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专题 三角函数上 课后练习一 详解

时间:2012-12-20

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简单学习网课后练习一
学科:数学 轮次:高考总复习课程--数学第一轮复习 专题: 三角函数、三角恒等变换与解三角形经典精讲 主讲教师:李颖 北京东城区教研中心数学高级教师

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高考总复习课程--数学第一轮复习 专题: 三角函数、三角恒等变换与解三角形经典精讲 主讲教师:李颖 例1

计算sin43? cos13? -sin13? cos 43? 的值等于(
A.



1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

例2
已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m ? ( 3,1) , ?

n ? (cos A, A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 B ? ( sin
A. 120
?


?

B. 60

?

C. 45

?

D. 30

例3
为了使 y ? sin ? x(? ? 0) 在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值, 则 ? 的最小值是 .

例4

已知角 ? 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为_________.

例5
已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2x0 的值. 5 ?4 2?
5 4 , cos C ? . 13 5

例6
在 △ ABC 中, cos B ? ? (1)求 sin A 的值;
1

(2)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ?

33 ,求 BC 的长. 2

例7
已 知 函 数 f ( x) ?

? 1 ( , ). 6 2
(1)求 ? 的值;

1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin( ? ? )(0 ? ? ? ? ) , 其 图 像 过 点 2 2 2

(2)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

y ? g ( x) 的图像,求函数 g ( x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值. 4

?

1 ,纵坐标不变,得到函数 2

例8
化工厂的主控制表盘高 1 米, 表盘底边距地面 2 米, 问值班人员坐在什么位置上表盘看得最 清楚?(设值班人员坐在椅子上时,眼睛距地面 1.2 米) .

例9
如下图所示,点 P 是函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) (x∈R, ? ? 0 )的图像的最高点,M、N 是图像 与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则 ? ?

.

2

答案与详解: 例1
答案:A 详解:原式= sin (43 -13 )= sin 30 =
? ? ?

1 . 2

例2
答案:D 详解: 3 cos A ? sinA ? 0 A ? ,

? a b c , 由正弦定理 ? ? ? 2 R(其中 R 为 3 sin A sin B sin C

三角形的外接圆的半径)得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C sin C ,

sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin( A ? B) ? sin 2 C ??sin C ? sin 2 C ,
C?

? ? .∴ B ? . 2 6

例3
答案:

197π 2

详解:49

1 197 2? 197π ? T ? 1 ,即 ? ? 1 ,∴ ? ? . 4 4 ? 2

例4
答案: ? 7 13 详解: ? 为第四象限角? sin ? ? ? 12 , ? ? 5 ,sin ? ? cos ? ? ? 7 cos
13 13 13

3

例5
答案: (1)最大值为 2,最小值为-1; (2)

3? 4 3 。 10

详解: (1)由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? , 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数, 6? ? 6? ?6 2?

又 f (0) ? 1, f ?

?? ? ?? ? ? ? 2, f ? ? ? ?1 , ?6? ?2? ? ?? 上的最大值为 2,最小值为-1; ? 2? ? ? ?

所以函数 f ( x ) 在区间 ? 0,

(Ⅱ)由(1)可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

??

?, 6?

又因为 f ( x0 ) ?

6 ?? 3 ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? , 5 6? 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? , 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 ? 所以

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? , 6? 6? 5 ?

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? . cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??
例6
答案: (1) (2)

33 65

11 2 5 12 ,得 sin B ? , 13 13
4

详解: (1)由 cos B ? ?

由 cos C ?

4 3 ,得 sin C ? . 5 5 33 . 65

所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? (2)由 S△ ABC ?

33 1 33 ,得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 AB ? sin B 20 ? AB , 由(1)知 sin A ? ,故 AB ? AC ? 65 ,又 AC ? 65 sin C 13 20 13 AB ? sin A 11 AB 2 ? 65 , AB ? .所以 BC ? ? . 故 13 2 sin C 2

例7
答案: (1) ? ?

?
3



(2)最大值和最小值分别为 详解: (1)因为 f ( x) ?

1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin( ? ? ) 2 2 2 1 1 ? cos 2 x 1 cos ? ? cos ? 所以 f ( x) ? sin 2 x sin ? ? 2 2 2

1 1 和? . 2 4

( 0? ? ? ? ) ,

1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? 2 2 1 ? (sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ) 2 1 ? cos(2 x ? ? ) 2
又函数图像过点 ( 所以 即 又

? 1

1 1 ? ? cos(2 ? ? ? ) 2 2 6 c o s ( ?? ? ) 3

, ), 6 2

?

1

0 ?? ??

所以 ? ?

?
3

1 ? cos(2 x ? ) ,将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原 2 3 1 1 ? 来的 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图像,可知 g ( x) ? f (2 x) ? cos(4 x ? ) 2 2 3
(2)由(1)知 f ( x) ? 因为

x ?[ 0 , ] 4
5

?

所以

4 x ? [0, ? ]

因此 4 x ? 故 ?

?
3

? [?

? 2?
3 , 3

]

1 ? ? cos(4 x ? ) ? 1 2 3

所以 y ? g ( x) 在 [0,

?

4

] 上的最大值和最小值分别为

1 1 和? . 2 4

例8
答案:值班人员看表盘最清楚的位置为 AD ? 1.2 米. 详解:如图, CD ? 2 ? 1.2 ? 0.8 ,设 AD ? x ,则

tan ? ?

BD 1 ? 0.8 1.8 CD 0.8 ? ? ? , tan ? ? , AD x x AD x

? tan? ? tan( ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? , 1 ? tan? tan ?

1.8 0.8 ? 1 1 1 x x ? , ? tan? ? ? ? 1.8 0.8 1.44 1.44 2.4 1? ? x? 2 x? x x x x
当x?

1.44 1 ,即 x ? 1.2 时, tan? 达到最大值 , ? 是锐角, tan? 最大时, x 2 .4

? 也最大,所以值班人员看表盘最清楚的位置为 AD ? 1.2 米.
B 1m C

?
A

?

?
D 1.2 m

2m

例9
答案:

?
4
?

详解:由 PM ? PN ? 0 可知, ?MPN ? 90 ,又根据对称性可知 | MP |?| NP | ,

6

所以 ?PMN ? ?NPM ? 45 ,所以 | MN |? 4 ,因此有

?

2?

?

? 8 ,从而? ?

?
4



7


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