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重庆八中高三数学理科模拟考试(含答案)

时间:2014-02-07


重庆八中高三数学理科模拟试题(含答案) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1.已知集合 M ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 , N ? x 2 x ? 1 ? 5 ,则 M ? N =(
2

?

?

?

?



A. x x ? 3 2. 若 PQ 是圆 x
2

?

?

B. x x ? 2

?

?

C.

?x x ? 3?

D. x x ? 2

?

?

) ? y 2 ? 9 的弦, PQ 的中点是 (1, 2) ,则直线 PQ 的方程是( A. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 4 ? 0 D. 2 x ? y ? 0 ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.若 e1 , e2 是夹角为 的单位向量,且 a ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 ,则 a ? b ? ( ) 3 7 7 A.1 B. ?4 C. ? D. 2 2 4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次, 记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3” 为事件 B,则事件 A,B 中至少有一个发生的概率是( ) A.

5 12

B.

5.已知 f ( x) ? sin(? x ? 的图像( )

5? ) 的最小正周期为 ? , 要得到 y ? f ( x) 的图像, 只需把 y ? sin ? x 6
B. 向右平移

1 2

C.

7 12

D.

3 4

5 ? 个单位 12 7 ? 个单位 D. 向右平移 12 a n?1 ? abn 2 ?( 6.设正数 a, b 满足 lim( x ? ax ? b) ? 4, 则 lim n ?1 ) x ?2 n ??? a ? 2bn?1 1 1 ( A) 0 ( B ) ( C) ( D) 1 4 2 7.若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足对任意 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 ,则下列说
法一定正确的是( ) A. f ( x) 是奇函数 B. f ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? 2 是奇函数 D. f ( x) ? 2 是偶函数 8. 如图, 已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 则平面 ACD1 截球 O 的 1B 1C1D 1 的内切球, 截面面积为 ( )

5 ? 个单位 A.向左平移 12 7 ? 个单位 C. 向左平移 12

? A. 6 ? B. 3
6 ? 6 3 ? D. 3
C.

D1 A1 ·O D A B B1

C1

C

1

9.已知点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点, F1、F2 分别为双曲线的左、 a2 b2

右焦点,I 为△ PF1 F2 的内心,若 S ?IPF1 A.

? S ?IPF2 ? ?S ?IF1F2 成立,则 ? 的值为(
D.



a 2 ? b2 a b B. C. a 2a a 2 ? b2

a b

10.把正整数排列成三角形数阵(如图甲) ,如果擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数,得 到新的三角形数阵 (如图乙) , 再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列, 得到一个数列 ?an ? , 则 a2011 ? ( A. 3955 B. 3957 C. 3959 D. 3961 第 II 卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填在答题卷相应题中的横线上) )

1 6 ) 的展开式的常数项是 (用数字作答) 2x 3 3 12 .曲线 y ? x 在点(a, a )(a ? 0) 处的切线与 x 轴、直线 x ? a 所围成的三角形的面积为 1 , 则a = . 6 13.2011 年上海春季高考有 8 所高校招生,如果某 3 位同学恰好被其中 2 所高校录取,那么录
11. (2 x ? 取方法的种数为 14.设等差数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 3 ,
2 3

S4 ? 10 ,则 a6 的最大值为
2

.

15.三个同学对问题“关于 x 的不等式 x +25+| x -5 x |≥ ax 在[1,12]上恒成立,求实数 a 的 取值范围”提出各自的解题思路. 甲说:“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”. 丙说:“把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像”. 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围是 . 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分.) 16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos(? x ? 最小正周期为 ? . ⑴求函数 f ( x) 的解析式;

?

,且函数 f ( x) 的 ) ? cos(? x ? ) ?1 ( ? ? 0, x ? R ) 3 3

?

⑵在△ ABC 中, 角 A, B , C 所对的边分别为 a , b, c . 若 f ( B) ? 1 ,BA?BC ? 试求 b 的值.
2

??? ? ??? ?

3 3 , 且a ? c ? 4, 2

17. (本小题满分 13 分) 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由

2

前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一 人连胜两局或打满 6 局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为 (Ⅰ) 打满 3 局比赛还未停止的概率; (Ⅱ)比赛停止时已打局数 ? 的分布列与期望 E ? .

1 ,且各局胜负相互独立.求: 2

18. (本小题满分 13 分) 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面正三角形的边长是 2,D 是 CC1 的中点,直线 AD 与 侧面 BB1C1C 所成的角是 45 . ⑴求二面角 A ? BD ? C 的大小; ⑵求点 C 到平面 ABD 的距离.
?

A

A1 B1

B

C

D

C1

19.(本小题满分 12 分)

1 ( x ? 0且x ? 1) x ln x (1)求函数 f ( x ) 的单调区间;
设函数 f ( x) ?
1

(2)已知 2 x

? x a 对任意 x ? (0,1) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分) 已知点 M (?2, 0), N (2, 0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 (1)求 W 的方程;

2 .记动点 P 的轨迹为 W .

(2)若 A, B 是 W 上的不同两点, O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值.
3

??? ? ??? ?

21(本小题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x), 满足条件: (1) f ( x) ? f (? x) ? 2;(2) 对非零实数 x ,

1 1 ? 3. x x (1)求函数 f ( x ) 的解析式;
都有 2 f ( x) ? f ( ) ? 2 x ? ( 2 ) 设 函 数 g ( x) ?

f ( x) 2 ? 2 x ( x ? 0), 直 线 y ? 2n ? x 分 别 与 函 数 g ( x) 的 反 函 数

,设 an ?| An Bn |, sn 为数列 an 的前 n 项和.求证: y ? g ?1 ( x) 交于 A,B 两点(其中 n ? N * ) s3 s s 2 ? ? n ) 成立. 当 n ? 2 时,总有 sn ? 2( 2 ? 2 3 n

4

参考答案 1.C 2.B 3.C

1 1 k PQ ? ,过点 (1, 2) ,∴直线 PQ : y ? 2 ? ? ( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 5 ? 0 2 2 ? ?2 ? ?? ? ? ? ? ?2 ?? ?? ? 1 ?? 7 e1 ? e2 ? , a? b ? ?6e1 ? e1 ? e2 ? 2e2 ? ? . 2 2

4C P ? 1? 5.A 6.C

1 5 7 ? ? 2 6 12

??2
取 x ? y ? 0 有 f (0) ? 2 f (0) ? 2 ? f (0) ? ?2 ; 取 y ? ?x 有 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 2 即

f ( x) ? 2 ? ? ? f (? x) ? 2? ,选 C.
7.B ∵ lim( x 2 ? ax ? b) ? 4 ,∴ b ? 2a
x?2

∴ lim
n??

a ? ab a ?2 a ? lim n?1 n?2 n?1 n?1 n?1 n ?? a ? 2b a ?2 a
n n

n?1

n?1

n?1

1 ?1 n 1 ? lim 2 ? n?? 1 ? 22 4 a 2 ?2n
1 ( PF1 ? PF2 )?r a ?2 ? 1 c F1 F2 ?r 2
3 6

8.B

∵ S ?IPF1 ? S ?IPF2 ? ? S ?IF1F2 ? ? ?

S?IPF2 ? S?IPF2 S ?IF1F2

9.A

正方体对角线 B1D ? 截面 ACD1 ,且球心到截面 ACD1 的距离为 d ?

球半径 R ? 10.C

1 1 ? ,截面圆半径 r 2 ? R2 ? d 2 ? ? 截面圆面积 ? r 2 ? 2 6 6 n(n ? 1) 个数,又 2

2 图乙中第 n 行有 n 个数且最后一个数是 n ,前 n 行共

62 ? 63 63 ? 64 因 此 a2011 位 于 图 乙 中 第 63 行 58 个 数 , 第 63 行 最 后 一 个 数 是 ? 2011 ? 2 2 632 ? 3969 , 而 第 63 行 的 数 从 左 到 右 依 次 成 公 差 为 2 的 等 差 数 列 , 于 是
a2011 ? (63 ? 58) ? 2 ? 3969 ∴ a2011 ? 3959
11. ?20
3 (?1)3 ? C6 ? ?20

12. 1

S?

1 a 1 ? ? a3 ? 又 a ? 0 ∴ a ? 1 2 3 6

13. 168

2 C3 ? C8 2?A2 2? 168

a6 ? a1 ? 5d

a1 ? 2d ? 3

5

2a1 ? 3d ? 5

4?3 ? d ? 10 ? S4 ? 10 ?4a1 ? ?2a ? 3d ? 5 ?? 14.由 ? ?? 1 2 ?a3 ? 3 ?a1 ? 2d ? 3 ?a1 ? 2d ? 3 ?
a6 ? a1 ? 5d 由线性规划知识易知当 a ? 1, d ? 1 时, a6 取最大值 6 .
15.由 x +25+| x -5 x |≥ ax,1? x ?12 ? a ? x ? 25 ? | x 2 ? 5 x | , 而 x ? 25 ? 2
2 3 2

x

x

x?25 ?10 , x

等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立;且 | x 2 ? 5 x |? 0 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立;所 以, a ? [ x ? 25 ? | x 2 ? 5 x |]min ?10 ,等号当且仅当 x ? 5?[1,12] 时成立;故 a ?(??,10]

x

三.解答题 16.解:⑴ f ( x) ? 3 sin ? x ? cos(? x ? 由

?

) ? cos(? x ? ) ?1 ? 2sin(? x ? ) ? 1…4 分 3 3 6

?

?

2?

?

? ? ,得 ? ? 2

∴ f ( x)? 2 s i n ( x? 2

?
6

分 ? …6 ) 1

⑵由 f ( B) ? 2sin(2 x ? ∴ 2B ?

?
6

) ? 1 ? 1 得 sin(2B ?

?
6

?
6

?

?
2

,B?

?
6

…8 分

6 6 ??? ? ??? ? 3 3 3 3 由 BA?BC ? ,得 ac cos B ? , ac ? 3 …10 分 2 2

) ? 1 由 0 ? B ? ? ,得

?

? 2B ? 2? ?

?

.

2 2 2 再由余弦定理得, b ? a ? c ? 2ac cos B ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B ? 10 ? 3 3 …13 分

17.解:令 Ak , Bk , Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜. (Ⅰ)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满 3 局比赛还 未停止的概率为

P( A1C2 B3 ) ? P( B1C2 A3 ) ?

1 1 1 ? ? . …5 分 23 2 3 4
…6 分

(Ⅱ) ? 的所有可能值为 2,3,4,5,6.

1 1 1 ? ? , 22 22 2 1 1 1 P(? ? 3) ? P( A1C2C3 ) ? P( B1C2C3 ) ? 3 ? 3 ? . 2 2 4 1 1 1 P(? ? 4) ? P( A1C2 B3 B4 ) ? P( B1C2 A3 A4 ) ? 4 ? 4 ? . 2 2 8 1 1 1 P(? ? 5) ? P( A1C2 B3 A4 A5 ) ? P( B1C2 A3 B4 B5 ) ? 5 ? 5 ? , 2 2 16 1 1 1 P(? ? 6) ? P( A1C2 B3 A4C5 ) ? P ( B1C2 A3 B4C5 ) ? 5 ? 5 ? , 2 2 16 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ?
故有分布列 2 3 4 5 6

?

6

P

1 2

1 4

1 8

1 16

1 16

…11 分 从而 E ? ? 2 ?

1 1 1 1 1 47 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? (局) 2 4 8 16 16 16

…13 分
?

18.解:⑴设侧棱长为 x ,取 BC 中点 E ,则 AE ? 面 BB1C1C .∴ ?ADE ? 45 …2 分
A A1

AE ∴ tan 45? ? ? ED

3 x2 1? 4

解得 x ? 2 2 …3 分
G B E C D C1 F B1

过 E 作 EF ? BD 于 F ,连 AF , 则 AF ? BD . ?AFE 为二面角 A ? BD ? C 的平面角…5 分

sin ?EBF ? ∵ EF ? BE ?
∴ tan ?AFE ?

3 , AE ? 3 , 3

AE ? 3 故二面角 A ? BD ? C 的大小 EF

为 arctan 3 …7 分 ⑵由⑴知 BD ? 面 AEF ,∴面 AEF ? 面 ABD …9 分 过 E 作 EG ? AF 于 G ,则 EG ? 面 ABD …11 分 ∴ EG ?

AE ?EF 30 ? AF 10 30 …13 分 5

∴ C 到面 ABD 的距离为 2 EG ?

解法二:⑴求侧棱长 x ? 2 2 …3 分 如图建立空间直角坐标系,则 A(0, 0, 3) , B(?1, 0, 0) ,

? C (1, 0, 0) , D(1, 2, 0) 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 ABD 的一个法向量,
? ??? ? ? ??? ? ? n?AB ? 0 ? 则由 ? ? ???? 得 n ? ( 3, ? 6, ?1) …5 分 而 EA ? (0, 0, 3) 是 ? ? n?AD ? 0
面 BCD 的一个法向量
B

z A A1

B1 y C x D C1

??? ? ? ??? ? ? EA?n 10 ∴ cos ? EA?n ?? ??? .而所求二面角为锐角, ? ? ?? 10 EA ?n
即二面角 A ? BD ? C 的大小为 arccos

??? ?? CA?n ??? ? 30 ⑵∵ CA ? (?1, 0, 3) ∴点 C 到面 ABD 的距离为 d ? ? ? …12 分 5 n
19、 (1) f ( x) ? ?
'

10 …8 分 10

ln x ? 1 x 2 ln 2 x

…2 分

7

令 f ( x) ? 0 ? x ?
'

x
f ' ( x)
f ( x)

1 列表如下 e 1 ( 0, ) e
+

1 e
0

1 ( ,1) e
-

(1,??)
-

单调增

极大值

1 f( ) e

单调减

单调减

…7 分

1 a 1 ? 2 x ? x a 两边取对数,得 ln 2 ? a ln x又0 ? x ? 1 ? x ln 2 x ln x
由(1)的结果可知,当 x ? (0,1) 时, f ( x ) ? f ( ) ? ?e ,则只需

1

…9 分

1 e

a ? ?e ? a ? ?e ln 2 ln 2

…12 分 20.解: (1)依题意,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,所求方程为:

x 2 y2 - =1 (x?0) 2 2

…4 分

⑴当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+b,代入双曲线方程 得: (1-k2)x2-2kbx-b2-2=0……………………1? …6 分

x 2 y2 - =1 中, 2 2

依题意可知方程 1?有两个不相等的正数根,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

? ??=4k 2 b 2-4( 1-k 2) ? (-b 2-2) ?0 ? 2kb ? >0 ? x1+x 2= 1-k 2 ? ? b 2+2 x x = >0 ? 1 2 ? k 2-1
解得|k|?1 …8 分

??? ? ??? ? 又 OA ? OB = x1x2 + y1y2 = x1x2 +( kx1 + b ) ( kx2 + b )=( 1 + k2 ) x1x2 + kb ( x1 + x2 )+ b2 =
2k 2+2 4 =2+ 2 ?2 2 k -1 k -1
…10 分

⑵ 当直线 AB 的斜率不存在时,设直线 AB 的方程为 x=x0,此时 A(x0, B(x0,-

2 x0 -2 ) ,

??? ? ??? ? 2 x0 -2 ) , OA ? OB =2

…11 分 …12 分

综上可知 OA ? OB 的最小值为 2

??? ? ??? ?

8

1 1 ? 2 f ( x) ? f ( ) ? 2 x ? ? 3? f ( x) ? x ? 1 ( x ? 0)? x x ? 21 解:⑴由②知 x ? 0 时, ? ?? 1 2 由f (0) ? 1 ? ? 2 f ( ) ? f ( x) ? ? x ? 3 ? x x ? ? f ( x) ? x ? 1 …4 分
⑵ g ( x) ? x2 ? 1 由

y ? x2 ? 1 ? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? ? A ( , ) ? n 2 2 n 2 2 n y ? 2n ? x ? ?
2n ? 1 2n ? 1 , ) 2 2n 2 2n
2 2

? ? an ?

依题可得 Bn 与 An 关于 y ? x 对称 ? Bn (

1 n

…6 分

2S n 1 1 1 1 1 2 2 …8 分 ? Sn ? 1 ? ? ? ? ? ? Sn ? Sn?1 ? ? Sn ? 2 ?1 ? Sn ? 2 3 n n n n 2Sn 1 S S S 1 1 1 2 2 2 ? Sn ? Sn ? 2 (n ? 2) ,累加得 Sn ? S12 ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ?1 ? n n 2 3 n 2 3 n S S S 1 1 1 2 …10 分 ? Sn ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 1 ? ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) 2 3 n 2 3 n
又1? (

1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ) ? 1? ( ? ??? ) ? ?0 2 2 3 n 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n n

2 ∴ Sn ? 2(

S S2 S3 ? ??? n ) 2 3 n

…12 分

9


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