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三角函数的知识点总结及相关习题

时间:2011-12-21


三角公式总表

⒈L 弧长=

?

nπR R= 180

1 1 n? ? R 2 ? S 扇= 2 LR= 2 R2 = 360

b c a ⒉正弦定理: sin A = sin B = sin C = 2R(R 为三角形外接圆半径)
2 2 2 ⒊余弦定理: a =b +c -2bc cos A 2 2 2 2 2 2 b =a +c -2ac cos B c =a +b -2ab cos C

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 2bc

1 1 1 1 abc 2 ?h ⒋S⊿= 2 a a = 2 ab sin C = 2 bc sin A = 2 ac sin B = 4 R =2R sin A sin B sin C

a 2 sin B sin C b 2 sin A sin C c 2 sin Asin B 2 sin B 2 sin C =pr= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 2 sin A = = =
1 p ? (a ? b ? c) 2 (其中 , r 为三角形内切圆半径)
⒌同角关系:

x cos? y sin ? ctg? ? ? ? cos? ? csc ? y sin ? ⑴商的关系:① tg? = x = cos ? = sin ? ? sec ? ②
sin ? ?


y ? cos ? ? tg? r x ? sin ? ? ctg ? r

sec ? ?


r 1 ? ? tg? ? csc ? x cos ?

cos ? ?


csc ? ?


r 1 ? ? ctg? ? sec ? y sin ?

⑵倒数关系: sin ? ? csc ? ? cos? ? sec ? ? tg? ? ctg? ? 1 ⑶平方关系: sin
2

? ? cos2 ? ? sec2 ? ? tg 2? ? csc2 ? ? ctg 2? ? 1
a 2 ? b2 sin(? ? ? )
(其中辅助角

⑷ a sin ? ? b cos? ?

? 与点(a,b)在同一象限,且

tg? ?

b a)
1

⒍函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质: ( ? ? 0, A ? 0 )

2? 1 ? 振幅 A,周期 T= ? , 频率 f= T , 相位 ? ? x ? ? ,初相
⒎五点作图法:令 ?x ? ? 依次为 ⒏诱导公试 sin -? - sin ? + sin ? - sin ? - sin ? + sin ? sin + cos? + cos? - cos? - cos? cos + cos? - cos? - cos? + cos? + cos? con + sin ? - sin ? - sin ? + sin ? tg - tg? - tg? + tg? - tg? + tg? tg + ctg ? - ctg ? + ctg ? - ctg ? ctg - ctg ? - ctg ? + ctg ? - ctg ? + ctg ? ctg + tg? - tg? + tg? - tg?

0

?
2

,? ,

3? ,2? 2 求出 x 与 y,

依点 ? x, y ? 作图

? -?
? +?
2? -? 2k ? + ?

三角函数值等于 ? 的同名三角函数 值,前面加上一个把 ? 看作锐角时, 原三角函数值的符号;即:函数名不 变,符号看象限

三角函数值等于 ? 的异名三角函数 值,前面加上一个把 ? 看作锐角时, 原三角函数值的符号 ; 即:函数名改 变,符号看象限 ⒐和差角公式 ①

?
2

??

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?


?

?? 2 3? ?? 2 3? ?? 2

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tg (? ? ? ) ?


tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg?

④ tg? ? tg? ? tg (? ? ? )(1 ? tg? ? tg? )

tg (? ? ? ? ? ) ?


tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? 其中当 A+B+C=π 时,有:
tg
ii).

i). tgA ? tgB ? tgC ? tgA ? tgB ? tgC ⒑二倍角公式:(含万能公式)

A B A C B C tg ? tg tg ? tg tg ? 1 2 2 2 2 2 2

2

sin 2? ? 2 sin ? cos? ?


2tg? 1 ? tg 2?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ?


1 ? tg 2? 1 ? tg 2?
cos 2 ? ?


tg 2? ?


2tg? 1 ? tg 2?

sin 2 ? ?


tg 2? 1 ? cos 2? ? 2 1 ? tg ? 2

1 ? cos 2? 2

⒒三倍角公式: ① sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin
3

? ? 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? )
3

② cos3? ? ?3 cos? ? 4 cos

? ? 4 cos? cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? )

tg 3? ?


3tg? ? tg 3? ? tg? ? tg (60 ? ? ) ? tg (60 ? ? ) 1 ? 3tg 2?

? ⒓半角公式: (符号的选择由 2 所在的象限确定)
sin


?
2

??

1 ? cos? 2
1 ? cos ? 2

sin 2


?
2

?

1 ? cos ? 2

cos


?
2

??

1 ? cos? 2

cos 2


?
2

?

1 ? cos ? ? 2 sin 2


?
2


1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

1 ? sin ? ? (cos ? sin ) 2 ? cos ? sin 2 2 2 2 ⑦
tg


?

?

?

?

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

⒔积化和差公式:

sin ? cos ? ?

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? cos ? sin ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 2 1 1 cos ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? sin ? sin ? ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos ?? ? ? ?? 2 2
sin ? ? sin ? ? 2 sin

⒕和差化积公式:

???
2

cos

???
2


sin ? ? sin ? ? 2 cos
3

???
2

sin

???
2



cos ? ? cos ? ? 2 cos
③ ⒖反三角函数: 名称 反正弦函数

???
2

cos

???
2


cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???
2

sin

???
2

函数式

定义域

值域

性质

y ? arcsin x
y ? arccos x

?? 1,1? 增
?? 1,1? 减
R 增

? ? ?? ? , ? ? 2 2? ?

arcsin(-x)? -arcsinx 奇 arccos(? x) ? ? ? arccosx arctg(-x)? - arctgx 奇 arcctg(? x) ? ? ? arcctgx

反余弦函数 反正切函数

?0, ? ?
? ? ?? ?? , ? ? 2 2?

y ? arctgx

反余切函数

y ? arcctgx

R



?0, ? ?

⒗最简单的三角方程 方程 方程的解集

sin x ? a

a ?1

?x | x ? 2k? ? arcsin a, k ? Z ?

a ?1

?x | x ? k? ? ?? 1? arcsin a, k ? Z ?
k

cosx ? a

a ?1 a ?1

?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ?

tgx ? a

?x | x ? k? ? arctga, k ? Z ?

ctgx ? a

?x | x ? k? ? arcctga, k ? Z ?

4

第六讲 高考第 17 题训练(一)
说明:高考的第 17 题比较简单,09 考得是简单的三角函数,分值为 12 分。

sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ?
和差公式

cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan(A ? B) ?

sin 2 x ? 倍角 cos 2 x ? t an 2 x ?

高考第 17 题原题
17. (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知向量 a ? (cos a,sin a), b ? (cos ? ,sin ? ), c ? (?1,0) (Ⅰ)求向量 b ? c 的长度的最大值; (Ⅱ)设 a ?

?
4

,且 a ? (b ? c) ,求 cos ? 的值。

答案 (1) | b ? c |2 ? (cos? ?1)2 ? sin 2 ? ? 2(1 ? cos? ). 所以向量 b ? c 的长度的最大值为 2.
w.

( 2) a ? (b ? c) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? 。

?? cos(? ? ? ) ? cos ? 。?? ? ?

?
4

? 2k ? ?

?
4

(k ? z ) 。于是 cos ? ? 0或 cos ? ? 1 。

2009 年全国各地优秀模拟训练
1、 (2009 北京 4 月) (5 分)若 sin 2 x ? 0, cos x ? 0, 则角x是 ( A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 ) D、第四象限角

2、 (2009 北京高三上期末) (6 分)将函数 y ? cos 2 x 的图像按向量 (

?
4

,1) 平移后得到函数

f ( x) 的图像,那么(
A、 f ( x) ? ? sin 2 x ? 1

) B、 f ( x) ? sin 2 x ? 1
5

C、 f ( x) ? ? sin 2 x ? 1

D、 f ( x) ? sin 2 x ? 1

3、 (2009 北京高三上期末) (5 分)在△ABC 中,∠C=120°, tan A ? tan B ?

2 3 ,则 3

tan A tan B 的值为( 1 A、 4

) B、

1 3

C、

1 2

D、

5 3
2

4、 (2009 湖北八校联考二)已知 f ( x) ? sin x ? cos(x ? t ) 为偶函数,且 t ? 3t ? 40 ? 0 , 则 t 的值为________________________________.(6 分) 5、 (2009 湖北五市联考)若 sin(

1 ? ? x ) ? ,则 cos( ? 2 x ) =____________。 (6 分) 3 3 3 1 ? sin x ? cos x ? sin 2 x 6、 (2009 武汉 2 月)已经函数 f ( x) ? 1 ? sin x ? cos x
(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)求函数 f ( x) 在 [0,2? ] 上的单调区间。 7、 (2009 湖北八校联考一)已经函数 y ? sin x ? 2 sin x sin(
2

?

?
2

? x) ? 3 sin 2 (

3? ? x) 2

(1)若 tan x ? (2)若 x ? [0,

?

1 ,求 y 的值。 2 ] ,求 y 的值域。

2

8、 (2009 北京 4 月)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的三边分别是 a 、b 、c ,已知 a ? 2 ,

b ? 7 , B ? 60°。
(1)求 c 的值及三角形的面积; (2)求 sin(2 A ? C ) 的值。 9、 (2009 北京高三抽样)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的三边分别是 a 、 b 、 c ,且三 边长度互不相等。已知 a ? 4, c ? 3, A ? 2C 。 (1)求 cos C 的值; (2)求 b 的值。 10、 (2009 武汉 4 月)已知函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? 2 cos2 x ? m ,其定义域为 [0, 大值为 6。 (1)求常数 m 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间。
6

?
2

] ,最

三角函数的图象、性质重要讲解分析 江苏 郑邦锁 1.研究一个含三角式的函数的性质时一般先将函数化为 y=Asin(ωx+φ)+B 或 y=Acos(ω x+φ)+B 的形式。[注意]:函数 y=|Asin(ωx+φ)|的周期是函数 y=Asin(ωx+φ)周期的一 半。 [举例]函数 y ? sin( A、

?
2

x ? ? ) cos(

?
2

x ? ? ) 在 x ? 2 时有最大值,则 ? 的一个值是,
C、

? 4

B、

? 2

解析: 原函数可变为: y ?

? =(k-1) ? +

? ? ? ,k∈Z,选 A。 (万不可分别去研究 sin( x ? ? ) 和 cos( x ? ? ) 的最大 2 2 4


1 ? sin(?x ? 2? ) ,它在 x ? 2 时有最大值,即 2? ? 2? =2k ? + 2 2

2? 3

D、

3? 4

值) 。 [巩固] ①函数 y=sin2xcos2x 的最小正周期是 ②函数 y=tanx―cotx 的周期为 ;③函数 y=|

1 x +sim |的周期为 2 2



2.在解决函数 y=Asin(ωx+φ)的相关问题时,一般对ωx+φ作“整体化”处理。如:用 “五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时,应取ωx+φ=0、

? 3? 、? 、 、2 ? 等,而 2 2

不是取 x 等于它们;求函数 y=Asin(ωx+φ)的取值范围时,应由 x 的范围确定ωx+φ的范 围,再观察三角函数的图象(或单位圆上的三角函数线) ,注意:只需作出 y=sin ? (把ω x+φ视为一个整体,即 ? )的草图,而无需画 y=Asin(ωx+φ)的图象;求函数 y=Asin(ωx+ φ)(ω>0)的单调区间时,也是视ωx+φ为一个整体,先指出ωx+φ的范围,再求 x 的范

? 和ωx+φ=k ? (k 2 k? ? ? ? ? 对称,关于点 ∈ Z ), 从而得到函数 y=Asin(ω x+φ )的图象关于直线 x ? ? 2? ? k? ? ? ( ,0)对称(k∈Z) , (正、余弦函数图象的对称轴平行于 Y 轴且过函数图象的最 ?
围;研究函数 y=Asin(ωx+φ)的图象对称性时,则分别令ωx+φ=k ? + 高点或最低点,而对称中心是图象与“平衡轴”的交点);对函数 y=Acos(ωx+φ)也作完 全类似的处理。 [举例 1]画出函数 y ? sin( 2 x ? 解析:作函数 y ? sin( 2 x ?

?
6

) 在[0, ? ]内的图象并指出其有无对称轴、对称中心。

?
6

) 的图象不是先作函数 y ? sin x 的图象,再由它伸宿、平移

得到,而是直接描点作图。但不是在[0, ? ]内取 x =0、

? ? 3? 、 、 、 ? 这五点,而是 4 4 2

7

视 2x ?

? ? ? 13? ? ? ? 3? 13? 为一个角, 2 x ? ∈[ , ],取 2 x ? = 、 、? 、 、2 ? 、 6 6 6 6 2 2 6 6 6
? 6
0

六个点,具体列表如下:

2x ?

? 6

x
y

? 2 ? 6
1

?
5? 12
0

3? 2 2? 3
-1

2?

11? 12
0

13? 6

?

1 2 ? 2? 5? 11? 描点、 作图略。 不难看出直线 x ? 、x ? 都不是函数的对称轴, 点 ( , 0) 、 ( , 3 12 12 6
0) 也都不是函数图象的对称中心, 因为定义域不关于它们对称, 所以无对称轴、 对称中心。 [举例 2] 已知函数 y ? sin x cos x ? 3 sin 2 x , (1)指出函数的对称轴、对称中心; (2)指出函数的单调递增区间; (3)函数在 ( ? 最大、最小值时的 x 的值。 解析:y ? 2 sin( 2 x ?

1 2

2? ? ,? ] 上的最大、最小值,并指出取得 3 12

?
3

)-

? ? k? ? 3 ? ,k ? Z ; , (1) 对称轴: 由 2 x ? = k? + 得 x ? 3 2 12 2 2

对称中心:由 2 x ?

? k? ? k? ? 3 ? ,∴函数图象的对称中心为( ? ,= k? 得 x ? ) 3 2 6 2 6 2

? ? ? 5? ? ∈[2 k? ,2 k? + ]得 x ∈[ k? ? , k? ? ], k ? Z , 3 12 12 2 2 5? ? ? 2? ? ,? ] ∴[ k ? ? , k? ? ], k ? Z 。 (3)将 2 x ? 视为一个角 ? ,∵ x ? ( ? 12 12 3 3 12 ? ? 1 ∴ ? ∈ (?? , ] ,画函数 y ? sin ? 的草图,观察 ? ∈ (?? , ] 时函数值的范围为[-1, ], 6 6 2 ? ? 1 5? 当且仅当 ? = ? 时 sin ? 取得最小值-1, ? = 时 sin ? 取得最大值 ;即 x = ? 时原 2 2 6 12
k ?Z 。 (2)由 2 x ?
函数最小值-2-

? 3 3 ,x=? 时原函数最大值 1。 12 2 2

? 5? 11? -2x)的一个增区间是[ , ];② 12 12 3 ? 若函数 f(x)=sin( ? x+ ? )为奇函数,则 ? 为 ? 的整数倍;③对于函数 f(x)=tg(2x+ ),若 3 ? ? f(x1)=f(x2),则 x1-x2 必是 ? 的整数倍;④函数 y=2sin(2x+ )的图像关于点( ,0)对 3 3
[巩固] [巩固]有以下四个命题:①函数 f(x)=sin(
8

称。 其中正确的命题是 [迁移] 函数 f(x)=2sin
2

(填上正确命题的序号)

? x+ 3 sin2 ? x-1 ( ? >0)

① 若对任意 x∈R 恒有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),求|x1-x2|的最小值; ② 若对任意 x∈R 恒 f(x)≤f(1),试判断 f(x+1)的奇偶性; ③ 若 f(x)在[0,

? ]上是单调函数,求整数 ? 的值; 4

3.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求表达式,一般先根据函数的最大值 M、最小值 m(最高、最低点的纵坐标) ,确定 A、B(A+B=M,-A+B= m) ;根据相邻的最大、 最小值点间的距离 d(最高、最低点的横坐标之差的绝对值)确定ω( d ? 高(或最低)点的坐标代入表达式确定φ。 [举例] 已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,0<φ <π )的两个相邻最值点为( -2),则这个函数的解析式为 y =____________. 解析:A=2,相邻最值点相距半个周期,即 则函数解析式为 y ? 2 sin(2 x ? ? ) ,点(

? ),最后用最 ?
? 2? ,2), ( , 3 6

? ? ,2)在函数图象上,∴2=2sin( +φ ) ? 6 3 ? ? ? ? +φ =2 k? + 得φ =2 k? + , k ? Z ∴函数的解析式为 y ? 2 sin( 2 x ? ) 。 6 3 2 6 ? [巩固] 函数 y=Asin(ω x+φ )(ω >0,|φ |< )的部分图象如右, 2 y
则函数表达式为:

T 2? ? ? ? ? ? ,∴T=π ? ω =2, 2 3 6 2

? ? ? ? x+ ),B.y=4sin( x- ), 8 4 8 4 ? ? ? ? C.y=-4sin( x- ),D.y=4sin( x+ ) 8 4 8 4
A.y=-4sin( [迁移]如图是一个半径为 3 米的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 米,已知水轮每分钟转动四圈,水轮上的点 P 相对于水面 的高度 y(米)与时间 x(秒)满足函数关系 y=Asin( ? x+ ? )+B (A>0,? >0,0< ? <2 ? ),若 x=0 时,P 在最高点,则函数 表达式为:

4 x -2 O -4 P O 6

4. 三角函数图象的平移变换、 伸缩变换遵循 “图进标退” 原理:即图象向上 (右) 平移 m(m>0) 个单位,则表达式中的 y(x)应变为 y-m(x-m);图象横(纵)坐标变为原来的 n 倍,则表达 式中的 x(y)应变为

x y ( )。关注“先伸缩后平移”与“先平移后伸缩”的结果是不同的。 n n
9

[举例] 已知函数 f ( x) ? 2a cos2 x ? b sin x cos x ? 3 , 且f (0) ? 3 , f (? ) ? 1 . 2 2 4 2 (Ⅰ)函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使其对应的函数成为奇函数? (Ⅱ)函数 f(x)的图象经过怎样的平移后得到 y=cosx.。

? 3 解析: 由 f (0) ? 3 , f ( ? ) ? 1 . 得: , b=1, 降次、 “合二为一” 后得:f ( x) =sin(2x+ ), a? 3 2 2 4 2
(Ⅰ)思路一:函数 y= f(x)的图象关于(-

? ? ,0)对称,向右平移 个单位后图象关于 6 6

原点对称即为奇函数(平移的方法不唯一,因为函数 y= f(x)的图象对称中心不唯一) ; 思路二:若函数 f(x)的图象向右平移 m 个单位得到函数 y= sin(2x-2m+ 函数,则 x=0 时函数值为 0(奇函数图象关于原点对称) ,即-2m+

?

k? ? ? , k ? Z ,随 k 的取值不同可以得到不同的 m 的值,回答其中任一个即可。 (运算 2 6

? = k? , k ? Z ? m= 3

? ),要使其为奇 3

量虽大一些,但更具一般性) 。

? ? ? ? ? )=cos( -2x)=cos(2x- )=cos[2(x)],方案一: 先左移 (x 变成 12 12 3 6 6 ? x x+ )得到函数 y= cos2x,再纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍 (x 变成 ) 得到函数 y=cosx; 12 2 x ? 方案二:先纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍(x 变成 )得到函数 y= cos(x- ),再左 2 6 ? ? 移 (x 变成 x+ )得到函数 y=cosx。注: (ⅰ)图象变换的问题要特别注意题目要求由谁 6 6
(Ⅱ) f ( x) =sin(2x+ 变到谁,不要搞错了方向; (ⅱ)变换的源头和结果需化为同名的三角函数且角变量的系数 同号(用诱导公式)才能实施; (ⅲ)如果已知变换的结果探究变换的源头,可以“倒行逆 施” 。 [巩固 1]把函数 y=cosx- 3 sinx 的图象向左平移 m 个单位(m>0)所得的图象关于 y 轴对 称,则 m 的最小值是 A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

[巩固 2] 将函数 f ( x) =Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0, |φ |<

? ? )的图象向右平移 ,再横坐标伸 2 8

长 为 原 来 的 2 倍 、 纵 坐 标 缩 小 为 原 来 的 一 半 得 到 函 数 y=sinx , 则

f ( x) =


0

5.三角形三内角 A、B、C 成等差数列,当且仅当 B=60 ;在△ABC 中:A>B ? sinA>sinB;
10

sin(B+C)=sinA 、 cos(B+C)=-cosA 、 cos

B?C A B?C A =sin 、 sin =cos ;△ ABC 中 2 2 2 2

cosA+cosB>0,cosB+cosC>0,cosA+cosC>0;在锐角三角形△ABC 中 sinA>cosB,sinB>cosC, sinC>cosA 等;若 A、B 是钝角三角形两锐角,则 sinA<cosB,sinB<cosA。等等

? +A)的取值范围是 . 2 ? ? ? 4? 解析:原式= ? 3 cos A ? sin A =-2sin(A+ ),∵A∈(0, ? ) ? A+ ∈( , ) 3 3 3 3
[举例] 在△ABC 中, 3 cos(B+C)+cos( sin(A+

? 3 )∈(,1 ] ,即原式的取值范围是: [ -2, 3 ) 3 2

[巩固 1]在锐角三角形△ABC 中,设 x=sinAsinB,y=cosAcosB,则 x,y 的大小关系是:( ) A.x≤y, B.x<y C.x≥y D.x>y [巩固 2] 在 ?ABC 中,已知 tan ② 0 ? sin A ? sin B ? 其中正确的是( A.①③ ) B.②④ C.①④ D.②③

A? B ? sin C ,给出以下四个论断:① tan A ? cot B ? 1 , 2

2 ,③ sin 2 A ? cos2 B ? 1 ,④ cos2 A ? cos2 B ? sin 2 C ,

简答 1. [巩固] ①

? ? ? ② ③4 ? ; 2. [巩固]①②④, [迁移] f(x)=2sin(2 ? x- ), ①由 f(x1) 2 2 6

≤f(x)≤f(x2)知:x1、x2 分别是函数 y=f(x)的最小值、最大值点,最小、最大值点间最近

? ? ? ?? ? ,②偶,③视 2 ? x- 为一个角 ? ,则 ? ∈[- , - ], 6 6 2 6 2? ? ?? ? ?? ? ? 4 函数 y ? 2 sin ? 在 [- , - ]上单调, 则 - ≤ , 得 0< ? ≤ ,又 ? 为整数, 3 6 2 6 2 6 2 2? ? ∴ ? =1。3.[巩固] 注意 A 未必是正数,C, [迁移] y=3sin( x+ )+2 15 2 ? 4. [巩固 1] C, [巩固 2] f ( x) =2 cos(2x- ) 4
的距离为半个周期,得 5. [巩固 1] D,[巩固 2]

11

高中数学必修内容训练试题(4)---三角函数 一、选择题(每题 3 分,共 54 分) 2? 1 若点 P 在 的终边上,且 OP=2,则点 P 的坐标( ) 3
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A. (1, 3) 2
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B. ( 3,?1)

C. (?1,? 3)

D. (?1, 3)

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5 已知 sin ? ? cos ? ? ? , 则 sin ? cos ? ? ( ) 4

A. 3

7 4

B. ?

9 16

C. ? )

9 32

9 D. 32

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下列函数中,最小正周期为 A. y ? sin( 2 x ?

?
3

? 的是( 2
B. y ? tan( 2 x ?

)

?
3

)

4

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? ? C. y ? cos( 2 x ? ) D. y ? tan( 4 x ? ) 6 6 1 已知 cos ? ? ,? ? (0, ? ), 则 cos( ? ? 2? )等于 ( ) 3
A. ?
4 2 9

B.

4 2 9

C. ?

7 9

D.

7 9

5

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若 ? 是三角形的内角,且 sin ? ? A. 30? B. 30? 或 150?

1 ,则 ? 等于( ) 2

C. 60? )

D. 120? 或 60?

6

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下列函数中,最小值为-1 的是( A. y ? 2 sin x ? 1 C. y ? 1 ? 2 sin x

B. y ? cos? 1 D. y ? 2 ? cos x ) D.
1 6

7

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设 tan(? ? ? ) ? A.
13 18

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值是( 5 4 4 4 13 3 B. C. 22 22

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cos300? 的值是(

) B. ?
1 2

A.

1 2

C.
12

3 2

D. ?

3 2

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将函数 y ? sin 4 x 的图象向左平移 ) B. ?

? 个单位,得到 y ? sin(4 x ? ? ) 的图象, 12

则 ? 等于( A. ? 10
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? 12

?
3

C.

? 3
) D. ? 3

? D. 12

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tan70? ? tan50? ? 3 tan70? tan50? 的值等于(
A. 3 B.
3 3

C. ?

3 3

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化简 sin(x ? y) sin x ? cos(x ? y) cos x 等于( A. cos(2 x ? y) B. cos y )

) D. sin y

C. sin(2 x ? y)

12

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若 sin ? cos? ? 0, 则? 在( A.第一、 二象限 C.第一、 四象限

B.第一、三象限 D.第二、 四象限

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函数 y ? 2 sin 2x cos2x是 ( )

? 的奇函数 2 ? C.周期为 的奇函数 4
A.周期为 14
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B.周期为

? 的偶函数 2 ? D.周期为 的偶函数 4

1 设 M和m 分别表示函数 y ? cos x ? 1 的最大值和最小值,则 M ? m等于 ( 3 ) 2 2 4 A. B. ? C. ? D. ? 2 3 3 3 15 下列四个命题中,正确的是( ) A.第一象限的角必是锐角 B.锐角必是第一象限的角 C.终边相同的角必相等 D. 第二象限的角必大于第一象 限的角
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用五点法作 y ? 2 sin 2 x 的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是 ( ) A. 0,

?
2

,? ,

3? ,2? 2

B. 0,

? ? 3?

, , ,? 4 2 4
13

C. 0, ? ,2? ,3? ,4? 17
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D. 0, )

? ? ? 2?
, , , 6 3 2 3

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化简 cos2? ? 2 sin 2 ? 得( A.0 B.1

C. sin 2 ? ) C.
2 2

D. cos2 ?

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sin 70? sin 65? ? sin 20? sin 25? = (

A.

1 2

B.

3 2

D. ?

2 2

二、 填空题(每题 3 分,共 15 分) 1 19 已知 sin(? ? ? ) ? ? , 则 cos ?的值为 2
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20 21 22 23

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已知 cos? ? 0,? ? [0,2? ],则角?为 函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? 1, 若f (5) ? 7, 则f (?5) ? 的形状为 ?A B C 中,若sin A sin B ? cos A cos B, 则?A B C 已知角 ? 的终边过点 P(4,?3),则2 sin ? ? cos? 的值为

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三、 解答题(第 24、 25 两题每题 7 分,第 26 题 8 分,第 27 题 9 分,共 31 分) ? 24 已知 sin ? ? cos 2? , ? ? ( , ? ), 求 tan ? 2
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已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 在同一周期内有最
7? ,?3) ,求此函数的解析式 12 12 1 ? sin 4? ? cos 4? 化简 1 ? sin 4? ? cos 4?

高点 ( 26 27
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?

,1) 和最低点 (

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求函数 y ? cos2 x ? sin x cos x 的值域

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高中数学必修内容训练试题(4)---三角函数 答案 一、 题 1 号 答 D 案 2 C 3 B 4 D 5 B 6 C 7 C 8 A 9 C 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D B B A D B B B C

二、 19

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?

3 2

20

?
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2



3? 2

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-5

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钝角三角形

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?

2 5

三、24

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1 ? sin ? ? cos 2? ,? sin ? ? 1 ? 2 sin 2 ?解得sin ? ? 或 sin ? ? ?1(舍) 2 ? 3 sin ? 3 由? ? ( , ? ),? c o ? s ?? ,t a ? n ? ?? 2 2 c o? s 3

25

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? ?? ? 2 ? ? ? ? ?? ? 12 ? ? ? 2 ?? ? ? 7? 3? ? 3 由题意知: ?? ? ?? ? ? ? 2 ? 12 ?A ? A ? b ? 1 2 ? ? ?? A ? b ? ?3 ?b ? ?1
?
3 ) ?1

所求函数的解析式为 y ? 2 sin( 2 x ? 26

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1 ? 2 sin 2? cos2? ? 2 cos2 2? ? 1 sin 2? cos2? ? cos2 2? 原式= ? ? cot 2? 1 ? 2 sin 2? cos2? ? (1 ? 2 sin 2 2? ) sin 2? cos2? ? sin 2 2?
1? c o 2 sx 1 1 1 ? sin 2x ? ( s i 2 nx ? c o 2 s x) ? 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ? 1 ? ( sin 2x ? co2 s x) ? ? s i n2( x? )? 2 2 2 2 2 4 2 y ? c o 2s x ? s i n xc o x s?
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1 2 1 2 所以原函数的值域为 [ ? , ? ] 2 2 2 2

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