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简单几何公式及三角函数公式、特殊角值表

时间:2018-06-30


锐角三角函数公式 sin α =∠α 的对边 / 斜边 cos α =∠α 的邻边 / 斜边 tan α =∠α 的对边 / ∠α 的邻边 cot α =∠α 的邻边 / ∠α 的对边

倍角公式 Sin2A=2SinA*CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2) (注:SinA^2 是 sinA 的平方 sin2(A) )

三倍角公式 sin3α =4sinα ·sin(π /3+α )sin(π /3-α ) cos3α =4cosα ·cos(π /3+α )cos(π /3-α ) tan3a = tan a · tan(π /3+a)· tan(π /3-a)

三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina

半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 三角和 sin(α +β +γ )=sinα ·cosβ ·cosγ +cosα ·sinβ ·cosγ +cosα ·cosβ ·sinγ -sinα ·sinβ ·sinγ cos(α +β +γ )=cosα ·cosβ ·cosγ -cosα ·sinβ ·sinγ -sinα ·cosβ ·sinγ -sinα ·sinβ ·cosγ tan(α +β +γ )=(tanα +tanβ +tanγ -tanα ·tanβ ·tanγ )/(1-tanα ·tanβ -tanβ ·tanγ -tanγ ·tanα ) 两角和差 cos(α +β )=cosα ·cosβ -sinα ·sinβ cos(α -β )=cosα ·cosβ +sinα ·sinβ sin(α ±β )=sinα ·cosβ ±cosα ·sinβ 和差化积 sinθ +sinφ = 2 sin[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) sinθ -sinφ = 2 cos[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] cosθ +cosφ = 2 cos[(θ +φ )/2] cos[(θ -φ )/2] cosθ -cosφ = -2 sin[(θ +φ )/2] sin[(θ -φ )/2] 积化和差 sinα sinβ = [cos(α -β )-cos(α +β )] /2 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )]/2 诱导公式 sin(-α ) = -sinα cos(-α ) = cosα tan (—a)=-tanα sin(π /2-α ) = cosα cos(π /2-α ) = sinα sin(π /2+α ) = cosα cos(π /2+α ) = -sinα sin(π -α ) = sinα cos(π -α ) = -cosα sin(π +α ) = -sinα cos(π +α ) = -cosα tanA= sinA/cosA sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α -β )]/2 cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )]/2 tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα ·tanβ ) tan(α -β )=(tanα -tanβ )/(1+tanα ·tanβ ) cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

tan(π /2+α )=-cotα tan(π /2-α )=cotα 诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限 万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+tan^(α /2)] cosα =[1-tan^(α /2)]/1+tan^(α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan^(α /2)]

tan(π -α )=-tanα tan(π +α )=tanα

其它公式 (1)(sinα )^2+(cosα )^2=1 (2)1+(tanα )^2=(secα )^2 (3)1+(cotα )^2=(cscα )^2

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα )^2,第二个除(cosα )^2 即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

1、图示法:借助于下面三个图形来记忆,即使有所遗忘也可根据图形重新推出: sin30° =cos60° =

1 2
1

sin45° =cos45° =

2 2
1

tan30° =cot60° =

3 3
2

tan 45° =cot45° =1

2 30?

2
45? 1

3
60? 1

3

说明:正弦值随角度变化,即 值从 0 角度 函数 角 a 的弧度 sin cos tan

0?

30?

45?

60?

90?变化;

1 2
0 0 0 1 0

2 2
30 π /6 1/2 √3/2 √3/3

3 2
45 π /4 √2/2 √2/2 1

1 变化,其余类似记忆.

60 π /3 √3/2 1/2 √3

90 π /2 1 0

120 2π /3 √3/2 -1/2 -√3

135 3π /4 √2/2 -√2/2 -1

150 5π /6 1/2 -√3/2 -√3/3

180 π 0 -1 0

270 3π /2 -1 0

360 2π 0 1 0


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