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高中立体几何测试题及答案(理科)

时间:2014-12-25


立体几何测试题
1.如图,直二面角 D—AB—E 中, 四边形 ABCD 是边 长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥ 平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小的余弦值;

2.已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,且 ?DAB ? 60?, AD ? AA1 , F 为棱 BB1 的中点,M 为线段 AC1 的中点. (1)求证:直线 MF//平面 ABCD; (2)求证:平面 AFC1⊥平面 ACC1A1; (3)求平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小.

3、在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1) 证明:BD⊥平面 PAC; (2) (2)若 PH=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值;

4、如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ?

1 AA , D 是棱 AA 的中点, 1 1 2

DC1 ? BD (1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

D 5. 如 图 , P ? A B C 是 正 四 棱 锥 , ABCD ? A1B1C1D1 是 正 方 体 , 其 中

AB ? 2, PA ? 6 .

(Ⅰ)求证: PA ? B1D1 ; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成的锐二面角 ? 的大小; (Ⅲ)求 B1 到平面 PAD 的距离.

6. 已知多面体 ABCDE 中, ⊥平面 ACD, ⊥平面 ACD, = AD = CD = AB DE AC

DE = 2a,AB = a,F 为 CD 的中点.
(Ⅰ)求证:AF⊥平面 CDE; (Ⅱ)求异面直线 AC,BE 所成角余弦值; (Ⅲ)求面 ACD 和面 BCE 所成二面角的大小.

7. 已知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 , ?BCA ? 90? , AC ? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上 的射影恰为 AC 的中点 D ,又知 BA1 ? AC1 。 (I)求证: AC1 ? 平面 A1BC ; (II)求 CC1 到平面 A1 AB 的距离; (III)求二面角 A ? A1B ? C 的大小

8. 如图, 正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 是 BC 的中点, 1=AB=1. D AA (I)求证:A1C//平面 AB1D; (II)求二面角 B—AB1—D 的大小; (III)求点 c 到平面 AB1D 的距离.

参考答案 1、解: (Ⅰ)? BF ? 平面 ACE. ? BF ? AE . ∵二面角 D—AB—E 为直二面角,且 CB ? AB ,
?CB ? 平面 ABE. ? CB ? AE .

? AE ? 平面B C E .

(Ⅱ)连结 BD 交 AC 于 C,连结 FG, ∵正方形 ABCD 边长为 2,∴BG⊥AC,BG= 2 ,
? BF ? 平面 ACE,

由三垂线定理的逆定理得 FG⊥AC.
? ?BGF 是二面角 B—AC—E 的平面角

由(Ⅰ)AE⊥平面 BCE, 又? AE ? EB , ∴在等腰直角三角形 AEB 中,BE= 2 . 又? 直角 ?BCE中, EC ? BC 2 ? BE 2 ? 6 ,
BF ? BC ? BE 2 ? 2 2 3 , ? ? EC 3 6

2 3 BF 6 3 , ? 直角?BFG中,sin ?BGF ? ? 3 ? ,? cos ?BGF ? BG 3 3 2

∴二面角 B—AC—E 大小的余弦值等于

3 . 3

2、解(Ⅰ)延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N,连结 AN.因为 F 是 BB1 的中点, 所以 F 为 C1N 的中点,B 为 CN 的中点. 又 M 是线段 AC1 的中点,故 MF//AN.

又? MF ? 平面ABCD, AN ? 平面ABCD.

? MF // 平面ABCD.

(Ⅱ)证明:连 BD,由直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 可知: A1 A ? 平面 ABCD, 又∵BD ? 平面 ABCD,? A1 A ? BD.

? 四边形 ABCD 为菱形,? AC ? BD.
又 ? AC ? A1 A ? A, AC, A1 A ? 平面ACC1 A1 , ? BD ? 平面ACC1 A1 .
在四边形 DANB 中,DA∥BN 且 DA=BN,所以四边形 DANB 为平行 四边形. 故 NA∥BD,? NA ? 平面 ACC1A1. 又? NA ? 平面AFC1

? 平面AFC1 ? 平面 ACC1A1.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 BD⊥ACC1A1,又 AC1 ? ACC1A1, ∴BD⊥AC1,∵BD//NA,∴AC1⊥NA. 又由 BD⊥AC 可知 NA⊥AC, ∴∠C1AC 就是平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角. 在 Rt△C1AC 中, tanC1 AC ? 故∠C1AC=30°. ∴平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30°或 150°
C1C 1 , ? CA 3

3. 4.【答案】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45? 同理: ?A1DC1 ? 45? ? ?CDC1 ? 90? 得: DC1 ? DC, DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A1 ? BC ? AC 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

A1 C1 ? B1 C1? C1 O ? O H ? B D 1C H ? ?

A,面 A1B1C1 ? 面 A1BD ? C1O ? 面 A1BD 1 B 1 B 得:点 H 与点 D 重合 D

且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?
2a , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30? 2

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30?

5. 解:(Ⅰ) 连结 AC , 交 BD 于点 O , 连结 PO , 则 PO⊥面 ABCD , 又 ∵ AC ? BD , ∴ PA ? BD , ∵ BD // B1D1 , ∴ PA ? B1D1 . (Ⅱ) ∵AO⊥BD , AO⊥PO , ∴AO⊥面 PBD , 过点 O 作 OM⊥PD 于点 M, 连结 AM , 则 AM⊥PD , ∴∠AMO 就是二面角 A-PD-O 的平面角,

又∵ AB ? 2, PA ? 6 , ∴AO= 2 ,PO= 6 ? 2 ? 2

OM ?

PO ? OD 2 ? 2 2 AO 2 6 ? ? , ∴ tan ?AMO ? , ? ? 2 OM 2 PD 6 3
3

即二面角的大小为 arctan

6 . 2

1 1 6 5 (Ⅲ)用体积法求解: VB ?PAD ? VA?B PD ? hx ? S PAD ? AO ? S BPD 解得 hx ? , 5 3 3
1 1

即 B1 到平面 PAD 的距离为

6 5 5

6. 解: (Ⅰ)∵DE⊥平面 ACD,AF ? 平面 ACD ∴DE⊥AF。 又∵AC=AD=C,F 为 CD 中点 ∴AF⊥CD, ∴AF⊥面 CDE ∴AF⊥平面 CDE 。 (Ⅱ)∵

DE ? 平面ACD? ? ? DE // AB AB ? 平面ACD ?

取 DE 中点 M,连结 AM、CM,则四边形 AMEB 为平行四边形 AM//BE,则∠CAM 为 AC 与 BE 所成的角。在△ACM 中,AC=2a

AM ? AD2 ? DM 2 ? 4a 2 ? a 2 ? 5a CM ? CD 2 ? DM 2 ? 4a 2 ? a 2 ? 5a

由余弦定理得: cos?CAM ?

(2a) 2 ? ( 5a) 2 ? ( 5a) 2 2 ? 2a ? 5a
5 。 5

?

5 5

∴异面直线 AC、AE 所成的角的余弦值为

(Ⅲ)延长 DA。EB 交于点 G,连结 CG。
1 因为 AB//DE,AB= DE,所以 A 为 GD 中点。又因为 F 为 CD 中点,所 2

以 CG//AF。 因为 AF⊥平面 CDE,所以 CG⊥平面 CDE。 故∠DCE 为面 ACD 和面 BCE 所成二面角的平面角易求∠DCE=45° 7. 解: (I)因为 A1D ? 平面 ABC , 所以平面 AAC1C ? 平面 ABC , 1 又 BC ? AC ,所以 BC ? 平面 AAC1C , 1 得 BC ? AC1 ,又 BA1 ? AC1 所以 AC1 ? 平面 A1BC ; (II)因为 AC1 ? AC ,所以四边形 AAC1C 为 1 1 菱形, 故 AA1 ? AC ? 2 ,又 D 为 AC 中点,知 ?A1 AC ? 60? 。 取 AA1 中点 F ,则 AA1 ? 平面 BCF ,从而面 A1 AB ? 面 BCF , 过 C 作 CH ? BF 于 H ,则 CH ? 面 A1 AB , 在 Rt ?BCF 中, BC ? 2, CF ? 3 ,故 CH ?
2 21 。 7 2 21 , 7

即 CC1 到平面 A1 AB 的距离为 CH ?

(III)过 H 作 HG ? A1B 于 G ,连 CG ,则 CG ? A1B ,

从而 ?CGH 为二面角 A ? A1B ? C 的平面角, 在 Rt?A1BC 中, AC ? BC ? 2 ,所以 CG ? 2 , 1 在 Rt ?CGH 中, sin ?CGH ?
CH 42 , ? CG 7 42 。 7

故二面角 A ? A1B ? C 的大小为 arcsin

8. (I)证明:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱,且 AA1 = AB, ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ∵DE ? 平面 AB1D,A1C ? 平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. (II)解:在面 ABC 内作 DF⊥AB 于点 F,在面 A1ABB1 内作 FG⊥AB1 于点 G,连接 DG. ∵平面 A1ABB1⊥平面 ABC, ∴DF⊥平面 A1ABB1, ∵FG⊥AB1, ∴DG⊥AB1

∴FG 是 DG 在平面 A1ABB1 上的射影, ∴∠FGD 是二面角 B—AB1—D 的平面角 设 A1A = AB = 1,在正△ABC 中,DF=
3 3 2 , ? BE ? 4 8 DF 6 , ? FG 3

3 . 4

在△ABE 中, FG ?

在 Rt△DFG 中, tan?FGD ?

所以,二面角 B—AB1—D 的大小为 arctan

6 . 3

(III)解:∵平面 B1BCC1⊥平面 ABC,且 AD⊥BC, ∴AD⊥平面 B1BCC1,又 AD ? 平面 AB1D,∴平面 B1BCC1⊥平面 AB1D. 在平面 B1BCC1 内作 CH⊥B1D 交 B1D 的延长线于点 H, 则 CH 的长度就是点 C 到平面 AB1D 的距离. 由△CDH∽△B1DB,得 CH ?

BB1 ? CD 5 ? . B1 D 5

即点 C 到平面 AB1D 的距离是

5 . 5


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