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上海市17区县2013届高三数学一模分类汇编 专题五 解析几何 文

时间:2013-03-23

专题五 解析几何
汇编 2013 年 3 月 (杨浦区 2013 届高三一模 文科)17.若 F1 、 F2 为双曲线 C : 点 P 在双曲线 C 上, ∠ F1 PF2 = 60 ? ,则 P 到 x 轴的距离为

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点, 4
???( )

( A)
17. (B ) ;

5 . 5

(B )

15 . 5

(C )

2 15 . 5

(D)

15 . 20

x2 y2 ? ? 1( 7 ? ? ? 9 )的焦 (普陀区 2013 届高三一模 文科)16. 【文科】双曲线 9?? 7??
点坐标为??????????( (A) (?4,0) . (C) (0,?4) . )

(B) (? 2 ,0) . (D) (0,? 2 ) .

16. B (黄浦区 2013 届高三一模 文科)5.若双曲线 则 b 的值为_________. 5.4

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的一条渐近线过点 P(1, 2), 4 b2

x2 y2 ? ? 1 右支的顶点和焦点,圆 (静安区 2013 届高三一模 文科)7. (文)设圆过双曲线 9 16
心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是 . 7. (文)

16 3

(青浦区 2013 届高三一模)15.设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 a2 b2
D ) .

2 3 ,则双曲线的渐近线方程为??????????????????(
A . y ? ?2 x

B. y ? ? 2 x

C.

1 y?? x 2

D. y??

2 x 2

-1-

(黄浦区 2013 届高三一模 文科)13.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m) (m>0)到其 焦点 F 的距离为 5,该抛物线的顶 点在直线 MF 上的射影为点 P,则点 P 的坐标为 .13. (

64 48 , ); 25 25

(闵行区 2013 届高三一模 文科) 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点与圆 x2 ? y 2 ? mx ? 4 ? 0 的 4. 圆心重合,则 m 的值是 . 4. ?2 ; (静安区 2013 届高三一模 文科) (文) 4. 设圆过双曲线 圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是 4. (文)3

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点, 9 16
.

(闸北区 2013 届高三一模 文科)7.已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q(2, 1) 的 距 离 与 点 P 到 抛 物 线 焦 点 距 离 之 和 取 得 最 小 值 时 , 点 P 的 坐 标 ? 为 .7. ? , 1? ; ?

?1 ?4

? ?

(崇明县 2013 届高三一模) 等轴双曲线 C : 2 ? y 2 ? a 2 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交于 A, B 17、 x 两点, AB ? 4 3 ,则 双曲线 C 的实轴长 等于?????????????????????????? ( ) A. 2 17、 C (虹口区 2013 届高三一模)14、设点 P 在曲线 y ? x ? 2 上,点 Q 在曲线 y ?
2

B. 2 2

C.4

D.8

x ? 2 上,

则 PQ 的最小值等于



14、

7 2 ; 4
x2 y2 ? ? 1 的右焦点,顶点在椭 5 4

(松江区 2013 届高三一模 文科)7.抛物线的焦点为椭圆 圆中心,则抛物线方程为 ▲ .7.

y2 ? 4x

(奉贤区 2013 届高三一模)13、 (文)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛 物线 y ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为____________.文 4
2

(闸北区 2013 届高三一模 文科)4.设双曲线

点 F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点 B ,则 ?AFB 的面积

x2 y 2 ? ? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F .过 9 16

-2-



.4.

10 ; 3
2

1 ( 0, ) (青浦区 2013 届高三一模)3.抛物线 y ? 2x 的焦点坐标是____ 8
(奉贤区 2013 届高三一模)14、 (文)椭圆



与椭圆相交于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积是____________. 文 3a
2

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? 0? 的左焦点为 F ,直线 x ? m 4a 2 3a

(普陀区 2013 届高三一模 文科)12.【文科】若 F1 、 F2 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右两个焦 4
. 12.1

点, M 是椭圆上的动点,则

1 1 的最小值为 ? MF1 MF2
2 2 2

(金山区 2013 届高三一模)11.双曲线 C:x – y = a 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与 抛 物 线 y =16x 的 准 线 交 于 A 、 B 两 点 , | AB |? 4 3 , 则 双 曲 线 C 的 方 程 为
2

__________.11.

x2 y2 ? ?1 4 4
. 3. 2;

(杨浦区 2013 届高三一模 文科) 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到准线的距离为 3.

( 虹 口 区 2013 届 高 三 一 模 ) 4 、 双 曲 线

x2 ? y2 ? 1 的 两 条 渐 近 线 的 夹 角 大 小 等 3





4、

? ; 3

(虹口区 2013 届高三一模)21、 (本题满分 14 分)已知圆 O : x ? y ? 4 .
2 2

-3-

(1)直线 l1 : 3x ? y ? 2 3 ? 0 与圆 O 相交于 A 、 B 两点,求 AB ; (2)如图,设 M ( x1,

y1 ) 、 P( x2 ,

y2 ) 是圆 O 上的两个

y

动点,点 M 关于原点的对称点为 M 1 ,点 M 关于 x 轴的对 称 点 为 M 2 , 如 果 直 线 PM1 、 PM 2 与 y 轴 分 别 交 于

M P x O

(0, m) 和 (0, n) ,问 m? n 是否为定值?若是求出该定
值;若不是,请说明理由.

21、 (14 分)解: (1)圆心 O(0,

0) 到直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 的距离 d ? 3 .

2 2 圆的半径 r ? 2 ,? AB ? 2 r ? d ? 2 .??????4 分

(2) M ( x1 ,

y1 ) , P( x2 ,

2 2 y2 ) ,则 M1 (? x1, ? y1 ) , M 2 ( x1 , ? y1 ) , x1 ? y1 ? 4 ,

2 2 x2 ? y2 ? 4 .??????8 分

PM1 : ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 m ?

x1 y2 ? x2 y1 . x2 ? x1

PM 2 : ( y2 ? y1 )(x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 n ?

? x1 y2 ? x2 y1 .????12 分 x2 ? x1

? m?n ?

2 2 2 2 x2 y12 ? x12 y2 x2 (4 ? x12 ) ? x12 (4 ? x2 ) ? ? 4 ??????14 分 2 2 x2 ? x12 x2 ? x12

(金山区 2013 届高三一模)22. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,线段 OF1、OF2 的中点分别为 B1、B2,且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形. B1 作直线 l 交椭圆于 P、 两点. 过 Q (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 若 PB2 ? QB2 ,求直线 l 的方程; (3) 设直线 l 与圆 O:x +y =8 相交于 M、N 两点,令|MN|的长度为 t,若 t∈ [4, 2 7] ,求△
2 2

B2PQ 的面积 S 的取值范围.
-4-

22.解: (1)设所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点为 F2 (c,0) . a2 b2

因△AB1B2 是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2=90?,得 c=2b????1 分 在 Rt△AB1B2 中, S?AB1B2 ? b2 ? 4 ,从而 a ? b ? c ? 20.??????3 分
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 ????????????????4 分 因此所求椭圆的标准方程为: 20 4
(2)由(1)知 B1 (?2,0), B(2,0) ,由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为:

x ? my ? 2 ,代入椭圆方程得 ? m 2 ? 5 ? y 2 ? 4my ? 16 ? 0 ,??????????6 分
设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 y1、y2 是上面方程的两根,因此 y1 ? y2 ?

y1 ? y 2 ? ?

???? ? ???? ? 16 ,又 B2 P ? ? x1 ? 2, y1 ? , B2Q ? ? x2 ? 2, y2 ? ,所以 m2 ? 5

4m , m2 ? 5

16m 2 ? 64 ????????????8 分 B2 P ? B2Q ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y2 ? ? m2 ? 5
由 PB2 ? QB1 ,得 B2 P ? B2Q =0,即 16m ? 64 ? 0 ,解得 m ? ?2 ;
2

???? ???? ? ?

所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:x+2y+2=0 和 x–2y+2=0????????10 分 (3) 当斜率不存在时,直线 l : x ? ?2 ,此时 | MN |? 4 , S ?

16 5 ??????11 分 5

当斜率存在时,设直线 l : y ? k ( x ? 2) ,则圆心 O 到直线的距离 d ?

| 2k | k 2 ?1



因此 t= | MN |? 2 8 ?

1 4k 2 ? 2 7 ,得 k 2 ? ???????????????13 分 2 3 k ?1

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 联立方程组: ? x 2 得 (1 ? 5k ) y ? 4ky ? 16k ? 0 ,由韦达定理知, y2 ? 1, ? ? ? 20 4
y1 ? y 2 ?
4k 4 ? k 2 4k 16k 2 , y1 y 2 ? ? ,所以 | y1 ? y 2 |? 4 5 , (1 ? 5k 2 ) 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

因此 S ?

1 4k 4 ? k 2 . ? 4? | y1 ? y2 |? 8 5 2 (1 ? 5k 2 ) 2
-5-

设 u ? 1 ? 5k ,u ?
2

8 8 5 1 3 25 16 5 ,所以 S ? ,所以 S ? [ 35, ) ?15 分 ?( ? )2 ? 3 5 5 u 2 4

综上所述:△B2PQ 的面积 S ? [ 35,

16 5 ] ?????????????????16 分 5

(宝山区 2013 届期末)22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. 设抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点. (1)若 p ? 2 ,求线段 AF 中点 M 的轨迹方程; (2) 若直线 AB 的方向向量为 n ? (1, 2) ,当焦点为 F ?

?

?1 ? , 0 ? 时,求 ?OAB 的面积; ?2 ?

(3) 若 M 是抛物线 C 准线上的点,求证:直线 MA、MF、MB 的斜率成等差数列. 解:(1) 设 A( x0 , y0 ) , M ( x, y ) ,焦点 F (1, 0) ,

x0 ? 1 ? ?x ? 2 ? x0 ? 2 x ? 1 ? 则由题意 ? ,即 ? ??????????????2 分 y0 y0 ? 2 y ? ?y ? ? ? 2
所求的轨迹方程为 4 y ? 4(2 x ?1) ,即 y ? 2 x ? 1??????????4 分
2 2 2 (2) y ? 2 x , F ( , 0) ,直线 y ? 2( x ? ) ? 2 x ? 1 ,????????5 分

1

2

1 2

? y2 ? 2x 2 由? 得, y ? y ?1 ? 0 , ? y ? 2x ?1
AB ? 1 ?
d? 1 , 5

1 5 y1 ? y 2 ? ?????????????????7 分 2 2 k
?????????????????8 分

-6-

S ?OAB ?

1 5 d AB ? 2 4

?????????????????9 分

(3)显然直线 MA、MB、MF 的斜率都存在,分别设为 k1、k2、k3 . 点 A、B、M 的坐标为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y 2 )、M(设直线 AB: y ? k ? x ?

p ,m). 2

? ?

2p p? 2 2 ? ,代入抛物线得 y ? k y ? p ? 0 ,????????11 分 2?

所以 y1 y2 ? ? p 2 ,?????????????????12 分 又 y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ,

p y12 p 1 p y22 p p4 p p 2 2 因而 x1 ? ? ? ? ? y1 ? p ? , x2 ? 2 ? 2 p ? 2 ? 2 py 2 ? 2 ? 2 y 2 ? y12 ? p2 ? 2 2p 2 2p 1 1
? p2 ? 2y ?? ? m? 2 y ? m y2 ? m 2 p ? y1 ? m ? ? y1 ? ? ? 2m ?????14 分 ? ? ? 因而 k1 ? k2 ? 1 2 2 2 2 p p p p ? y1 ? p ? p ? y1 ? p ? x1 ? x2 ? 2 2
2 1

而 k3 ?

0?m 2m ?? ,故 k1 ? k2 ? 2k3 .?????????????????16 分 p ? p? p ??? ? 2 ? 2?
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 a 2 b2

(崇明县 2013 届高三一模)23、 (本题 18 分,第(1)小题 6 分;第(2)小题 12 分) 如图,椭圆 E :

A, B 两点, ?ABF2 的周长为 8,且 ?AF1 F2 面积最大时, ?AF1 F2 为正三角形.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q . 试探究:① 以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系? ② 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ? 若存在,求出 M 的坐标;若不存在,说明理由. y A

(01 ,a 23、解: (1)当三角形面积最大时,为正三角形,所以 A F,b) =2c,4a=8 F2
O B
-7-

x

?a =4,b =3 ,椭圆 E 的方程为
2 2

x2 y 2 + =1 4 3

? y ? kx ? m ? (2)①由 ? x 2 y 2 ,得方程 (4k 2 ? 3) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4
由直线与椭圆相切得 m ? 0, ? ? 0, ? 4k 2 ? m2 ? 3 ? 0. 求得 P ( ?

4k 3 m 3 2 , ) , Q(4, 4k ? m) , PQ 中点到 x 轴距离 d 2 ? (2k ? ? ) m m 2 2m 1 2k ( PQ )2 ? d 2 ? ( ? 1)2 ? 0(4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 ? m ? 2k ) 。 2 m

所以圆与 x 轴相交。 (2)②假设平面内存在定点 M 满足条件,由对称性知点 M 在 x 轴上,设点 M 坐标为

???? ? 4k 3 ???? M ( x1 ,0) , MP ? (? ? x1 , ), MQ ? (4 ? x1 , 4k ? m) 。 m m ???? ???? ? k 2 由 MP ? MQ ? 0 得 (4 x1 ? 4) ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? 0 m
2 所以 4x1 ? 4 ? x1 ? 4x1 ? 3 ? 0 ,即 x1 ? 1

所以定点为 M (1,0) 。 (青浦区 2013 届高三一模)22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 7 分, 第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 2 分. 设直线 L1:y ? k1 x ? p, p ? 0 交椭圆 ?: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 (a ? b ? 0) 于 C、D 两点,交直线 b2

L2:y ? k 2 x 于点 E .
(1)若 E 为 CD 的中点,求证: k1 ? k 2 ? ?

b2 ; a2

(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真; (3)请你类比椭圆中(1)(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明) 、 . 解: (1)解法一:设 C ( x1 , y1 ) D( x2 , y 2 ) E ( x0 , y0 )

? y ? k1 x ? p ? 2 ? (b 2 ? a 2 k12 ) x 2 ? 2k1 pa2 x ? a 2 p 2 ? a 2 b 2 ? 0 ?????????2 分 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
? x1 ? x2 ? ? 2k1 pa2 ? 2k pa2 2 pb2 , y1 ? y 2 ? k1 ? 2 1 2 2 ? 2 p ? 2 ??????4 分 b 2 ? a 2 k12 b ? a k1 b ? a 2 k12
-8-

x1 ? x 2 ? ? x0 ? 2 y ? y2 b2 2 pb2 ? ? k2 ? 1 ? k1 ? k 2 ? ? 2 ?????????7 分 又? ? x1 ? x 2 a ? 2k1 pa2 ? y ? y1 ? y 2 0 ? 2 ?
解法二(点差法) :设 C ( x1 , y1 ) D( x2 , y 2 ) E ( x0 , y0 )

x1 y x y ? 12 ? 1 (1) , 22 ? 22 ? 1 (2) 2 a b a b
两式相减得

2

2

2

2

( x1 ? x2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 a2 b2



2 x0 ( x1 ? x2 ) 2 y 0 ( y1 ? y 2 ) ? ? 0 ????????????????????3 分 a2 b2

y1 ? y 2 ? b 2 ? x0 b2 ? k1 ? ? 2 ?? 2 x1 ? x2 a ? y0 a ? k2
b2 ? k1 ? k 2 ? ? 2 ???????????????????????????7 分 a
(2)逆命题:设直线 L1:y ? k1 x ? p 交椭圆 ?: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 (a ? b ? 0) 于 C、D 两点, b2

交直线 L2:y ? k 2 x 于点 E .若 k1 ? k 2 ? ? 分

b2 ,则 E 为 CD 的中点.?????????9 a2

? y ? k1 x ? p ? 证法一:由方程组 ? x 2 ? (b 2 ? a 2 k12 ) x 2 ? 2k1 pa2 x ? a 2 p 2 ? a 2 b 2 ? 0 y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
???????????????????????????????????10 分 因为直线 L1:y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C、D 两点, 所以 ? ? 0 ,即 a k1 ? b ? p ? 0 ,设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) 、 E ( x0 , y0 )
2 2 2 2

则? x0 ?

x1 ? x2 ? k pa2 y ? y2 pb2 ????????12 分 ? 2 1 2 2 , y0 ? 1 ? 2 2 2 b ? a k1 b ? a 2 k12

p ? ? y ? k1 x ? p ? x ? b2 k 2 ? k1 又因为? k1 ? k 2 ? ? 2 ,所以 ?? ? a ? y ? k2 x ?y ? k x 2 ?
-9-

? ? a 2 k1 p p x? ? 2 ? x0 ? k 2 ? k1 b ? a 2 k12 ? ,故 E 为 CD 的中点.???????????14 分 ? 2 ?y ? k x ? b p ? y0 2 ? b 2 ? a 2 k12 ?
证法二:设 C ( x1 , y1 ) D( x2 , y 2 ) E ( x0 , y0 )

x y x y 则 12 ? 12 ? 1 (1) , 22 ? 22 ? 1 (2) a b a b
两式相减得

2

2

2

2

( x1 ? x2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 a2 b2

即 k1 ?

y1 ? y 2 ? b 2 ? ( x1 ? x2 ) ?????????????????????9 分 ? 2 x1 ? x2 a ? ( y1 ? y 2 ) y b2 ? k1 ? k 2 ? ? 2 , k 2 ? 0 x0 a




y1 ? y 2 x0 ? x1 ? x2 y0



k1 x1 ? p ? k 2 x2 ? p kx0 ? p ? x1 ? x2 x0
? k1 ? 2p p ? k1 ? x1 ? x2 x0

????????????????????12 分

得 x1 ? x2 ? 2x0 ? y1 ? y 2 ? 2y0 ,即 E 为 CD 的中点.???????????14 分 (3) 设直线 L1:y ? k1 x ? p, p ? 0 交双曲线 ?: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 于 C、D 两点, b2 b2 .???????16 a2

交直线 L2:y ? k 2 x 于点 E .则 E 为 CD 中点的充要条件是 k1 ? k 2 ? 分

(黄浦区 2013 届高三一模 文科)22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O、半径是 a2 ? b2 的圆为椭圆 C 的 a 2 b2

“准圆” .已知椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2,0) ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 3 . (1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程;

- 10 -

(2)过椭圆 C 的“准圆”与 y 轴正半轴的交点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一 个交点,求 l1 , l2 的方程; (3)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点, B, D 是椭圆 C 上的两相异点,且 ??? ???? ? BD ? x 轴,求 AB ? AD 的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 解: (1)由题意知 c ? 2 ,且 a ? b2 ? c2 ? 3 ,可得 b ? 1 , x2 ? y 2 ? 1 ,其“准圆”方程为 x2 ? y 2 ? 4 . 故椭圆 C 的方程为 3

??????4 分

(2)由题意可得 P 点坐标为 (0, 2) ,设直线 l 过 P 且与椭圆 C 只有一个交点, 则直线 l 的方程可设为 y ? kx ? 2 ,将其代入椭圆方程可得 ??????6 分

x2 ? 3(kx ? 2)2 ? 3 ,即 (3k 2 ? 1) x2 ? 12kx ? 9 ? 0 ,
由 ? ? (12k )2 ? 36(3k 2 ? 1) ? 0 ,解得 k ? ?1 , 所以直线 l1 的方程为 y ? x ? 2 , l2 的方程为 y ? ? x ? 2 , 或直线 l1 的方程为 y ? ? x ? 2 , l2 的方程为 y ? x ? 2 . (3)由题意,可设 B(m, n), D(m, ?n) (? 3 ? m ? 3) ,则有 又 A 点坐标为 (2,0) ,故 AB ? (m ? 2, n), AD ? (m ? 2, ?n) , ??? ???? ? m2 ) 故 AB ? AD ? (m ? 2) 2 ? n 2 ? m 2 ? 4m ? 4 ? (1 ? 3
2

??????8 分

??????10 分

??? ?

????

m ? n2 ? 1, 3
??????12 分

4 4 3 ? m2 ? 4m ? 3 ? (m ? )2 , 3 3 2 4 3 2 又 ? 3 ? m ? 3 ,故 (m ? ) ?[0,7 ? 4 3) , 3 2 ??? ???? ? 所以 AB ? AD 的取值范围是 [0,7 ? 4 3) .

??????????14 分

??????????16 分

(普陀区 2013 届高三一模 文科)20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知动点 A( x, y) 到点 F (2,0) 和直线 x ? ?2 的距离相等. (1)求动点 A 的轨迹方程; (2)记点 K (?2,0) ,若 AK ?

y

2 AF ,求△ AFK 的面积.

K ?2

O

F 2

x

(第 20 题图)

- 11 -

20.【解】 (1)由题意可知,动点 A 的轨迹为抛物线,其焦点为 F (2, 0) ,准线为 x ? ?2 设方程为 y 2 ? 2 px ,其中

p ? 2 ,即 p ? 4 ??2 分 2

所以动点 A 的轨迹方程为 y 2 ? 8x ??2 分 (2)过 A 作 AB ? l ,垂足为 B ,根据抛物线定义,可得 | AB |?| AF | ??2 分

y B A
由于 AK ? ???2 分

2 AF ,所以 ?AFK 是等腰直角三角形

K ?2 O

F
2

其中 | KF |? 4 ????2 分

x

所以 S ?AFK ?

1 ? 4 ? 4 ? 8 ????2 分 2

x ? ?2
(嘉定区 2013 届高三一模 文科)21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A 、 B ,右焦点为 F .设过点 T (t , m) 16 7

的直线 TA 、 TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,其中 m ? 0 , y1 ? 0 , y 2 ? 0 . (1)设动点 P 满足 | PF | ? | PB | ? 3 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)若 x1 ? 3 , x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标. 2

y M F B T x

A

O N

·

21. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) (1)由已知, B(4 , 0) , F (3 , 0) ,????(1 分)设 P( x , y ) ,??(2 分) 由 | PF | ? | PB | ? 3 ,得 [(x ? 3) ? y ] ? [(x ? 4) ? y ] ? 3 ,?(5 分)
2 2 2 2 2 2

化简得, x ? 5 .所以动点 P 的轨迹是直线 x ? 5 .??(6 分)

- 12 -

? 9 y12 ?1 ? ? x2 y2 ?16 7 ?1 ? ? ? 1 得, ? (2)将 M (3 , y1 ) 和 N ? , y 2 ? 代入 ,??(1 分) 2 16 7 ?2 ? ? 1 ? y2 ? 1 ? 64 7 ?
? 2 49 ? y1 ? 16 ? 解得 ? ,??(2 分) ? y 2 ? 441 ? 2 64 ?
因为 y1 ? 0 , y 2 ? 0 ,所以 y1 ? 所以 M ? 3 ,

7 , 4

y2 ? ?

21 .????(3 分) 8

? ?

7? 21? ?1 ? , N ? , ? ? .????(4 分) 4? 8? ?2

又因为 A(?4 , 0) , B(4 , 0) , 所以直线 MA 的方程为 y ?

1 3 ( x ? 4) ,直线 NB 的方程为 y ? ( x ? 4) .??(5 分) 4 4

1 ? ? y ? 4 ( x ? 4) ? 由? ,????(6 分) ? y ? 3 ( x ? 4) ? 4 ?
解得 ?

?x ? 8 .????(7 分) ?y ? 3

所以点 T 的坐标为 (8 , 3) .??(8 分)

(静安区 2013 届高三一模 文科)22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) ,c 2 是 a 2 与 b 2 的等差中项,其 a2 b2

中 a 、 b 、 c 都是正数,过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线与原点的距离为 (1)求椭圆的方程;

3 . 2

(2) (文)过点 A 作直线交椭圆于另一点 M ,求 AM 长度的最大值;

- 13 -

D (3) 已知定点 E (?1,0) , 直线 y ? kx ? t 与椭圆交于 C 、 相异两点. 证明: 对任意的 t ? 0 ,
都存在实数 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. 22.解: (1)在椭圆中,由已知得 c ? a ? b ?
2 2 2

a2 ? b2 ··········· 1 分 2

过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线方程为

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 ,该直线与原点的距 a ?b
············ 3 分

离为

3 ab 3 ,由点到直线的距离公式得: ? 2 2 a2 ? b2

解得: a 2 ? 3, b 2 ? 1 ;所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ·············· 4 分 3 1
2

(2) (文)设 M ( x, y ) ,则 x 2 ? 3(1 ? y 2 ) , AM

? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ?2 y 2 ? 2 y ? 4 ,其中

? 1 ? y ? 1 ································ 6 分
当y?

1 9 3 2 2 时, AM 取得最大值 ,所以 AM 长度的最大值为 ······· 9 分 2 2 2

(3)将 y ? kx ? t 代入椭圆方程,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6ktx ? 3t 2 ? 3 ? 0 ,由直线与椭圆有两个 交点,所以 ? ? (6kt) 2 ? 12(1 ? 3k 2 )(t 2 ? 1) ? 0 ,解得 k ?
2

t 2 ?1 ········ 11 分 3

设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

6kt 3(t 2 ? 1) , x1 ? x 2 ? ,因为以 CD 为直径的 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

圆过 E 点,所以 EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 , ········· 13 分 而 y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) = k x1 x2 ? tk ( x1 ? x2 ) ? t ,所以
2 2

(k 2 ? 1)

3(t 2 ? 1) 6kt 2t 2 ? 1 ? (tk ? 1) ? t 2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ········ 14 分 3t 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

如果 k ?
2

t 2 ?1 对任意的 t ? 0 都成立,则存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. 3

2t 2 ? 1 2 t 2 ? 1 (t 2 ? 1) 2 ? t 2 t 2 ?1 2 ( ) ? ? ? 0 ,即 k ? .所以,对任意的 t ? 0 ,都存在 k , 3t 3 3 9t 2
使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. ····················· 16 分

- 14 -

(闵行区 2013 届高三一模 文科) (文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,.第(1)小题满 分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 已知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,右焦点为 F ,直线 l 的 4 3

y

倾斜角为

? ,直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 3 相切于点 Q ,且 Q 在 y 轴的 4

O

l F B Q A

x

右侧,设直线 l 交椭圆 E 于两个不同点 A, B . (1)求直线 l 的方程; (2)求 ?ABF 的面积. 解: (文) (1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

则有

|m| ? 3 ,得 m ? ? 6 2

??????????????3 分

又切点 Q 在 y 轴的右侧,所以 m ? ? 6 ,???????????2 分 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 6 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ?????????????2 分

? y ? x? 6 ? 2 由 ? x2 y2 得 7 x ? 8 6 x ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4

??????????2 分

x1 ? x2 ?

8 6 12 , x1 x2 ? 7 7 4 6 7
?????2 分

| AB |? 1 ? 1 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
又 F (1, 0) ,所以 F 到直线 l 的距离 d ? 所以 ?ABF 的面积为

|1 ? 6 | 1 ? (2 3 ? 2) 2 2

??2 分

1 2 | AB | d ? (3 2 ? 2 3) ?????1 分 2 7 x2 y 2 x2 y 2 对于双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) ,定义 C1 : 2 ? 2 ? 1 为其伴随曲线,记双 a b a b 曲线 C 的左、右顶点为 A 、 B . (1)当 a ? b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c ,其伴随椭圆 C1 的半焦距为 c1 ,若 c ? 2c1 ,求双
- 15 -

曲线 C 的渐近线方程; (2)若双曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1,过点 M (? 3,0) 且与 C 的伴随曲线相切的直线 l 交曲 线 C 于 N1 、 N 2 两点,求 ?ON1 N2 的面积( O 为坐标原点) (3)若双曲线 C 的方程为 求动点 M 的轨迹方程.

x2 y 2 ? ? 1 ,弦 PQ ? x 轴,记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M , 4 2

22.解: (1)∵ c ? a2 ? b2 , c1 ?

a 2 ? b2

?????????1 分

由 c ? 2c1 ,得 a2 ? b2 ? 2 a2 ? b2 ,即 a2 ? b2 ? 4(a 2 ? b2 ) 可得

b2 3 ? a2 5

?????????3 分

∴ C 的渐近线方程为 y ? ?

15 x 5
2 2

?????????4 分

(2)双曲线 C 的伴随曲线的方程为 x ? y ? 1,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,由 l 与圆 相切知

3k
2

1? k 2 解得 k ? ? ???????????6 分 2 2 当k ? 时,设 N1 、 N 2 的坐标分别为 N1 ( x1 , y1 ) 、 N2 ( x2 , y2 ) 2 ? 2 1 ( x ? 3) ?y ? 2 2 2 由? 得 x ? ( x ? 3) ? 1 ,即 x ? 2 3x ? 5 ? 0 , 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 2 3?4 2 ∵ ? ? (2 3)2 ? 4 ? (?5) ? 32 ? 0 , x ? = 3 ? 2 2 ∴ x1 ? x2 ? 4 2 2
∴ N1 N 2 ? 1 ? ( ∴ S ?ON1N2 ?

? 1 即 3k 2 ? 1 ? k 2

2 2 3 ) x1 ? x2 ? ?4 2 ? 4 3 2 2

?????????8 分

1 ? N1 N 2 ?1 ? 2 3 2 2 由对称性知,当 k ? ? 时,也有 S?ON N ? 2 3 ??????????10 分 1 2 2 (3)设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 , ? y0 ) ,又 A(?2, 0) 、 B(2, 0) , y0 ∴直线 PA 的方程为 y ? ( x ? 2) ????① x0 ? 2 ? y0 ( x ? 2) ????② 直线 QB 的方程为 y ? ??????????12 分 x0 ? 2

- 16 -

4 ? ? x0 ? x ? 由①②得 ? ?y ? 2y ? 0 x ?
∵ P( x0 , y0 ) 在双曲线

??????????????14 分

x2 y 2 ? ?1上 4 2 x2 y 2 ? ?1 4 2
??????????????16 分

42 4 y 2 2 2 ∴ x ? x ?1 4 2



(杨浦区 2013 届高三一模 文科)21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别是 F1 ?? 1, 0? 、 F2 ?1, 0? ,且焦距是椭圆 a 2 b2

C 上一点 P 到两焦点 F1 、F2 距离的等差中项.
(1)求椭圆 C 的方程;

N (2)设经过点 F2 的直线交椭圆 C 于 M 、 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点

Q(0 , y0 ) ,求 y0 的取值范围.
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (1)解:设椭圆 C 的半焦距是 c .依题意,得 c ? 1 . 由题意得 ???1 分

4c ? 2a , a ? 2
???4 分

b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 .

x2 y 2 ? ?1 3 故椭圆 C 的方程为 4 .

???6 分 ???7 分

y ?0. (2)解:当 MN ? x 轴时,显然 0
当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) .



? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12,

消去

y 整理得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 .
???9 分



M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 的中点为 Q( x3 , y3 ) ,

- 17 -



x1 ? x2 ?

8k 2 3 ? 4k 2 .

???10 分

所以

x3 ?

?3k x1 ? x2 4k 2 y3 ? k ( x3 ? 1) ? ? 2 3 ? 4k 2 . 2 3 ? 4k ,

线段 MN 的垂直平分线方程为

y?

3k 1 4k 2 ? ? (x ? ) k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 .

y0 ?
在上述方程中令 x ? 0 ,得

k 1 ? 2 3 3 ? 4k ? 4k k .

???12 分

3 3 ? 4k ? ?4 3 ? 4k ? 4 3 k ? 0 时, k k ? 0 时, k 当 ;当 .

3 3 ? y0 ? 0 0 ? y0 ? 12 . 所以 12 , 或 ? [? 3 3 , ] 12 12 .

???13 分

综上,

y0 的取值范围是

???14 分

(闸北区 2013 届高三一模 文科)17. (文) (本题满分 16 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 9 分) 设点 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点. 2

(1)求数量积 PF ? PF2 的取值范围; 1 (2)设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A 、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线 与 x 轴交于点 G ,求点 G 横坐标的取值范围. 17. (文)解: (1)由题意,可求得 F1 (?1,0) , F2 (1,0) . 设 P( x, y) ,则有 F1 P ? ( x ? 1, y) , F2 P ? ( x ? 1, y) (1 分) (3 分) (2 分) (1 分) (1 分) (2 分)

PF1 ? PF2 ? x 2 ? y 2 ? 1 ?

所以, PF ? PF2 ? 0,1 . 1 (2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) ,

? ?

1 2 x , x ? ? 2, 2 2

?

?

x ? y 2 ? 1 ,整理得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , (*) 2 因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F1 ,所以方程*有两个不相等的实根. 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , AB 中点为 M ( x0 , y 0 ) ,则
代入

2

- 18 -

4k 2 2k 2 k , x0 ? ? , y0 ? . (2 分) 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 1 线段 AB 的 垂直平分线 NG 的方程为 y ? y 0 ? ? ( x ? x 0 ) . (1 分) k 2k 2 k2 k2 1 1 ? 2 ?? 2 ?? ? 2 令 y ? 0 ,则 xG ? x0 ? ky 0 ? ? 2 . 分) (2 2 4k ? 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 1 ? 1 ? 因为 k ? 0 ,所以 ? ? xG ? 0 .即点 G 横坐标的取值范围为 ? ? ,0 ? . (1 分) 2 ? 2 ? x1 ? x 2 ? ?

- 19 -


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