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高中数学

时间:2014-01-09


数列通项公式的求法集锦
非等比、等差数列的通项公式的求法,题型繁杂,方法琐碎,笔者结合近几年的高考情 况,对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如 an ? an?1 ? f (n) (n=2、3、4…...) 且 f (1) ? f (2) ? ... ? f (n ?1) 可求,则用累 加法求 an 。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例1. 在数列{ an }中, a1 =1, an ? an?1 ? n ?1 (n=2、3、4……) ,求{ an }的通项公式。

解:∵ n ? 1 时,a1 ? 1

n ? 2时,a2 ? a1 ? 1

? ? a3 ? a2 ? 2 ? n( n ? 1) ? = a4 ? a3 ? 3 ? 这 n-1 个等式累加得: an ? a1 ? 1 ? 2 ? ... ? (n-1) 2 ? ....... ? an ? an ?1 ? n ? 1 ? ?
n(n ? 1) n2 ? n ? 2 n2 ? n ? 2 ? ? a1 ? 且 a1 ? 1 也满足该式 ∴ an ? ( n ? N ). 2 2 2
?

故 an ?

例 2.在数列{ an }中, a1 =1, an?1 ? an ? 2n ( n ? N ),求 an 。

n ? 2时,a2 ? a1 ? 2 a3 ? a2 ? 2
解:n=1 时, a1 =1
2

a4 ? a3 ? 23 ....... an ? an ?1 ? 2n ?1

? ? ? ? ? 以上 n-1 个等式累加得 ? ? ? ?

an ? a1 ? 2 ? 22 ? ... ? 2n?1 =
n

2(1 ? 2n?1 ) n = 2 ? 2 ,故 an ? 2n ? 2 ? a1 ? 2n ? 1 且 a1 ? 1 也满 1? 2
?

足该式 ∴ an ? 2 ? 1 ( n ? N )。 二、累乘法 形如

an ? f (n) (n=2、3、4……),且 f (1) ? f (2) ? ... ? f (n ?1) 可求,则用累乘法 an?1

求 an 。有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。 例 3.在数列{ an }中, a1 =1, an?1 ? nan ,求 an 。

解:由已知得

an ?1 ? n ,分别取 n=1、2、3……(n-1),代入该式得 n-1 个等式累乘, an



a a a2 a3 a4 . . ...... n =1 × 2 × 3 × … × (n-1)=(n-1)! 所 以 时 , n ? (n ? 1)! 故 a1 a2 a3 an?1 a1

an ? (n ?1)!
且 a1 ? 0!=1 也适用该式 ∴ an ? (n ? 1)! 例 4.已知数列{ an }满足 a1 = 解:由已知得 ( n ? N ).
?

2 n an ,求 an 。 , an ?1 ? 3 n ?1

an?1 n ,分别令 n=1,2,3,….(n-1),代入 ? an n ?1
1 2 3 n ?1 a a2 a3 a4 . . ...... n = ? ? ...... ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4

上式得 n-1 个等式累乘,即

所以

2 2 an 1 。 ? ,又因为 a1 ? 也满足该式,所以 an ? 3 3n a1 n

三、构造等比数列法 原数列{ an }既不等差,也不等比。若把{ an }中每一项添上一个数或一个式子构成新数 列,使之等比,从而求出 an 。该法适用于递推式形如 an ?1 = ban ? c 或 an ?1 = ban ? f ? n? 或

an ?1 = ban ? cn 其中 b、c 为不相等的常数, f ? n ? 为一次式。
例 5、 (06 福建理 22)已知数列{ an }满足 a1 =1,an ?1 = 2an ? 1 ( n ? N ),求数列{ an } 的通项公式。 解:构造新数列 ?an ? p? ,其中 p 为常数,使之成为公比是 an 的系数 2 的等比数列 即 an?1 ? p = 2(an ? p) 整理得: an ?1 = 2an ? p 使之满足 an ?1 = 2an ? 1 即 ?an ?1 是首项为 a1 ? 1 =2,q=2 的等比数列∴ an ? 1 = 2 ? 2 ?
n?1

?

∴p=1

an = 2 n ? 1

例 6、 (07 全国 ?? 理 21)设数列{ an }的首项 a1 ? (0,1) , an = ( ? )求{ an }的通项公式。 解:构造新数列 ?an ? p? ,使之成为 q ? ?

3 ? an ?1 ,n=2、3、4…… 2

1 的等比数列 2

3 ? an ?1 1 1 3 (an ?1 ? p) 整理得: an = ? an ?1 ? p 满足 an = 2 2 2 2 3 3 1 得 ? p= ∴p=-1 即新数列 ?an ?1? 首项为 a1 ? 1, q ? ? 的 2 2 2 1 n?1 1 n?1 等比数列 ∴ an ? 1 = (a1 ? 1( ? ) 故 an = (a1 ? 1( ? ) +1 ) ) 2 2
即 an ? p = ? 例 7、 (07 全国 ? 理 22)已知数列{ an }中, a1 =2, an ?1 = ( 2 ?1) (an ? 2) ( ? )求{ an }的通项公式。 解:构造新数列 ?an ? p? ,使之成为 q ? 2 ?1的等比数列

n? N?

an?1 ? p = ( 2 ?1) (an ? p)
使之满足已知条件

整理得: an ?1 = ( 2 ?1) an + ( 2 ? 2) p

an ?1 = ( 2 ?1) an +2 ( 2 ?1) ∴ ( 2 ? 2) p ? 2( 2 ?1) 解 得

p?? 2

∴ {an ? 2} 是首项为 2 ? 2

q ? 2 ?1的等比数列,由此得

an ? 2 = (2 ? 2) ( 2 ?1)n?1

∴ an = 2( 2 ?1)n ? 2

例 8、已知数列{ an }中, a1 =1, an ?1 = 2an ? 3n ,求数列的通项公式。 分析:该数列不同于以上几个数列,该数列中含 3 是变量,而不是常量了。故应构造 新数列 {an ? ?3n } ,其中 ? 为常数,使之为公比是 an 的系数 2 的等比数列。 解:构造数列 {an ? ?3n } , ? 为不为 0 的常数,使之成为 q=2 的等比数列 即 an?1 ? ?3n?1 = 2(an ? ?3n )
n
n

整理得: an ?1 = 2an ? (2?3n ? ?3n?1 )
n ?1

满 足 an ?1 = 2an ? 3n 得 2? 3 ? ? 3

? 3n ∴ ? ? ?1 新 数 列 {an ? 3n }是 首 项 为
∴ an = 3 ? 2
n n

a1 ? 31 = ?2 ,q=2 的等比数列 ∴ an ? 3n = ?2 ? 2n?1

例 9、 (07 天津文 20)在数列{ an }中, a1 =2, an ?1 = 4an ? 3n ? 1 ,求数列的通项 an 。 解:构造新数列 {an ? ?n} ,使之成为 q=4 的等比数列,则 an?1 ? ? (n ? 1) = 4(an ? ? n) 整 理 得 : an ?1 = 4an ? 3? n ? ? 满 足 an ?1 = 4an ? 3n ? 1 , 即 3? n ? ? ? ? 3n ? 1得

? ? ?1 ∴新数列 {an ? n} 的首项为 a1 ? 1 ? 1 ,q=4 的等比数列
∴ an ? n ? 4
n?1

∴ an ? 4

n ?1

?n

四、构造等差数列法 数列{ an }既不等差,也不等比,递推关系式形如 an?1 ? ban ? bn?1 ? f (n) ,那么把两边 同除以 b
n ?1

后,想法构造一个等差数列,从而间接求出 an 。

) 例 10. 石家庄一模) (07 数列{ an }满足 an ? 2an?1 ? 2n ?1 (n ? 2) 且 a4 ? 81 。 1 求(

a1 、a2 、

a3

(2) 是否存在一个实数 ? ,使此数列 {

an ? ? } 为等差数列?若存在求出 ? 的值及 an ; 2n

若不存在,说明理由。 解: (1) 由 a4 = 2a3 ? 24 ?1 =81 得 a3 =33;又∵ a3 = 2a2 ? 23 ?1 =33 得 a2 =13; 又∵ a2 = 2a1 ? 22 ? 1=13,∴ a1 =5

(2) 假设存在一个实数 ? ,使此数列 {


an ? ? } 为等差数列 2n

an ? ? an ?1 ? ? an ? 2an ?1 ? ? 2n ? 1 ? ? 1? ? ? = = = 1 ? n 该数为常数 n n ?1 n n 2 2 2 2 2
即{

∴ ? = ?1 ∴

an ? 1 =2+ (n ? 1) ?1 =n+1 2n

an ? 1 a ?1 } 为首项 1 1 ? 2 ,d=1 的等差数列 n 2 2
∴ an = (n ? 1) ? 2 ? 1
n
?

例 11、数列{ an }满足 an ?1 = ?2an ? (?2)n?1 ( n ? N ),首项为 a1 ? ?2 ,求数列{ an }的通 项公式。 解: an ?1 = ?2an ? (?2)n?1 两边同除以 (?2)n?1 得

an ?1 an = +1 n ?1 ( ?2) (?2) n

∴数列 {

an an ?2 } 是首项为 =1,d=1 的等差数列∴ =1+ (n ? 1) ?1 ? n n 1 (?2) (?2) (?2) n
n

故 an = n(?2)

例 12.数列{ an }中, a1 =5,且 an ? 3an?1 ? 3n ?1 (n=2、3、4……) ,试求数列{ an } 的通项公式。 解: 构造一个新数列 {

an ? ? a ?? a ?? } ,? 为常数, 使之成为等差数列, n n ? n ?1n ?1 ? d 即 n 3 3 3
n n

n n 整 理 得 an ? ? ? 3an?1 ? 3 d +3? , 让 该式 满足 an ? 3an?1 ? 3 ?1 ∴ 取 d ? 3 ? 3 ,

1 2? ? ?1 得 ? ? ? , d=1 2

1 a1 ? an ? ? 2 ? 3, , { n } 是首项为 即 公差 d=1 的等差数列。 1 3 3 2

1 2 ? 3 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 故 n 3 2 2 an ?

∴ an = ( n ? ) ? 3 ?
n

1 2

1 2
n

例 13、 (07 天津理 21)在数列{ an }中,a1 =2,且 an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2 其中 ? >0, (? ) 求数列{ an }的通项公式。 解: ?
n ?1

(n? N )

?

的底数与 an 的系数相同,则两边除以 ?

n ?1



? n ?1

an ?1

?

?n

an

?1?

2n ?1

?

? n ?1

2n

?n



an ?1 ? 2n ?1

?

n ?1

?

an ? 2n

?

n

?1∴{

an ? 2n

?

n

} 是首项为

a1 ? 2

?

? 0 ,公差 d=1 的等差数

列。 五、取倒数法



an ? 2n

?n

? 0 ? (n ? 1) ? n ? 1

∴ an ? (n ?1)? n ? 2n 。

有些关于通项的递推关系式变形后含有 an an?1 项,直接求相邻两项的关系很困难,但 两边同除以 an an?1 后,相邻两项的倒数的关系容易求得,从而间接求出 an 。 例 14、已知数列{ an }, a1 = ?1 , an ?1 ?

an 1 ? an

n ? N ? ,求 an =?

解:把原式变形得 an?1 ? an?1 ? an ? an

两边同除以 an an?1 得

1 1 ? ?1 an an ?1

∴{

1 1 1 } 是首项为 ?1 ,d= ?1 的等差数列故 ? ?1 ? (n ? 1)(?1) ? ?n ∴ an ? ? 。 n an an 3 3nan?1 ? ,且 an ? (n ? 2 n? N ) 2 2an?1 ? n ? 1

例 15、 (06 江西理 22)已知数列{ an }满足 a1 ?

(?) 求数列{ an }的通项公式。
解:把原式变形成 2an an?1 ? (n ?1)an ? 3nan?1 即 两边同除以 an an?1 得

n 1 n ?1 2 ? ? an 3 an ?1 3

…… ⑴构造新数列 {

1 n ? ?} , 使其成为公比 q= 的等比数列 3 an
∴ ? ? ?1



2 2 n 1 n ?1 n n ?1 2 ?? ? ( ? ? ) 整理得: ? ? ? 满足⑴式使 ? ? ? 3 3 an 3 an ?1 an 3an?1 3

∴数列 {

1 n 1 1 ? 1} 是首项为 ? 1 ? ? ,q= 的等比数列 3 an a1 3
∴ an ?



n 1 1 1 ? 1 ? ? ( )n?1 ? ?( )n an 3 3 3

n ? 3n 。 3n ? 1

例 16. (06 江西文 22)已知各项均为正数的数列{ an }满足: a1 ? 3 ,且

2an?1 ? an ? an an?1 2an ? an?1

n ? N ? 求数列{ an }的通项公式。
解:把原式变形为 2an?1 ? an ? an an?1 (2an ? an?1 ) 两边同除以 an an?1 得

2 1 ? ? 2an ? an ?1 an an ?1

移项得:

1 1 ? an ?1 ? 2( ? an ) an ?1 an

所以新数列 {

1 1 1 8 ? an } 是首项为 ? a1 ? ? 3 ? ? an a1 3 3
解关于 an 的方程得 an ?

q=2 的等比数列。



1 1 ? an ? ? ? 2n? 2 an 3

1 n ?1 (2 ? 22 n ? 2 ? 9) 。 3

六.利用公式 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 求通项 有 些 数 列 给 出 { an } 的 前 n 项 和 Sn 与 an 的 关 系 式 Sn = f (an ) , 利 用 该 式 写 出

Sn?1 ? f (an?1 ) ,两式做差,再利用 an?1 ? Sn?1 ? Sn 导出 an ?1 与 an 的递推式,从而求出 an 。
例 17.(07 重庆 21 题)已知各项均为正数的数列{ an }的前 n 项和为 Sn 满足 S1 >1 且 6 Sn =

(an ? 1)(an ? 2) n∈ N ? 求{ an }的通项公式。
解:由 a1 ? S1 =

1 ( a1 ? 1)( a1 ? 2) 解得 a1 =1 或 a1 =2,由已知 a1 ? S1 >1,因此 a1 =2 又由 6 1 1 an?1 ? Sn?1 ? Sn = (an ?1 ? 1)(an ?1 ? 2) ? (an ? 1)(an ? 2) 得 6 6
∵ an >0 ∴ an?1 ? an ? 3

(an?1 ? an )(an?1 ? an ? 3) =0

从而{ an }是首项为 2,公差为 3 的等差数列,故{ an }的通项为 an =2+3(n-1)=3n-1. 例 18.(07 陕西理 22)已知各项全不为 0 的数列{ ak }的前 k 项和为 Sk ,且 Sk =

1 ak ak ?1 (k∈ 2

N ? )其中 a1 =1,求数列{ ak }的通项公式。

1 a1a2 及 a1 =1 得 a2 =2; 当 k≥2 时, 2 1 1 由 ak = Sk ? Sk ?1 = ak ak ?1 ? ak ?1ak 得 ak (ak ?1 ? ak ?1 ) =2 ak ∵ ak ≠0∴ ak ?1 ? ak ?1 =2 2 2
解:当 k=1 时, a1 ? S1 = 从而 a2 m?1 =1+(m-1)2=2m-1

a2m =2+(m-1)2=2m (m∈ N ? ) 故 ak =k (k∈ N ? ).
?

例 19.(07 福建文 21)数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an?1 ? 2Sn ( n∈ N ),求{ an }的 通项公式。 解:由 a1 =1, a2 ? 2S1 =2,当 n≥2 时 an = Sn ? Sn?1 = 首项为 a2 =2,q=3 的等比数列。故 an = 2 ? 3 所以 an = ?
n? 2

1 a ( an ?1 ? an ) 得 n ?1 =3,因此{ an }是 2 an

(n≥2),而 a1 =1 不满足该式

?1

(n=1)

n?2 ?2 ? 3 (n ? 2)



例 20.(06 全国Ⅰ理 22)该数列{ an }的前 n 项和 S n ? { an }的通项公式。 解:由 S n ?

4 1 2 an ? ? 2n ?1 ? (n=1、 3……) 求 2、 3 3 3

4 1 2 4 1 2 an ? ? 2n ?1 ? (n=1、2、3……)…①得 a1 ? S1 = a1 ? ? 4 ? 3 3 3 3 3 3 4 1 n 2 所以 a1 =2 再 Sn ?1 = an ?1 ? ? 2 ? (n=2、3…)…② 3 3 3 4 1 n ?1 n 将①和②相减得: an = Sn ? Sn?1 = (an ? an ?1 ) ? ? (2 ? 2 ) 3 3
整理得 an ? 2n ? 4(an?1 ? 2n?1 ) (n=2、 3…) 因而数列{ an ? 2n }是首项为 a1 ? 2 ? 4 ,q=4 的等比数列。即 an ? 2n = 4 ? 4
n?1

= 4 ,因而 an ? 4n ? 2n 。
n

七.重新构造新方程组求通项法 有时数列{ an }和{ bn }的通项以方程组的形式给出,要想求出 an 与 bn 必须得重新构造 关于 an 和 bn 的方程组,然后解新方程组求得 an 和 bn 。

3 1 ? ?an ? 4 an ?1 ? 4 bn ?1 ? 1 ? 例 21. (07 辽宁第 21 题) 已知数列{ an }, bn }满足 a1 =2,b1 =1 且 ? : { ?b ? 1 a ? 3 b ? 1 ? n 4 n ?1 4 n ?1 ?
( n ? 2 ),求数列{ an },{ bn }的通项公式。 解析:两式相加得 an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? 2 则{ an ? bn }是首项为 a1 ? b1 ? 3 ,d=2 的等差数

列,故 an ? bn =3+2(n-1)=2n+1…………(1)

1 1 1 1 an ?1 ? bn ?1 = (an ?1 ? bn ?1 ) 则{ an ? bn }是首项为 a1 ? b1 =1,q= 2 2 2 2 1 n?1 的等比数列,故 an ? bn = ( ) …………(2) 2
而两式相减得 an ? bn =

?an ? bn ? 2n ? 1 ? 联立(1)、(2)得 ? 1 n?1 ?an ? bn ? ( 2 ) ?

由此得 an ? n ?

1 1 n 1 1 ? ( ) , bn ? n ? ? ( ) n 。 2 2 2 2

?分析?该题条件新颖,给出的数据比较特殊,两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或等 比数列,从而 再通过解方程组很顺利求出{ an }、{ bn }的通项公式。若改变一下数据,又 该怎样解决呢?下面给出一种通法。 例 22.在数列{ an }、 bn }中 a1 =2,b1 =1, ? { 且 的通项公式。 解析:显然再把 an ?1 与 bn ?1 做和或做差已无规律可循。不妨构造新数列{ an ? ?bn }其中为

?an?1 ? 2an ? 6bn ? (n∈ N ) 求数列{ an }和{ bn } ?bn?1 ? an ? 7bn

??0











an?1 ? ?bn?1 = 2an ? 6bn ? ? (an ? 7bn ) = (2 ? ? )an + (7? ? 6)bn = (2 ? ? )(an ?

??

7? ? 6 得 ?1 =2 或 ?2 =3 则{ an ? ?bn }为首项 a1 ? ?b1 ,q= ? +2 的等比数列。 ??2
n?1 n

7? ? 6 b)令 ??2 n

即 ?1 =2 时,{ an ? 2bn }是首项为 4,q=4 的等比数列,故 an ? 2bn =4× 4

=4 ;

?2 =3 时,{ an ? 3bn }是首项为 5,q=5 的等比数列,故 an ? 3bn =5× 5n?1 = 5n
联立二式 ?

? an ? 2bn ? 4 n ? 解得 an ? 3 ? 4n ? 2 ? 5n , bn ? 5n ? 4n 。 n ? an ? 3bn ? 5 ?

注:该法也可适用于例 21,下面给出例 21 的该种解法 解:构造新数列{ an ? ?bn },则

3 1 1 3 3? ? ? 1 ? 3? ? an ? ?bn = ( ? ? )an ?1 + ( ? ? )bn ?1 + (1 ? ? ) = ?an?1 ? 3 ? ? bn?1 ? ? (1 ? ? ) 4 4 4 4 4 ? ?
令? ?

1 ? 3? 得 ?1 =1 或 ?2 = ?1 即 ?1 =1 时,新数列{ an ? bn }中, an ? bn = an?1 ? bn?1 ? 2 3? ?
∴( an ? bn ) ?(an?1 ? bn?1 ) ? 2 新数列{ an ? bn }是首项为 a1 ? b1 ? 3 ,d=2 的等差

数列 ∴ an ? bn = 3 ? 2(n ? 1) = 2n ? 1 ………(1)

当 ?2 = ?1 时,新数列{ an ? bn }是首项为 a1 ? b1 =1,q= ∴ an ? bn = ?

1 的等比数列 2

?1? ? ?2?

n?1

………(2)

? an ? bn ? 2n ? 1 n n 1 ?1? 1 ?1? ? n ?1 联立(1)、(2) ? 得 an ? n ? ? ? ? , bn ? n ? ? ? ? 。 ?1? 2 ?2? 2 ?2? ? an ? bn ? ? ? ?2? ?
例 23.在数列{ an }、{ bn }中,a1 ? b1 ? 1 , ? 且 的通项公式。 解:构造新数列{ an ? ?bn },则

?an ?1 ? 5an ?15bn ? (n∈ N ) 求{ an }、{ bn } , b ?bn ?1 ? an ? 7 n

15 ? 7? 15 ? 7? ? ? 得 ?1 bn ? ,令 ? ? an?1 ? ?bn?1 = (5 ? ? )an + (15 ? 7? )bn = (5 ? ? ) ? an ? 5?? 5?? ? ?
= ?3 或 ?2 =5 { an ? ?bn }为首项 a1 ? ?b1 ,q= ? +5 的等比数列 =2 的 等 比 数 列 , 故

即 ?1 =-3 时 , { an ? 3bn } 是 首 项 为 a1 ? 3b1 = ?2 , q=5+ ?

an ? 3bn = ?2 ? 2n?1 = ?2 n ;
当 ?2 =5 时,{ an ? 5bn }是首项为 a1 ? 5b1 =6,q= ? +5=10 的等比数列,故 an ? 5bn =6×

10n?1
联立二式 ?

? an ? 3bn ? ?2n 9 3 ? n ?1 n ?3 n ?1 n ?3 得 an ? ? 10 ? 5 ? 2 , bn ? ? 10 ? 2 。 n ?1 4 4 ? an ? 5bn ? 6 ? 10 ?


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