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空间中的平行关系

时间:2013-11-27


考纲要求
1.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理. 2.掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.

知识梳理
1.空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面 α内
公共点 符号表示 图形表示 有无数个公 共点

直线a在平面α 相交
有且只有一个公 共点

直线a在平面α平 行
没有公共点

a ??

a ?? ? A

a // ?

2.空间中平面与平面的位置关系

位置关系

图形语言

符号语言 公共点个数

两平面 平行

α∥β



两平面 相交

α∩β=a

有一条 公共直线

1.直线与平面平行 定理 定理内容 如果 平面外一条直 判定 定律 线 与 平面 内的 一 条 a / / b 符号表示

? ? ? a / /? 直线平行, 那么该直 a ? ? , b ? ? ?
线与此平面平行. 一 条 直线 与一 个 平

性质 定律

? 面平行, 则过这条直 ? a?? ? ? a / /b 线 的 任一 平面 与 此 ? ? ? ? b ? ? 平面的 交线 与该
直线平行.

a / /?

2.平面与平面平行 定理 定理内容 一个 平面内的两 判定 定律 符号表示 图形表示

a ? ?,b ? ? ? ? a ? b ? P ? ? ? / /? 个平面平行,则这 a / / ? , b / / ? ? ?
条相交直线与另一 两个平面平行.

? / /? ? 性质 面 同 时 和 第 三 个 ? ? ? ? ? a ? ? a / /b 定律 平面相交,那么它 ? ? ? ? b ? ?
们的 交线 平行.

如果 两个平行平

1. 判断正错 (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平 行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)平行于同一平面的两直线平行。 (4)一条直线与一平面平行,它就和这个平面内任一直线平行。 (5)与两相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个相交平面。 (6)若两平行线中的一条平行于某个平面,则另一条也平行与这 个平面

2.已知 m、n 是不重合的直线,α 、β 是不重合的平面, 有下列命题: ①若 m ? α ,n∥α ,则 m∥n; ②若 m∥α ,m∥β ,则α ∥β ; ③若α ∩β =n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β ; 其中真命题的个数是( A.0 C.2 )

B.1 D.3

题型一:线线平行问题 【例 1】如图所示,四面体 ABCD 被一平面所截, 截面 EFGH 为平行四边形.求证: CD// GH .
A

E B H C G F

D

【变式 1】三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,过 A1C1 与点 B 的平面 ? 交平面 ABC 于直线 L,试判定 L 与 A1C1 的关系,并给出证明.

题型二:线面平行问题 【例 2】如图在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是平行四边形,

M , N 分别是 AB, PC 的中点,求证: MN // 平面 PAD .

P
S N

P
N

D

C

D

S

C

A

M

B

A

M

B

题型三:面面平行问题 例 3. 在 正 方 体 ABCD? A1B1C1D1 中 , M , N , P 分 别 为

CC1 , B1C1 , C1D1 的中点.求证:平面 MNP // 平面 A1 BD .
D1 A1
P N

C1 B1

M

D A B

C

如图, 在正四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? AB ? a , 点 E 在 棱 PC 上 . 问 点 E 在 何 处 时 ,

PA // 平面EBD ,并加以证明.

O

【变式 2】正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中,侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F, B1 E=C1 F. 且 求证:EF∥平面 ABCD.
D
A D1 Q
P

C

B
F

E

C1

A1

B1

【变式 2】正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中,侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F, B1 E=C1 F. 且 求证:EF∥平面 ABCD.
D
P

C B
E F

D
A
E

C B
F P

A

D1

C1

D1

C1

A1

B1

A1

B1

3. 如 图, S 是 平 行四边 形 ABCD 平 面外 一点, M , N 分 别是

AM BN = , 求证: MN // 平面 SCD SA, BD 上的点,且 SM ND

S M

D A

C B

P N

4. 如图, 在四棱锥 O ? ABCD 中, 底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,

?ABC ?

?

4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N

为 BC 的中点 (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; O (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

M

Q

A B N

P

D C

4. 如图, 在四棱锥 O ? ABCD 中, 底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,

?ABC ?

?

4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N

为 BC 的中点 (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

O

M

A B

D

N

C

4. 如图, 在四棱锥 O ? ABCD 中, 底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,

?ABC ?

?

4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N

为 BC 的中点 (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

O

A B

D

C

基础自测
1. (2012 湛江一模)对两条不相交的空间直线 a 和 b ,则( A.必定存在平面 ? ,使得 a ? ? , b ? ? B.必定存在平面 ? ,使得 a ? ? , b ∥ ? C.必定存在直线 c ,使得 a ∥ c , b ∥ c D.必定存在直线 c ,使得 a ∥ c , b ? c )

【答案】B

2. (2012 西城二模 )设 m , n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面, 且 m, n ? ? . 则“ ? ∥ ? ”是“ m ∥ ? 且 n ∥ ? ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【答案】A

典例剖析
考点1 平行的基本问题
【例 1】已知直线 a , b 与平面 ? ,下列命题正确的是( A.若 a ∥ ? , b ? ? ,则 a ∥ b B.若 a ∥ ? , b ∥ ? ,则 a ∥ b C.若 a ∥ b , b ? ? ,则 a ∥ ? D.若 a ∥ b , b ? ? ,则 a ∥ ? 或 a ? ? )

【答案】D

【变式】 (2012 四川高考)下列命题正确的是(



A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

【答案】C 【解析】选项 A.两直线可能平行,相交,异面. 选项 B.两平面平行或相交. 选项 D.这两个平面平行或相交.

考点2 直线和平面平行问题
【例 2】 (2012 北京师大附中)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? 2 , E 是侧棱 PA 上的中点. (1)求证: PC ∥平面 BDE ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

P

E

A B C

D

【解析】 (1)连结 AC 交 BD 于 O ,连结 OE ,如图:

P
∵四边形 ABCD 是正方形,∴ O 是 AC 的中点. 又∵ E 是 PA 的中点,∴ PC ∥ OE .

E
∵ PC ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE , ∴ PC // 平面 BDE . (2)∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ VP ? ABCD

A B O C

D

1 1 2 2 ? S正方形ABCD ? PA ? ?1 ? 2 ? , 3 3 3
2 . 3

∴四棱锥 P ? ABCD 的体积为

【变式】 (2012 梅州一模) 如图, 在多面体 ABCDEFG 中, 平面 ABC //平面 DEFG ,

AD ? 平面 DEFG , AB ? AC , ED ? DG , EF ∥ DG ,且 AC ? EF ? 1 ,
AB ? AD ? DE ? DG ? 2 .
(1)求证: BF //平面 ACGD ; (2)求三棱锥 A ? BCF 的体积.

A B

C

D E F

G

【解析】 (1)取 DG 的中点 M ,连接 AM , FM ,

1 ∵ EF ? DG ,∴ EF ? DM , 2
∵ EF ∥ DG ,∴ EF ∥ DM ,

A

C

B

∴四边形 DEFM 是平行四边形,∴ DE // MF ,

?

D E F

M

G

又∵ DE // AB ,∴ AB // MF .

?

?

∴四边形 ABFM 是平行四边形,即 BF ∥ AM , 又 BF ? 平面 ACGD , AM ? 平面 ACGD , ∴ BF //平面 ACGD . (2)∵平面 ABC //平面 DEFG ,即 F 到平面 ABC 的距离为 AD , ∴ VA? BCF ? VF ? ABC ?

1 1 1 2 S?ABC ? AD ? ? ( ?1? 2) ? 2 ? . 3 3 2 3

考点3 平面和平面平行问题
【例 3】如图,已知 ABC ? A?1 B1C1 是正三棱柱,棱长均为 5 , E 、 F 分别 是 AC 、 A?1C1 的中点. (1)求证:平面 AB1 F ∥平面 BEC1 ; (2)求点 A 到平面 BEC1 的距离.

A1

F B1

C1

A

E B

C

【解析】 (1)∵ 在正三棱柱 ABC ? A?1 B1C1 中,

E 、 F 分别是 AC 、 A?1C1 的中点.
∴ AE ? FC1 , AE ∥ FC1 , ∴ AEC1 F 为平行四边形,∴ AF ∥ EC1 , ∵ EF

AA1 , BB1

AA1 ,∴ EF

BB1 ,

∴ EFB1 B 为平行四边形,∴ BE ∥ B1 F , ∵ AF ? B1 F ? F , C1 E ? BE ? E , ∴ 平面 AB1 F ∥平面 BEC1 .

(2)设点 A 到平面 BEC1 间的距离为 h ,则 ∵在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CC1 ? 平面 ABC ,

BE ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? BE , ∵ E 是 AC 的中点,∴ BE ? AC , ∵ AC ? C1C ? C ,∴ BE ? 平面 ECC1 , EC1 ? 平面 ECC1 ,∴ BE ? EC1 . 1 1 ∵ VA? BEC1 ? VC1 ? ABE , S?BEC1 ? h ? S?ABE ? CC1 , 3 3 1 1 ∴ BE ? EC1 ? h ? BE ? AE ? CC1 , 2 2 5 ? 5 AE ? CC1 ∴ h? ? 2 ?1, 5 EC1 2 ∴点 A 到平面 BEC1 间的距离为 1 .

归纳反思
1.证明直线和平面平行主要有两种方法: ①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行, 即:线线平行 ? 线面平行; ②证明经过这条直线的一个平面和这个平面平行, 即:面面平行 ? 线面平行. 2.证明平面和平面平行的关键:在一个已知平面内“找出” 两条相交直线与另一平面平行.


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