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高中数学指数函数与对数函数

时间:2017-12-01


指数函数、对数函数问题
典例:设 f(x)=log2 1 ? x ,F(x)=

1? x


1 +f(x). 2? x


(1)试判断函数 f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明; (2)若 f(x)的反函数为 f 1(x),证明:对任意的自然数 n(n≥3),都有 f 1(n)> (3)若 F(x)的反函数 F 1(x),证明:方程 F 1(x)=0 有惟一解.
- -

n ; n ?1

案例探究 [例 1]已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、 B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一条直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标.

[例 2]在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数 n 点 Pn 位于函数 y=2000(

a x ) (0<a<1)的图象上,且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的 10

等腰三角形. (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形,求 a 的取值范围; (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数, 问数列{Cn}前多少项的和 最大?试说明理由.

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指数函数、对数函数问题
一、选择题 1.定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)之 和,如果 f(x)=lg(10x+1),其中 x∈(-∞,+∞),那么( ) -x x A.g(x)=x,h(x)=lg(10 +10 +2)

1 1 [lg(10x+1)+x],h(x)= [lg(10x+1)-x] 2 2 x x C.g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)- 2 2 x x D.g(x)=- ,h(x)=lg(10x+1)+ 2 2
B.g(x)= 2.当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是( )

二、填空题

?2 x ( x ? 0) - 3.已知函数 f(x)= ? .则 f- 1(x- ?log2 ( ? x ) ( ?2 ? x ? 0)
1)=_________. 4.如图,开始时,桶 1 中有 a L 水,t 分钟后剩余的水 符合指数衰减曲线 y= - - ae nt,那么桶 2 中水就是 y2=a-ae nt,假设过 5 分钟时,桶 1 和桶 2 的水相等, 则再过_________分钟桶 1 中的水只有

a . 8
三、解答题 5.设函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0 且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时,点 Q(x- 2a,-y)是函数 y=g(x)图象上的点. (1)写出函数 y=g(x)的解析式; (2)若当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围.

6.已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),(x∈(0,+∞)),若 x1,x2∈(0,+∞),判断 [f(x1)+f(x2)]与 f(

1 2

x1 ? x2 )的大小,并加以证明. 2

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7.已知函数 x,y 满足 x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0 且 a≠1),求 loga(xy) 的取值范围.

8.设不等式 2(log 1 x)2+9(log 1 x)+9≤0 的解集为 M, 求当 x∈M 时函数 f(x)=(log2 x )(log2 x )
2 2

2

8

的最大、最小值.

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