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高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中的应用举例备课素材新人教A版必修4

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2.5.2 向量在物理中的应用举例
备课资料 一、向量与重心问题 假如有两个质点 M1,M2,它们的质量分别是 m1,m2,由物理学知识,这两个质点的重心 M 在线段 M1M2 上,并且分此线段为与质量成反比例的两部分,即

M 1 M m2 ,或 m1 M 1 M =m2 MM 2 . ? MM 2 m1
现设点 M1、M2、M,对应的向量分别是 r1、r2、r,则上式可以写成 m1(r-r1)=m2(r2-r). 所以 r ?

m1 r1 ? m2 r2 ,点 M 处的质量为 m1+m2. m1 ? m2

现求三个质点的重心问题. 三个质点 M1、M2、M3 的质量分别是 m1、m2、m3,所对应的向量分别是 r1、r2、r3, 我们可设 M1,M2 的重心在点 D 处,该处对应的向量为 rD= 然后求点 D 与点 M3 的重心 M 所对应的向量 r,易得 r=

m1 r1 ? m2 r2 ,该点的质量为 m1+m2, m1 ? m2

m1 r1 ? m2 r2 ? m3 r3 . m1 ? m2 ? m3

二、备用习题 1. 作 用 于 同 一 点 的 两 个 力 F1 和 F2 , |F1|=5,|F2|=3, 夹 角 为 60° , 则 F1+F2 的 大 小 为 _____________. 2.一条渔船距对岸为 4 km,现正以 2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船 的实际航程为 8 km,求河水的流速. 3.在半径为 15 cm 的均匀铁板上,挖出一个圆洞,已知圆洞的圆心和铁板中心相距 8 cm,圆洞 的半径是 5 cm,求挖去圆洞后所剩下铁板的重心. 4.如图 9 所示,重力为 G 的均匀小球放在倾角为 α 的斜面上,球被与斜面夹角为 θ 的木板挡 住,球面、木板均光滑,若使球对木板的压力最小,求木板与斜面间夹角 θ 的大小.

图9 参考答案: 1.7 2.如图 10 所示,设 AB 表示船垂直于对岸的速度,则 AB + BC = AC ,

1

图 10 知 AC 就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为 4÷2=2(h), 所以在 Rt△ABC 中,| AB |=2 km/h,| AC |=8÷2=4 km/h,则|BC|=2 3 km/h. 答:河水的流速为 2 3 km/h. 3.如图 11 所示,建立平面直角坐标系,两圆的圆心分别为 O1(0,0),O2(8,0),圆 O2 是挖去的圆, 不 妨 设 铁 板 的 密 度 为 ρ =1, 则 小 圆 的 质 量 m1=25π , 挖 去 圆 洞 后 , 铁 板 的 质 量 为 m2=(225-25)π =200π ,设所求的重心为 O3.

图 11 根据物理学知识,知 O3 在直线 O1O2 上,即可设 O3(x3,0),且满足 O3 O1 ? ? O1 O2 ,

1 x3 ? ? 8 m 25 1 8 其中 λ = 1 ? ,解得 x3=-1, ? .由定比分点坐标公式知 0= 1 m2 200 8 1? 8
即 O3(-1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心. 4.对小球的受力分析如图 9 所示,重力为 G,斜面弹力为 N2(垂直于斜面向上),木板弹力 N1(垂 直于木板),其中 N1 与 N2 的合力的大小恒为|G′|,方向向上,N2 的方向始终不变,随着木板的 转 动 ,N1 的 方 向 始 终 垂 直 于 木 板 ,N1 的 大 小 在 变 化 , 且 满 足

| N1 | | G ' | ? ,又 sin a sin ?

|G′|=|G|,∴|N1|=

| G | sin a . sin ?

∴当 sinθ 取最大值 1 时,|N1|min=|G|sinα ,此时 θ =

? . 2

2


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