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2010年上海市黄浦区中考数学二模卷及答案

时间:2010-12-08

黄浦区 2010 年初三学业考试模拟考 数学试卷
(完卷时间:100 分钟,满分:150 分)
考生注意:所有答案都写在答题卷上 一、选择题【每题列出的四个选项中,有且只有一个是正确的】 (本大题共 6 题,每题 4 分, 满分 24 分) 1.4 与 6 的最小公倍数是( ) (A)2. (B)4. 2.化简 a 3 2010 年 4 月 22 日

(C)6.

(D)12.

( ) 的结果是(
2

) (B) a .
6

(A) a .

5

(C) a

8

.

(D) a .

9

3. 二元一次方程 x + 2 y = 3 的解的个数是( (A)1. (B)2 . 4.下列图形中,中心对称图形是( (A)

) (C)3. (D)无数. (B)

)

(C)

(D)

5.函数 y = 3 x ? 4 的图像不经过( (A)第一象限.

) (C)第三象限. (D)第四象限.

(B)第二象限.

6.以等边 ?ABC 的三个顶点为圆心的⊙A、⊙B 与⊙C,若其中⊙A 与⊙B 相外切,⊙A 与⊙ C 也外切, 而⊙B 与⊙C 相外离, 则⊙A 的半径 R A 与⊙B 的半径 R B 之间的大小关系是( (A) R A > R B . (B) R A = R B . (C) R A < R B . (D)以上都有可能. )

二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分)

x2 1 7.计算: ? = x +1 x +1

.

8.不等式组 ?

?x + 1 ≥ 0 的解集是 ?x ? 2 < 0

.

9.分解因式: x 2 + 2 xy + y 2 ? 1 = 10.方程 x + 5 = 3 的解是
2

. . .

11.任意掷出一枚质地均匀的骰子后,骰子朝上面的点数为素数的概率是 12.抛物线 y = x ? 4 x ? 3 的顶点坐标为
2
2

. . . 度.

13.如果关于 x 的方程 3 x ? kx + k = 0 有两个相等的实数根,那么 k 的值为 14.如果反比例函数 y =

k 的图像经过点 (2,1) 与 (? 1, n ) ,那么 n 的值为 x
°

15.如图 1,直线 l1、l2 被直线 l3 所截,如果 l1‖l2,∠1= 48 ,那么∠2=

16.如图 2, 在梯形 ABCD 中, ‖CD, AB = 2CD , 与 BD 交于点 P, AB = a, BC = b , AB AC 令 那么 AP = l3 2 l1 1 l2 P A O C H A (图 2) B P B A1 (图 4) A .(用向量 a 、 b 表示) B D C M B1 N

(图 1)

(图 3)

17.如图 3,⊙O 的半径为 5,点 P 是弧 AB 的中点,OP 交 AB 于点 H,如果 PH = 1 ,那么 弦 AB 的长是 . 18.如图 4, ?ABC 中, 在 ∠ACB= 90 ,AC=4,BC=3,将 ?ABC 绕点 C 顺时针旋转至 ?A1 B1C 的位置,其中 B1C⊥AB,B1C、A1B1 交 AB 于 M、N 两点,则线段 MN 的长为 .
°

三、解答题(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.(本题 10 分)计算: 8 + sin 2 60 ° +
1 2

(

2 +1 .

)

?1

20. (本题 10 分) 小明在寒假中对他所住的小区学生作了有关上海世博会各国展馆的认识度 调查,他随机对他所住小区的 40 名初中学生调查了对中国馆、捷克馆与法国馆认识情况如 下图,接着他又到居委会了解他所住的小区学生数情况如下表. (1)从统计图中可知他所住的小区初中学生中对____________馆的认识度最高; (2)请你估计他所住的小区初中学生中有_____________人认识捷克馆;

(3)小明用下面的算式

35 × (240 + 200 + 160 ) ,计算得到结果为 525,并由此估计出 40

他所住的小区共有 525 名学生认识法国馆. 你认为这样的估计正确吗?答:___________; 为什么?答:_______________________________________________________.
人数 40 35 28 认识 不认识

初中学生展馆认识情况统计图

展馆 中国馆 捷克馆 法国馆

学生人数情况表 学 人 段 数 小 学 初 中 高 中 240 200 160

21.(本题 10 分)如图 5,在梯形 ABCD 中,AD‖BC, ∠B= 90 ,AC=AD. (1)若∠BAC∶∠BCA=3∶2,求∠D 的度数; (2)若 AD=5,tan∠D=2,求梯形 ABCD 的面积.
°

B

C

D (图 5) 22.(本题 10 分)动车组的出现使上海到杭州的旅程时间较一般的火车缩短了许多,而计划 中上海到杭州磁浮列车的平均速度又将比动车组提高 120 千米/小时,这样从上海南站到杭 州站 225 千米的旅程时间又将缩短 30 分钟,问计划中上海到杭州磁浮列车的平均速度将达 到多少千米/小时? A D 23.(本题 12 分)如图 6,在梯形 ABCD 中,AD‖BC, O 对角线 AC 与 BD 交于点 O,M、N 分别为 OB、OC 的 中点,又∠ACB=∠DBC. N M (1)求证:AB=CD; B A

C

1 (2)若 AD= BC.求证:四边形 ADNM 为矩形. (图 6) 2 1 1 24.(本题 12 分) 已知点 P 是函数 y = x (x>0) 图像上一点, PA⊥x 轴于点 A, 交函数 y = 2 x 1 (x>0)图像于点 M, PB⊥y 轴于点 B,交函数 y = (x>0)图像于点 N.(点 M、N 不重 x
合) (1)当点 P 的横坐标为 2 时,求△PMN 的面积; (如图 7) (2)证明:MN‖AB;

(3)试问:△OMN 能否为直角三角形?若能,请求出此时点 P 的坐标;若不能,请 说明理由. y y

B

N

P M

O

A

x

O

x

(图 7) (备用图) 25、 (本题 14 分)如图,一把“T 型”尺(图 8) ,其中 MN⊥OP,将这把“T 型”尺放置于 矩形 ABCD 中(其中 AB=4,AD=5) ,使边 OP 始终经过点 A,且保持 OA=AB, 型”尺在 “T 绕点 A 转动的过程中,直线 MN 交边 BC、CD 于 E、F 两点.(图 9) (1)试问线段 BE 与 OE 的长度关系如何?并说明理由; (2)当△CEF 是等腰直角三角形时,求线段 BE 的长; (3)设 BE=x,CF=y,试求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数定义域. M O M N E C B O F N A P P (图 8) (图 9) D

2010 年黄浦区初三数学学业考试模拟考参考答案与评分标准 一、选择题 2、 B ; 1、 D ; 二、填空题 7、 x ? 1 ; 11、 8、 ?1 ≤ x <2; 12、 (2,?7 ) ; 16、 9、 ( x + y + 1)(x + y ? 1) ; 10、 ± 2 ; 13、0,12; 17、6; 14、 ? 2 ; 18、0.8. 3、 D ; 4、 C ; 5、 B ; 6、 A .

1 ; 2

15、 132 ;

2 2 a + b; 3 3

三、解答题

? 3? 1 ? 19、解:原式 = 8 + ? ? 2 ? + 2 + 1 ,———————————————(2+2+1=5 分) ? ? 3 = 2 2 + + 2 ? 1 ,————————————————————(3 分) 4 1 = 3 2 ? .—————————————————————————(2 分) 4
20、解: (1)中国;———————————————————————————(3 分) (2)140.————————————————————————————(3 分) (3) 不正确; ——————————————————————————— (1 分) 对初中学生随机抽样的结果并不能表示小学生与高中生的结果,缺乏代表性. ————————————————————————————————————(3 分) 21、解: (1)在 ?ABC 中, ∠B = 90 , 则 ∠BAC + ∠BCA = 90 ,——————————————————(1 分) 又∠BAC∶∠BCA=3∶2, ∴∠BCA=
° °

2

2 × 90 ° = 36 ° .———————————————————(1 分) 5
°

∵AD‖BC,∴ ∠CAD = ∠BCA = 36 .————————————(1 分) 又∵AC=AD,∴ ∠D = ∠ACD =

(2)作 CH ⊥ AD ,垂足为 H ,——————————————————(1 分) 在 Rt?CDH 中,tan∠D=2,令 DH = k , CH = 2k ,———————(1 分) 则在 Rt?ACH 中, AC = AH + CH ,————————————(1 分)
2 2 2

1 180 ° ? ∠DAC = 72 ° .————(2 分) 2

(

)

即 5 2 = (5 ? x ) + (2 x ) ,
2 2

解得: x = 2 .————————————————————————(1 分)

则 CH = 2 x = 4, BC = AH = 5 ? x = 3 , ∴ S 梯形ABCD =

1 × (3 + 5) × 4 = 16 .———————————————(1 分) 2

22、解:设磁浮列车的平均速度为 x 千米/小时,—————————————(1 分) 则

225 225 1 ? = , ———————————————————— (5 分) x ? 120 x 2
2

整理得: x ? 120 x ? 54000 = 0 ,———————————————(1 分) 解得 x1 = 300, x 2 = ?180 .——————————————————(1 分) 经检验,两根均为原方程的根,但 x 2 = ?180 ,不合题意,舍去.——(1 分) 答:计划中上海到杭州磁浮列车的平均速度将达到 300 千米/小时.————(1 分)

23、证明: (1)∵∠ACB=∠DBC, ∴ OB = OC ,———————————————————————(2 分) ∵AD‖BC, ∴

OA OC = , OA = OD —————————————————— 分) 即 (2 OD OB ∴ AC = BD ,————————————————————————(1 分)

∴梯形 ABCD 为等腰梯形, AB=CD.—————————————— 分) 即 (1 (2)∵AD=

1 BC,AD‖BC, 2 OA AD 1 ∴ = = ,又 N 为 OC 的中点,—————————————(2 分) OC BC 2 ∵ ON = OA ,————————————————————————(1 分) 同理 OM = OD ,又 OA = OD .————————————————(2 分) 1 x (x>0)图像上一个点,当点 P 的横坐标为 2, 2

∴四边形 ADNM 为矩形.———————————————————(1 分) 24、解: (1)∵点 P 是函数 y =

∴点 P 为(2,1) ,——————————————————————(1 分) 由题意可得:M 为(2, ∴ S ?PMN

1 ) 为(1,1) ,N ,———————————(2 分) 2 1 1 1 = × 1 × = .——————————————————— 分) (1 2 2 4

(2)令点 P 为 (2a, a ) , (a>0)———————————————————(1 分) 则 A(2a,0 ), B (0, a ), M ? 2a,

? ?

1 ? ?1 ? ?, N ? , a ? , 2a ? ? a ?

PA a 1 PM ∴ = = , = PB 2a 2 PN


a?

1 2a = 1 ,—————————————(1 分) 1 2 2a ? a

PA PM = ————————————————————————(1 分) PB PN

∴MN‖AB.—————————————————————————(1 分) (3)由(2)得,

ON 2 = a 2 +

1 1 , OM 2 = 4a 2 + 2 , 2 a 4a
2 2

1? ? 1 5 ? ? MN 2 = ? 2a ? ? + ? ? a ? = 5a 2 ? 5 + 2 , a ? ? 2a 4a ? ?
易知 ∠MON ≠ 90 . ∴当 ∠ONM = 90 时, 有 4a +
2
° °

1 1 5 = a 2 + 2 + 5a 2 ? 5 + 2 , 2 4a a 4a

解得 a1 =

2 , a2 =

2 (舍去),即点 P 为 2 2 , 2 .——————(2 分) 2
°

(

)

同理当 ∠OMN = 90 时,点 P 为 ?

? 2 2? ? ? 2 , 4 ? .——————————(2 分) ? ?

综上所述, 当点 P 为 2 2 , 2 与 ?

(

)

? 2 2? ? 能使△OMN 为直角三角形. ? 2 , 4 ? 时, ? ?

25、解: (1)线段 BE 与 OE 的长度相等. —————————————————(1 分) 联结 AE,在△ABE 与△AOE 中, ∵OA=AB,AE=AE, ∠ABE = ∠AOE = 90 ,——————————(2 分) ∴△ABE≌△AOE. —————————————————————(1 分) ∴BE=OE. (2)延长 AO 交 BC 于点 T,———————————————————(1 分) 由△CEF 是等腰直角三角形, 易知△OET 与△ABT 均为等腰直角三角形.———————————— 分) (1 于是在△ABT 中,AB=4,则 AT= 4 2 ,—————————————(2 分) ∴BE=OE =OT= 4 2 ? 4 .————————————————————(1 分) (3)在 BC 上取点 H,使 BH= BA=4,过点 H 作 AB 的平行线, 交 EF、AD 于点 K、L, (如图)————————————————(1 分) 易知四边形 ABHL 为正方形
°

由(1)可知 KL=KO 令 HK=a,则在△HEK 中,EH=4–a, EK= x + 4 ? a , ∴ (4 ? x ) + a = ( x + 4 ? a ) ,
2 2 2

化简得: a = 又 HL‖AB, ∴

8x .—————————————————————(1 分) 4+ x

y EC 5 ? x 40 x ? 8 x 2 = = ,即 y = .————————————(1 分) a EH 4 ? x 16 ? x 2

∴函数关系式为 y =

40 x ? 8 x 2 ,定义域为 0< x ≤ 2 .—————(1+1=2 分) 16 ? x 2

B

E O

H

C

K

F

A L

D


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