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2014年白云区中考备考综合测试(一模)

时间:2014-06-09


2014年白云区中考备考综合测试(一模)
数 学 试 题

本试卷分选择题和非选择题两部分,共三大题25小题,满分150分.考试时间为120分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、 姓名、试室号、座位号、准考证号,再用2B铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,涉及作图的题目,用2B铅笔画图.答案必 须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需要改动,先划掉原来的答案,然后再 写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分
有一项是符合题目要求的)

选择题(共30分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分.在每小题给出的四个选项中,只

1 1.与 ? 互为相反数的是( 2
(A) ?0.5



(B)

1 2

(C)2

(D)

2 1

2.平行四边形的对角线( ) (A)相等 (B)不相等 3.函数 y ? ? x ? 2 的图象不经过( ) (A)第一象限 4.若分式 (B)第二象限

(C)互相平分 (C)第三象限

(D)互相垂直 (D)第四象限

x?4 的值为零,则 x 的值是( ) x2 ? 4 (A)0 (B) ?2 (C)4 (D) ?4 5.如图1, AB 是 O 的直径,弦 CD ? AB ,垂足为 E ,如果 AB ? 10 , CD ? 8 , 那么线段 OE 的长为( )
(A)6 (B)5

B

O C

E
A

D

(C)4 (D)3 6.已知三角形的两边长分别为 2cm 和 7cm,则下列长度的四条线段中能作 为 第三 边的是( ) (A)3cm (B)5cm (C)8cm (D)10cm y 7.在平面直角坐标系下,与点P(2,3)关于 x 轴或 轴成轴对称的点是( ) (A) ( ? 3 , 2) (B) ( ?2 , ?3 ) (C) ( ?3 , ?2 ) (D) ( ?2 ,3)

图1

8.若 a ? m ? n , b ? m ? n ,则 ab 的值为(



(A) 2 m (B) 2mn (C) m ? n (D) m ? n 9.下列命题中错误的是( ) (A)平行四边形的对边相等 (B)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (C)对角线相等的四边形是矩形 (D)矩形的对角线相等 10.将边长为3cm 的正三角形的各边三等分,以这六个分点为顶点构成一个正六边形,再 顺次连结这个正六边形的各边中点,又形成一个新正六边形,则这个新正六边形的面积 等于( ) (A)

3 3 2 cm 4

(B)

9 3 2 cm 8

(C)

9 3 2 cm 4

(D)

9 2 2 cm 8

第二部分

非选择题(共120分)

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,满分18分) 11.方程: 2 ? x ? 1? ? 1 ? 0 的解为 . .

12.把直 线 y ? ?2 x ? 1 向下平移 2 个单位长度,得到的直线是

? ?x ? 3 ? 0 13.不等式组 ? 的解集为 ? ?2 ? x ? 1? ? 3 ? 3x
14.在反比例函数 y ?



2 ? 3m 的图象上有两点 A( x1 , y1 ) ,B( x 2 , y2 ) ,当 x1 ? 0 ? x2 时, x


有 y1 ? y2 ,则 m 的取值范围是

15.多边形的内角和与它的一个外角的和为 770? ,则这个多边形的边数是 . 16.如图2,在梯形 ABCD 中, AD∥BC ,∠ B ? 90? ,∠ C ? 45? , AD ? 2 , BC ? 8 , E 为 . AB 的中点, EF∥DC 交 BC 于点 F .则 EF 的长为
A E D

B

F 图2

C

三、解答题(本大题共9小题,满分102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 9 分) 分解因式: x y ? 4xy ? 4 y
2

18. (本小题满分 9 分) 已知,如图3,点 B、E、F、C 在同一条直线上, ∠A ?∠D , BE ? CF , ∠B ? ∠C . 求证: AF ? DE .
A D

B

E 图3

F

C

19. (本小题满分 11 分) 某校为了了解九年级男生 1000 米长跑的成绩, 从中随机抽取了 50 名男生进行测试, 根 据测试评分标准,将他们的得分进行统计后分为 A、B、C、D 四个等级,并绘制成下 面的频数分布表(表一)和扇形统计图(图① ) 。 表一 等级 A B C D 合计 (1)求出 成绩(得分) 10 分 9分 8分 7分 6分 5分 5 分以下 频数(人数) 7 12 频率 0.14 0.24

x
8

m
0.16

y
1 3 50

n
0.02 0.06 1.00

x 、 y 的值,直接写出 m 、 n 的值;
B等 46% A等

(2)求表示得分为 C 等级的扇形的圆心角的度数; (3)如果该校九年级共有男生 250 名,试估计这 250 名男生中成 绩达到 A 等级的人数约有多少人?

D C等 等
图①

20. (本小题满分 10 分) 开学前, 李浩去商场买书包, 商场在搞促销活动, 买一个书包可以通过抽奖形式送笔. 方 法如下: 在一个不透明的箱子里, 分别装有四张完全一样的卡片, 上面分别写有 “钢笔” 、 “圆珠笔” 、 “铅笔” 、 “谢谢”字样(其中“谢谢”卡即意味着没有奖品) .凭抽取的卡 片,工作人员即时对应地给出奖品.李浩买了一个书包,并参加了抽奖. (1)若只准抽一次,且每次只能抽一张,直接写出李浩能抽到一支笔的概率; (2) 若可以不放回地抽两次, 每次只能抽一张, 请用树形图把所有可能的情况表示出来, 并求李浩得到钢笔和圆珠笔的概率.

21. (本小题满分 10 分) 为了帮助云南昭通地震灾区重建家园, 某校号召师生自愿捐款. 第一次捐款总额为 2400 元,第二次捐款总额为 6800 元.已知第二次捐款人数是第一次的 2 倍,而且人均捐款 额比第一次多 20 元.求第一次捐款的人数.

22. (本小题满分 12 分) 如图4,点 N(0,6) ,点 M 在 x 轴负半轴上,ON=3OM.A 为线段 MN 上一点, AB⊥ x 轴,垂足为 B,AC⊥ y 轴,垂足为 C.矩形 ABOC 的面积为 2. (1)点 M 的坐标为 ; (2)求直线 MN 的解析式; (3)求点 A 的坐标(结果用根号表示) .

y
N

A

C

M

B 图4

O

x

23. (本小题满分 13 分) 如图 5,AB 为⊙ O 的直径,∠ABC ? 30? , ED ? AB 于点 F , CD 切⊙ O 于点 C,交 EF 于点 D . (1) ∠E ? ° ; (2) △ DCE 是什么特殊三角形?请说明理由; (3)当⊙ O 的半径为 1, BF ?
3? 3 时,求证 △DCE≌△OCB . 2
E D C A B

O F

图5

24. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 ,且 A、B 两点的横 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧)

坐标是方程 x 2 ? 4 x ? 12 ? 0 的两个根.抛物线与 y 轴的正半轴交于点 C,且 OC ? AB . (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)求此抛物线的解析式; (3)连接 AC、BC,若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与点 A、点 B 不重合) ,过点 E 作 EF∥ AC 交 BC 于点 F,连接 CE,设 AE 的长为 m ,△ CEF 的面积为 S,求 S 与 m 之间的函数关系式; (4)对于(3) ,试说明 S 是否存在最大值或 最小值,若存在,请求出此值,并求出此 时点E的坐标,判断此时△ BCE 的形状;若不存在,请说明理由.

25. (本小题满分 14 分) 如图 6,D、E 分别是△ ABC 的边 BC、AB 上的点,△ ABC,△ BDE,△ ACD 的周长依次 为 m , m1 , m2 .

m 3 BC 时,求 1 的值; 5 m m 2 3 (2)当∠ 1=∠ 2,BD= BC 时,求 ( 2 ) 的值; 5 m m ? m2 5 (3)当∠ 1=∠ 2=∠ 3 时,证明: 1 ≤ . m 4
(1)当∠ 2=∠ 3,BD=
A E
1 3 2

B

D 图6

C

参考答案及评分建议(2014 白云区给定测试) 一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 题 号 答 案 11 12 13 -3< 14 15 6 16 1 B 2 C 3 A 4 C 5 D 6 C 7 D 8 D 9 C 10 B

1 2

y =-2 x -1

x ≤1

m>

2 3

3 2

三、解答题 17. (本小题满分9分) 解: x y ? 4xy ? 4 y = y( x ? 4 x ? 4) ……………………………………………4分
2 2

= y( x ? 2 ? x ? 2 ? 2 ) …………………………………………… …………………6分
2 2

= y ( x ? 2) …………………………………………………………………………9分
2

18. (本小题满分9分) 证明:∵ BE=CF,∴ BE+EF=CF+F,………………………………2分 即BF=CE.………………………………………………………………………3分 在△ ABF和△ DCE中 ,…………………………………………………………4分

??A ? ?D ? ∵??B ? ?C , ……………………………………………………………………7分 ? BF ? CE ?
∴ △ ABF≌ △ DCE(AAS) ,…………………………………………………8分 ∴ AF=DE(全等三角形对应边相等) .…… ……………………………………9分

19. (本小题满分11分) 解: (1)由表一和扇形图① , 可得 x +8=50× 46%,………………………………………………………2分 解得 x =15.………………………………………………………………………3分 由表一,得7+12+15+8+ y +1+3=50,…………………………4分 得 y =4.……………………………………………………………………………5分

m =0.30, n =0.08;………………………………………………………7分 (2)C等级扇形的圆心角的度数为: (0.08+0.02)× 360° =36° ;……………………………………9分 (3)达到A等的人数约为: (0. 14+0.24)× 250……………… …………………………10分 =95(人) .……………………………………………………………11分

20. (本小题满分1 0分) 解: (1)

3 ;…………………………………………………………………………3分 4

(2)树形图如下(图2)
钢笔 圆珠笔 铅笔 谢谢

圆 珠 笔

铅 笔

谢 钢 谢 笔

铅 笔

谢 谢

钢 笔

圆 珠 笔

谢 谢

钢 笔

圆 珠 笔

铅 笔

?8分

图2

按规定的方法,所有等可能的情况共12种, 而抽到钢笔和圆珠笔占两种,

2 …………………………………………………………9分 12 1 = ,……………………………………………………10分 6 1 即李浩得到钢笔和圆珠笔的概率为 . 6
∴ P(钢笔,圆珠笔)= 21. (本小题满分10分) 解法一: 设第一次捐款 的人数为 x ,…………………………………………………………1分 根据题意,得:

6800 2400 - =20,…………………………………………6分 2x x

解该分式方程,得 x =50,………………………………………………………8分 经检验, x =50是原分式方程的解.……………………………………………9分 答:第一次捐款的人数为50人.………………………………………………10分 解法二: 设第一次人均捐款 y 元,……………………………………………………………1分 根据题意,得:

6800 2400 =2× ,……………………………………………6分 y ? 20 y

解得 y =48,………………………………………………………………………7分 经检验, y =48是原分式方程的解.……………………………………………8分 2400÷ y =2400÷ 48=50,…………………………………………9分 答:第一次捐款的人数为50人.………………………………………………10分

22. (本小题满分12分) 解: (1)M(-2,0) ;…………………………………………………………1分 (2)设直线MN的解析式为: y = kx ? b ,……………………………………2分 分别把M(-2,0) ,N(0,6)坐标代入其中,得

?6 ? k ? 0 ? b ,………………………………………………………………………4分 ? ?0 ? ?2k ? b
解得 ?

?k ? 3 ,…………………………………………………………………………5分 ?b ? 6

∴ 直线MN的解析式为: y =3 x +6;…………………………………………6分 (3)设点A的坐标为( x , y ) .………………………………………………7分 ∵ 点A在线段MN上,∴ y =3 x +6,且-2< x <0. 根据题意,得OB· AB=2, ∵ OB=- x ,AB= y ,…………………………………………………………8分 ∴ -

x (3 x +6)=2,…………………………………………………………9分

2 整理得: 3x ? 6 x +2=0,

解得

x =-1±

2 .……………………………………………………………10分 3



x =-1+

2 时, y =3+ 2 ; 3 2 时, y =3- 2 . 3 2 ,3+ 2 ) 3



x =-1-

∴ 点A的坐标为A(-1+

或A(-1-

2 ,3- 2 ) .………………………………………………12 3

23. (本小题满分13分) 解: (1)30° ;…………………………… …………………………………1分 (2)△ DCE为等腰三角形.…………………………………………………2分 ∵ CD是⊙ O的切线,∴ ∠ OCD=90° .…………………………………3分 即∠ 1+∠ 3=90° (如图1) . ∵ AB为⊙ O的直径,∴ ∠ ACB=90° ,…………………………………4分 ∴ ∠ ECB=90° ,即∠ 2+∠ 3=90° , ∴ ∠ 1=∠ 2.……………………………………………………………………5分 ∵ ∠ B=30° ,∴ ∠ A=60° ;

∵ OC=OB,∴ ∠ 1=∠ B=30° ,…………………………………………6分 ∴ ∠ 2=30° . ∵ ED⊥ AB于点F,∴ ∠ E=90° -∠ A=30° , ∴ ∠ E=∠ 2,………………………………………………………………………7分 故△ DCE的等腰三角形; (3)证明:在Rt△ ABC中,∵ ∠ B=30° , ∴ AC= ∴ BC=

1 1 AB= × 2=1.……………………………………………………8分 2 2

AB2 ? AC2 = 3 .……………………………………………………9分
3 ? 3 1? 3 = ,……………………………………10分 2 2

AF=AB-BF=2-

在Rt△ AEF中,∵ ∠ E=30° , ∴ AE=2AF=1+ 3 , ∴ CE=AE-AC=1+ 3 -1= 3 .……………………………………11分 在△ DCE和△ OCB中, ∵ ∠ E=∠ 2=∠ B=∠ 1=30° ,CE=BC= 3 ,……………………12分 ∴ △ DCE≌ △ OCB.……………………………………………………………13分

E D

C A

2 3 1

O F

B

图1

24. (本小题满分14分)
2 解: (1)由方程 x ? 4 x -12=0

得(

( x -2)=0, x +6)

∴x1 =-6, x2 =2,……………………………………………………………1分 由题意得A(-6,0) 、B(2,0) .………………………………………2分 AB=6-(-2)=8, ∵ OC=AB且C点在 y 轴的正半轴上,

∴ C(0,8) .……………………………………………………………………3分 ∴ A、B、C三点的坐标分别为: A(-6,0) 、B(2,0) 、C(0,8) ; (2)∵ 点C(0,8)在抛物线上, 当 x =0时, y =8,∴ c =8.…………………………………………………4分 将A(-6,0) 、B(2,0)代入 y ? ax ? bx ? 8 ,
2

得?

?36a ? 6b ? 8 ? 0 ,………………………………………………………………5分 ?4a ? 2b ? 8 ? 0

2 ? a?? ? ? 3 解得 ? ,………………………………………………………………………6分 ?b ? ? 8 ? 3 ?
∴ 所求抛物线的解析式为 y =-

2 2 8 x ? x +8;………………………………7分 3 3

(3)依题意,AE= m ,则BE=8- m . ∵ EF∥ AC,∴ △ BEF∽ △ BAC,…………………………………………8分 h 设BE边上的高为 , 由相似三角形的性质“对应高的比等于相似比”, 可得:BE边上的高︰BA边上的高=BE︰BA,……………………………9分 即 h ︰OC=BE︰BA, ∴ h ︰8=(8- m )︰8, ∴ h =8- m .如图2, S=S△ CEF=S△ ABC-S△ ACE-S△ BEF ………………………………………10分

1 1 1 2 × 8× 8- × 8 m - (8 ? m) , 2 2 2 1 2 化简整理得S=- m ? 4 m (0< m <8) ;……………………………11分 2
= (4)存在最大值.………………………………………………………………12分 ∵ S=- =-

1 2 m ? 4m 2

1 2 1 (m ? 8m ? 42 ? 42 ) =- ( m ? 4) 2 +8, 2 2 1 ∵ - <0,∴ 当 m =4时,S有最大值8,………………………………13分 2
S最大值=8. m =4,即AE=4, ∴ 点E的坐标为E(-2,0) , ∵ B(2,0) ,∴ OC⊥ EB且平行EB, 即CE=CB, ∴ △ BCE为等腰三角形.……………………………………………………14分

y
12

10

8

C F

6

4

2

A
-5

B E x=-2
-2

O

x

图2

25. (本小题满分14分) 解: (1)∵ ∠ 2=∠ 3,∴ DE∥ AC, ∴ △ BDE∽ △ BCA,…………………………………………………………1分

m1 BD = ,……………………………………………………………………2分 m BC 3 BD 3 由BD= BC,得 = , 5 BC 5 m 3 即 1 = ; ……………………………………………………………………3分 m 5
∴ (2)∵ ∠ 1=∠ 2,∠ C是公共角, ∴ △ ACD∽ △ BCA,………………………………………………………4分

m2 DC AC = = ,…………………………………………………………5分 m AC BC m 2 DC AC DC ? ∴( 2 ) = = ,………………………………………………6分 m AC BC BC 3 2 由BD= BC,得DC= BC, 5 5 m 2 2 ∴( 2 ) = ;…………………………………………………………………7分 m 5
∴ (3)证法一:由∠ 2=∠ 3,得DE∥ AC, ∴ △ BDE∽ △ BCA; ∠ 1=∠ 2,∠ C是公共角,∴ △ ACD∽ △ BCA, ∴ △ ACD∽ △ BDE∽ △ BCA. ∴

m1 BD = m BC

① ……………………………………8分

m2 DC AC = = ② ……………………………………9分 m AC BC m 2 DC AC DC ? 由② 得, ( 2 ) = = m AC BC BC m BC ? BD BD = =1- =1- 1 , ……………………………………10分 BC BC m m m 2 ∴ 1 =1- ( 2 ) .…………………………………………………………11分 m m m1 ? m2 m1 m 2 m 2 m = + =1- ( 2 ) + 2 m m m m m m2 2 m 2 m2 1 2 5 ? ) ? ,………………………………12分 =- ( ) + +1=- ( m m m 2 4 m2 1 2 ? ) ≤0,…………………………………………………………13分 ∵ -( m 2 m ? m2 5 ∴ 1 ≤ .………………………………………………………………14分 m 4

证法二:由∠ 2=∠ 3,得AC∥ DE,∴ △ BCA∽ △ BDE. ∵ ∠ 1=∠ 2,∠ C是公共角,∴ △ BCA∽ △ ACD, ∴ △ BCA∽ △ BDE∽ △ ACD.…………………………………………8分 ∵ △ ABC,△ EBD,△ ADC的周长为 m , m1 , m2 , ∴ 相似比为 m ︰ m1 ︰ m2 , ∴ BC︰BD︰AC= m ︰ m1 ︰ m2 .………………………………………9分 设

BC BD AC = = = k ,…………………………………………………10分 m m1 m2

则BC= mk ,BD= m1k ,AC= m2 k . CD=B C-BD=( m ? m1 ) k ,由 等式左边的分子、分母同除以 m ,

CD AC m ? m1 m2 ? ,得 , ? AC BC m2 m

m1 m ? m2 ,………………………………………………………………11分 得 m2 m m m2 m ? x , 1 ? y ,…………………………………………………………12分 设 m m 1? y ? x ,1- y = x 2 , y =1- x 2 , 则 x 1?

m1 ? m2 m1 m 2 2 = + = x + y = x +1- x ………………………………13分 m m m 1 2 5 2 =- x + x +1=- ( x ? ) ? ,…………………………………………14分 2 4 m ? m2 m ? m2 5 1 5 当 x = 时, 1 取得最大值 ,∴ 1 ≤ . 2 m 4 m 4
证法三:证明:由∠ 2=∠ 3,得DE∥ AC, ∴ △ EBD∽ △ ABC.设相似比为 k ,由题意知, 0< k <1.则

m1 DE BE BD = = = = k .……………………………8分 m AC AB BC

∵ ∠ 2=∠ 1,∠ C是公共角,∴ △ DAC∽ △ ABC,

m2 DC AD AC = = = .…………………………………………………9分 m AC AB BC 在△ ABC中,设AB= x ,AC= y ,BC= z ,………………………10分 BD 由 = k ,得BD= k BC= k z ,CD=BC-BD= z - k z . BC DE 由 = k ,得DE= k AC= k y . AC AC DC 由△ ABC∽ △ DAC,得 = , BC AC
∴ 得

y z ? kz ? ,∴ y 2 ? z 2 (1 ? k ) .……………………………………………11分 z y

∵ 0< k <1,∴ 1- k >0,∴ y = 1 ? k z .……………………………12分 ∴

m1 ? m2 m1 m 2 DE DC = + = + m m m AC AC



ky ? ( z ? kz ) k ? 1 ? k z ? z (1 ? k ) = = k + 1? k . y 1? k z

设 1 ? k = n ,…………………………………………………………13分
2 2 则1- k = n , k =1- n ,

m1 ? m2 2 2 =1- n + n =- n + n +1 m 1 2 5 =- ( n ? ) ? ,………………………………………………………14分 2 4 m1 ? m2 1 5 当 n = 时, 取得最大值 , 2 m 4 m1 ? m2 5 ∴ ≤ . m 4



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