故平面 CEF∥平面 PAD. 又 CE 平面 CEF, 所以 CE∥平面 PAD.

(2)因为 E,F 分别为 PB,AB 的中点, 所以 EF∥PA. 又 AB⊥PA, 所以 AB⊥EF. 同理可证 AB⊥FG. 又 EF∩FG=F,EF 平面 EFG,FG 平面 EFG, 因此 AB⊥平面 EFG. 又 M,N 分别为 PD,PC 的中点, 所以 MN∥CD. 又 AB∥CD, 所以 MN∥AB, 因此 MN⊥平面 EFG. 又 MN 平面 EMN, 所以平面 EFG⊥平面 EMN. 4、
5、

6、(1)证明:正六边形 ABCDEF 中,连接 AC、BE,交点为 G,

易知 AC ? BE ,且 AG ? CG ? 3 ,

在多面体中,由 AC= 6 ,知 AG2 ? CG2 ? AC2 , 故 AG ? GC, ………………………………2 分

又 GC BE ? G, GC, BE ? 平面 BCDE,

故 AG ? 平面 BCDE,……………………….5 分

又 AG ? 平面 ABEF,所以平面 ABEF ? 平面 BCDE;…6 分

(2)连接 AE、CE,则 AG 为三棱锥 A ? BCE 的高,GC 为 ?BCE

的高.在正六边形 ABCDEF 中, BE ? 2AF ? 4 ,

故 S?BCE

?

1 ? 4? 2

3?2

3 ,…………..9 分

所以

1

VE ? ABC

? VA?BCE

?

?2 3

3?

3 ? 2 .……12 分

7、

8、

9、解答: 18.(本小题满分 12 分) 证明:(Ⅰ)连接 A1C1,AC,分别交 B1D1,EF,BD 于 M,N,P,连接 MN,C1P 由题意,BD∥B1D1 因为 BD?平面 EFB1D1,B1D1? 平面 EFB1D1,所以 BD∥平面 EFB1D1…(3 分)又因为 A1B1=a,AB=2a,
所以

又因为 E、F 分别是 AD、AB 的中点,所以

所以 MC1=NP

又因为 AC∥A1C1,所以 MC1∥NP

所以四边形 MC1PN 为平行四边形

所以 PC1∥MN

因为 PC1?平面 EFB1D1,MN? 平面 EFB1D1,所以 PC1∥平面 EFB1D1

因为 PC1∩BD=P,所以平面 EFB1D1∥平面 BDC1…(6 分)

(Ⅱ)连接 A1P,因为 A1C1∥PC,A1C1=



所以四边形 A1C1CP 为平行四边形

因为

,所以四边形 A1C1CP 为菱形

所以 A1C⊥PC1…(9 分)

因为 MP⊥平面 ABCD,MP? 平面 A1C1CA 所以平面 A1C1CA⊥平面 ABCD, 因为 BD⊥AC,所以 BD⊥平面 A1C1CA 因为 A1C? 平面 A1C1CA,所以 BD⊥A1C 因为 PC1∩BD=P,所以 A1C⊥平面 BDC1.…(12 分)

10、解:(Ⅰ)分别取 PD 的中点 M ,EA 因为 G,H 分别为 BE,PC 的中点,所以

的中点 N. 连结

MH=

1 2

C,D

MH ,NG,MN

NG=

1 2

AB

.

.

因为 AB 与 CD 平行且相等,所以 MH 平行且等于 NG , 故四边形 GHMN 是平行四边形.所以 GH MN . …………4 分
又因为 GH ? 平面 PDAE , MN ? 平面 PDAE ,

所以 GH 平面 PDAE .

………………6 分

(若通过面面平行来证明也可,酌情给分)
(Ⅱ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BC . 因为 BC ? CD, PD CD ? D, 所以 BC ? 平面 PCD . 因为 F,H 分别为 PB、PC 的中点,所以 FH BC.
所以 FH ? 平面 PCD. 因为 FH ? 平面 FGH ,所以平面 FGH ? 平面 PCD .

……………12 分

11、.(Ⅰ)证明: ABCD 为平行四边形,连结 AC BD ? F , F 为 AC 中点,

E 为 PC 中点∴在 ?CPA 中 EF // PA ...................2 分

且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD .................4 分

∴ EF // 平面PAD .................5 分

(Ⅱ)证明:因为面 PAD ? 面 ABCD 平面 PAD 面 ABCD ? AD

ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD ,所以 CD ? 平面 PAD

∴ CD ? PA

....................7 分


PA ? PD ?

2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形,

2


?PAD

?

?

即 PA ?

PD

2

...............9 分

CD PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 ABCD

PA ? 面 PDC , ............ .............10 分.

又 PA ? 面 PAB 所以面 PAB ? 面 PDC .......12 分

12、解答: 证明:(I)在△ABC 中,D 为 AB 边上的中点,且 AB=2CD, ∴AD=DC=DB,故∠DCA=∠DAC,∠DCB=∠DBC, ∴∠ACB=90°, ∴BC⊥AC,又 PA⊥底面 ABC,BC? 平面 ABC, ∴PA⊥BC, ∴BC⊥平面 PAC; (II)连接 DF,并延长交 AC 于 G,连接 ED, ∵F 为△ACD 的重心, ∴G 为 AC 的中点,连接 EG, ∵E 为 PA 中点, ∴在△PAC 中,EG∥PC, 同理可得 ED∥PB, 又 EG∩ED=E,PC∩PB=P, ∴平面 EGD∥平面 PBC, 又 EF? 平面 EDG ∴EF∥平面 PBC.

13、

14、解:(Ⅰ)取 AF 的中点 Q ,连 QE 、 QP ,
则 QP 1 DF ,又 DF = 4, EC = 2, 且DF ∥ EC , 2

所 以 QP

EC , 即 四 边 形 PQEC 为 平 行 四 边

形,……………………………………… 3 分
所以 CP ∥ EQ ,又 EQ ? 平面 ABEF , CP ? 平面ABEF , 故 CP ∥平面 ABEF . ……………………………………………………………5 分

15、解:(Ⅰ)取 CE 中点 P ,连结 FP、BP , ∵ F 为 CD 的中点,

∴ FP ∥ DE ,且 FP = 1 DE. 2

又 AB ∥ DE ,且 AB ? 1 DE.

2

B

∴ AB ∥ FP ,且 AB = FP ,

∴四边形 ABPF 为平行四边形,∴ AF / / BP .

又∵ AF ? 平面 BCE , BP ? 平面 BCE ,

P

∴ AF ∥平面 BCE .

A

(Ⅱ)∵ ?ACD 为正三角形,∴ AF ⊥ CD ,

∵ AB ⊥平面 ACD , DE // AB ,

C

∴ DE ⊥平面 ACD , 又 AF ? 平面 ACD ,∴ DE ⊥ AF .

F

又 AF ⊥ CD , CD DE ? D ,

∴ AF ⊥平面 DCE .

又 BP ∥ AF ∴ BP ⊥平面 DCE .

又∵ BP ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ⊥平面 CDE .

E
…………4 分 …………6 分
D
…………10 分 …………12 分


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