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2017全国卷1文科数学试卷及答案(最新完整版)

时间:2017-08-06


2017 年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学
考生注意: 1.答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后,监考员将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A= ?x|x ? 2? ,B= ?x|3 ? 2 x ? 0? ,则
? A.A ? B= ? x|x ? ? 3? ? 2?

B.A ? B ? ? D.A ? B=R

3? ? C.A ? B ? ? x|x ? ? 2? ?

2.为评估一种农作物的种植效果,选了 n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量(单位:kg)分 别为 x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A.x1,x2,…,xn 的平均数 C.x1,x2,…,xn 的最大值 3.下列各式的运算结果为纯虚数的是 A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) B.x1,x2,…,xn 的标准差 D.x1,x2,…,xn 的中位数

4.如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是

A.

1 4

B.

π 8

C.

1 2

D.

π 4



5.已知 F 是双曲线 C:x2-

y2 =1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐 3

标是(1,3).则△APF 的面积为 A.
1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 2

6.如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点, 则在这四个正方体中,直接 AB 与平面 MNQ 不平行的是

? x ? 3 y ? 3, ? 7.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z=x+y 的最大值为 ? y ? 0, ?

A.0 8..函数 y ?

B.1

C.2

D.3

sin2 x 的部分图像大致为 1 ? cos x

9.已知函数 f (x) ? lnx ? ln(2 ? x) ,则 A. f (x) 在(0,2)单调递增 C.y= f (x) 的图像关于直线 x=1 对称


B. f (x) 在(0,2)单调递减 D.y= f (x) 的图像关于点(1,0)对称

10.如图是为了求出满足 3n ? 2n ? 1000 的最小偶数 n,学|科网那么在 白框中,可以分别填入



两个空

A.A>1000 和 n=n+1 C.A≤1000 和 n=n+1

B.A>1000 和 n=n+2 D.A≤1000 和 n=n+2

11.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c。已知 sin B ? sin A(sin C ? cos C) ? 0 , a=2,c= 2 ,则 C= A.

π 12

B.

π 6

C.

π 4

D.

π 3

12.设 A、B 是椭圆 C: 则 m 的取值范围是 A. (0,1] ? [9, ??) C. (0,1] ? [4, ??)

x2 y 2 , ? ? 1 长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120° 3 m

B. (0, 3] ? [9, ??) D. (0, 3] ?[4, ??)

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知向量 a=(–1,2),b=(m,1).若向量 a+b 与 a 垂直,则 m=______________.
2 14.曲线 y ? x ?

1 在点(1,2)处的切线方程为_________________________. x

π π 15.已知 a ? (0, ) ,tan α=2,则 cos (? ? ) =__________。 4 2

16.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SC 是球 O 的直径。若平面 SCA⊥ 平面 SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥 S-ABC 的体积为 9,则球 O 的表面积为________。



三、 解答题:共 70 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:60 分。 17.(12 分) 记 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 S2=2,S3=-6. (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2 是否成等差数列。



18.(12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 ?BAP ? ?CDP ? 90?

(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, ?APD ? 90? ,且四棱锥 P-ABCD 的体积为 侧面积.

8 ,求该四棱锥的 3



19.(12 分) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽 取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的 尺寸: 抽取次序 零件尺寸 抽取次序 零件尺寸 1 9.95 9 10.26 2 10.12 10 9.91 3 9.96 11 10.13 4 9.96 12 10.02 5 10.01 13 9.22 6 9.92 14 10.04 7 9.98 15 10.05 8 10.04 16 9.95

1 16 1 16 1 16 2 2 xi ? 9.97 , s ? 经计算得 x ? ( x ? x ) ? (? xi ? 16 x 2 ) ? 0.212 , ? ? i 16 i ?1 16 i ?1 16 i ?1

?
i ?1

16

(i ? 8.5) ? 18.439 ,
2

? ( x ? x )(i ? 8.5) ? ?2.78 ,其中 x 为抽取的第 i 个零件的尺寸,
i ?1 i

16

i

i ? 1, 2, ???,16 . ,2, ??? ,16) ) (i ?1 (1)求 ( xi, i
的相关系数 r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺

寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若 | r |? 0.25 ,则可以认为零件的尺寸不随生 产过程的进行而系统地变大或变小). (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 ( x ? 3s, x ? 3s) 之外的零件,就认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?

3s) 之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天 (ⅱ)在 ( x ?3s, x ?
生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到 0.01)

附 : 样 本 ( xi , yi ) (i ? 1, 2, ???, n) 的 相 关 系 数 r ?

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n


2

0.008 ? 0.09 .



20.(12 分) 设 A,B 为曲线 C:y=

x2 上两点,A 与 B 的横坐标之和为 4. 4

(1)求直线 AB 的斜率; (2)设 M 为曲线 C 上一点,C 在 M 处的切线与直线 AB 平行,且 AM ? BM,求直线 AB 的方程.



21.(12 分)
x x 2 已知函数 f ( x ) =e (e ﹣a)﹣a x.

(1)讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围.



(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分)
? x ? 3cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数),直线 l 的参数方 ? y ? sin ? , ? x ? a ? 4t , (t为参数) . 程为 ? ? y ? 1 ? t,

(1)若 a=?1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a.

23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
2 已知函数 f(x)=–x +ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.

(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求 a 的取值范围.



2017 年高考全国卷 1 文数答案
1.A 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.D 8.C 9.C 10.D 11.B 12.A 13.7 14. y ? x ? 1

15.

3 10 10

16. 36π 17. (12 分) 【解析】 (1) 设 {an } 的公比为 q .由题设可得 ?

?a1 (1 ? q) ? 2
2 ?a1 (1 ? q ? q ) ? ?6

, 解得 q ? ?2 ,

a1 ? ?2 .
故 {an } 的通项公式为 an ? (?2)n .
n ?1 a1 (1 ? q n ) 2 n 2 ? ? ? (?1) (2)由(1)可得 Sn ? . 1? q 3 3
n ?3 n ?1 4 ? 2n ? 2 2 n 2 n 2 ? 2[? ? (?1) ] ? 2Sn , 由于 Sn ? 2 ? Sn ?1 ? ? ? (?1) 3 3 3 3

故 Sn ?1 , Sn , Sn?2 成等差数列.

10

18. (12 分) 【解析】 (1)由已知∠BAP ? ∠CDP ? 90? ,得 AB ? AP , CD ? PD . 由于 AB∥CD ,故 AB ? PD ,从而 AB ? 平面 PAD . 又 AB ? 平面 PAB ,所以平面 PAB ? 平面 PAD .

(2)在平面 PAD 内作 PE ? AD ,垂足为 E . 由(1)知, AB ? 平面 PAD ,故 AB ? PE ,可得 PE ? 平面 ABCD . 设 AB ? x ,则由已知可得 AD ?

2 x , PE ?

2 x. 2

故四棱锥 P ? ABCD 的体积 VP ? ABCD ? 由题设得

1 1 AB ? AD ? PE ? x3 . 3 3

1 3 8 x ? ,故 x ? 2 . 3 3

从而 PA ? PD ? 2 , AD ? BC ? 2 2 , PB ? PC ? 2 2 . 可得四棱锥 P ? ABCD 的侧面积为

1 1 1 1 PA ? PD ? PA ? AB ? PD ? DC ? BC 2 sin 60? ? 6 ? 2 3 . 2 2 2 2

19. (12 分) 【解析】 (1)由样本数据得 ( xi , i)(i ? 1, 2,?,16) 的相关系数为

r?

? ( x ? x )(i ? 8.5)
i ?1 i

16

? ( x ? x ) ? (i ? 8.5)
2 i ?1 i i ?1

16

16

?
2

?2.78 ? ?0.18 . 0.212 ? 16 ?18.439

由于 | r |? 0.25 ,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或 变小. (2) ( i )由于 x ? 9.97,s ? 0.212 ,由样本数据可以看出抽取的第 13 个零件的尺寸在

( x ? 3s, x ? 3s) 以外,因此需对当天的生产过程进行检查.

11

(ii)剔除离群值,即第 13 个数据,剩下数据的平均数为 条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 10.02.

1 (16 ? 9.97 ? 9.22) ? 10.02 ,这 15

?x
i ?1

16

2 i

? 16 ? 0.2122 ? 16 ? 9.972 ? 1591.134 ,
1 (1591.134 ? 9.222 ? 15 ? 10.022 ) ? 0.008 , 15

剔除第 13 个数据,剩下数据的样本方差为

这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 0.008 ? 0.09 . 20.(12 分)解: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1 ? x2 , y1 ? 于是直线 AB 的斜率 k ? (2)由 y ?
y1 ? y2 x1 ? x2 ? ? 1. x1 ? x2 4 x12 x2 , y2 ? 2 ,x1+x2=4, 4 4

x2 x ,得 y' ? . 2 4 x 设 M(x3,y3) ,由题设知 3 ? 1 ,解得 x3 ? 2 ,于是 M(2,1). 2
设直线 AB 的方程为 y ? x ? m ,故线段 AB 的中点为 N(2,2+m) ,|MN|=|m+1|. 将 y ? x ? m 代入 y ?

x2 得 x2 ? 4 x ? 4m ? 0 . 4

当 ? ? 16(m ? 1) ? 0 ,即 m ? ?1 时, x1,2 ? 2 ? 2 m ? 1 . 从而 |AB|= 2 | x1 ? x2 |? 4 2(m ? 1) . 由题设知 | AB |? 2 | MN | ,即 4 2(m ? 1) ? 2(m ? 1) ,解得 m ? 7 . 所以直线 AB 的方程为 y ? x ? 7 . 21. (12 分) (1)函数 f ( x ) 的定义域为 (??, ??) ,

f ?( x) ? 2e2 x ? aex ? a2 ? (2ex ? a)(ex ? a) ,
2x ①若 a ? 0 ,则 f ( x) ? e ,在 (??, ??) 单调递增.

②若 a ? 0 ,则由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a . 当 x ? (??,ln a) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln a, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (??,ln a) 单调递减,在 (ln a, ??) 单调递增.

12

③若 a ? 0 ,则由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln(? ) . 当 x ? (??, ln( ? )) 时 , f ?( x ) ? 0 ; 当 x ? (ln( ? ), ??) 时 , f ?( x) ? 0 , 故 f ( x ) 在

a 2

a 2

a 2

a a (??, ln(? )) 单调递减,在 (ln(? ), ??) 单调递增. 2 2
(2)①若 a ? 0 ,则 f ( x) ? e2 x ,所以 f ( x) ? 0 . ②若 a ? 0 ,则由(1)得,当 x ? ln a 时, f ( x ) 取得最小值,最小值为 f (ln a) ? ?a 2 ln a . 从而当且仅当 ?a 2 ln a ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( x) ? 0 .

( ③ 若 a ? 0 , 则 由 ( 1 ) 得 , 当 x ? l n?

a ) 时 , f ( x) 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为 2
3

a 3 a 3 a f (ln(? )) ? a 2 [ ? ln(? )] .从而当且仅当 a 2 [ ? ln(? )] ? 0 , 即 a ? ?2 e 4 时 f ( x ) ? 0 . 2 4 2 4 2
综上, a 的取值范围为 [?2 e ,1] . 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 解: (1)曲线 C 的普通方程为
3 4

x2 ? y 2 ? 1. 9

当 a ? ?1 时,直线 l 的普通方程为 x ? 4 y ? 3 ? 0 .

21 ? x?? ?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? x ? 3 ? ? ? 25 由 ? x2 解得 ? 或? . 2 24 y ? 0 ? y ? 1 ? ?y ? ? ?9 ? 25 ?
从而 C 与 l 的交点坐标为 (3, 0) , ( ?

21 24 , ). 25 25

(2)直线 l 的普通方程为 x ? 4 y ? a ? 4 ? 0 ,故 C 上的点 (3cos ? ,sin ? ) 到 l 的距离为

d?

| 3cos ? ? 4sin ? ? a ? 4 | . 17

当 a ? ?4 时, d 的最大值为

a?9 a?9 ? 17 ,所以 a ? 8 ; .由题设得 17 17
?a ? 1 ?a ? 1 ? 17 ,所以 a ? ?16 . .由题设得 17 17

当 a ? ?4 时, d 的最大值为 综上, a ? 8 或 a ? ?16 .、

13

23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 解: (1)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 等价于 x2 ? x? | x ? 1| ? | x ?1| ?4 ? 0 .① 当 x ? ?1 时,①式化为 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,无解; 当 ?1 ? x ? 1 时,①式化为 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,从而 ?1 ? x ? 1 ; 当 x ? 1 时,①式化为 x 2 ? x ? 4 ? 0 ,从而 1 ? x ?

?1 ? 17 . 2

所以 f ( x) ? g ( x) 的解集为 {x | ?1 ? x ? (2)当 x ?[?1,1] 时, g ( x) ? 2 .

?1 ? 17 }. 2

所以 f ( x) ? g ( x) 的解集包含 [?1,1] ,等价于当 x ?[?1,1] 时 f ( x) ? 2 . 又 f ( x ) 在 [?1,1] 的 最 小 值 必 为 f (?1) 与 f (1) 之 一 , 所 以 f (?1) ? 2 且 f (1) ? 2 , 得

?1 ? a ? 1 .
所以 a 的取值范围为 [?1,1] .

14


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