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2-2第1课时 等差数列的定义及通项公式

时间:2012-05-26


2.2 等差数列

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第二章 数列

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第1课时

等差数列的定义及通项公式

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1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念,深化认识并 能运用.

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1.对等差数列的概念,等差中项的考查是本课的热点. 2.本课内容常与函数,不等式结合命题.

3.多以选择题和填空题的形式考查.

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1.汉朝的天文著作《周髀算经》中有一记载:在平地 上立八尺高的周髀(即表竿),日中测影,在二十四节气中: 1 冬至影长 1 丈 3 尺 5 寸,以后每一节气影长递减 9 寸 9 分; 6 夏至影长最短,仅长 1 尺 6 寸,以后每一节气影长递增 9 寸 1 96分.如果把这些影长记录下来就构成一个数列. 该数列有什么规律呢?

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2.(1)鞋的尺码,按照国家统一规定,有 22,22.5,23,23.5,24,24.5,?; (2)某月星期日的日期为2,9,16,23,30; (3)一个梯子共8级,自下而上每一级的宽度(单位:cm),为 89,83,77,71,65,59,53,47. 上面几个数列有什么共同的特点?

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1.等差数列的定义 如果一个数列从第 二 项起,每一项与它的前一项的差等于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个 常数 叫做 等差数列的公差,通常用字母d表示. 2.等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,填表: 递推公式 an-an-1
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通项公式 an= a1+(n-1)d .
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=d(n≥2)

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3.等差中项
在由三个数a,A,b组成的等差数列中, A 叫做a与b的等 差中项.这三个数满足关系式a+b= 2A .

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1.已知等差数列11,13,15,?,那么数列的第1 000项为 ( ) A.2 007 C.2 009 B.2 008 D.2 011

解析: a1=11,d=2,∴an=11+(n-1)×2=2n+9, a1 000=2×1 000+9=2 009,故选C. 答案: C

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2.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和 n的等差中项是( )

A.2
C.6

B.3
D.9

解析: 依题意m+2n=8,2m+n=10. 故3m+3n=18,即m+n=6. 答案: B

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3.已知等差数列{an},a1=23,公差d∈Z,如果a7是该数 列各项中第一个负数项,则d=________.

解析: an=23+(n-1)d ?23+5d>0 ?a6>0 ? ? ∵? ,∴?23+6d<0 ?a7<0 ? ?d∈Z ? 23 ?23 ? <d<- 6 ∴? 5 ?d∈Z ? ∴d=-4.

答案: -4
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4.在等差数列{an}中,已知a5=11,a8=5,求a10.

解析: 方法一:设数列{an}的公差为 d,
?a +4d=11 ? 1 由题意知? ?a1+7d=5 ? ?a =19 ? 1 ,解得? ?d=-2 ?



故 an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21. ∴a10=-2×10+21=1.

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方法二:∵an=am+(n-m)d, an-am ∴d= , n-m a8-a5 5-11 ∴d= = 3 =-2, 8-5 a10=a8+2d=5+2×(-2)=1.

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在等差数列{an}中, (1)已知 a1=6,d=3,求 a8; (2)已知 a4=10,a10=4,求 a7 和 d; (3)已知 a2=12,an=-20,d=-2,求 n; 1 (4)已知 a7=2,d=-2,求 a1.

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利用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d, an=am+(n-m)d及其变形公式求解.

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[解题过程]

(1)∵a1=6,d=3,∴an=6+3(n-1)=3n+3.

∴a8=3×8+3=27. a10-a4 -6 (2)∵a4=10,a10=4,∴d= = 6 =-1, 10-4 ∴an=a4+(n-4)×(-1)=-n+14, ∴a7=-7+14=7. (3)∵a2=12,d=-2,∴a1=a2-d=12-(-2)=14, ∴an=14-2(n-1)=16-2n=-20,∴n=18. 1 25 (4)∵a7=a1+6d=a1-12= ,∴a1= . 2 2

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[题后感悟] 在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基

本的元素;有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不
明显,则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解,但是,要注 意公式的变形及整体计算,以减少计算量.

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1.在等差数列{an}中,
(1)已知a5=-1,a8=2,求a1和d; (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9; (3)已知a1=1,d=3,an=2 005,求n.

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解析:

?a +?5-1?d=-1 ? 1 (1)由题意知:? ?a1+?8-1?d=2 ?



?a =-5 ? 1 解得? ?d=1 ?

.

?a +a =2a +5d=12 ? 1 6 1 ? (2)由题意知: ?a4=a1+3d=7 ? ?a =1 ? 1 解得? ?d=2 ?



.

∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.

(3)∵an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×3=2 005,
∴n=669.
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已知数列{an}满足 a1=4,an=4- (n>1),记 bn an-1 1 = . an-2 (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.

4

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由题目可获取以下主要信息:

①bn与an的关系,an与an-1的关系;
②若bn+1-bn为常数,则{bn}是等差数列.

解答本题可运用整体代换法判断.

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[规范作答]

1 1 (1)证明:∵bn+1-bn= - an+1-2 an-2

1 1 an 1 =? - = - 4? an-2 2?an-2? an-2 ?4- ?-2 an? ? an-2 1 = =2,4 分 2?an-2? 1 1 又∵b1= = , a1-2 2 1 1 ∴数列{bn}是首项为2,公差为2的等差数列.6 分

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1 1 1 (2)由(1)知,bn= +(n-1)× = n,8 分 2 2 2 1 1 2 ∵bn= ,∴an=b +2=n+2.12 分 an-2 n

[题后感悟] 判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定 义:an+1-an=d(d为常数),也可以用an+1-an=an-an-1(n≥2)

进行判断.本题属于“生成数列问题”,关键是形成整体代换
的思想方法,运用方程思想求通项公式.

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2an 2.已知数列{an},满足 a1=2,an+1= , an+2
?1? ? ? (1)数列?a ?是否为等差数列?说明理由. ? n? ? ?

(2)求 an.

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解析:

?1? ? ? (1)数列?a ?是等差数列,理由如下: ? n? ? ?

2an 1 an+2 1 1 ∵a1=2,an+1= ,∴ = = + , an+2 an+1 2an 2 an 1 1 ∴ -a =2, an+1 n
?1? 1 1 ? ? 即?a ?是首项为a =2,公差为 ? ? ? n? 1

1

1 d=2的等差数列.

1 1 n 2 (2)由上述可知a =a +(n-1)d=2,∴an=n. n 1

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已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和
为18,平方和为116,求这三个数.

由题目可获取以下主要信息: ①等差数列是递增的.②三个数的和为18,平方和为116. 解答本题可充分利用等差中项的定义求解未知量.

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[解题过程] 方法一:设这三个数为 a,b,c,则由题意得 ?2b=a+c ? ?a+b+c=18 ?a2+b2+c2=116 ?

,解得 a=4,b=6,c=8.

方法二:设这三个数为 a-d,a,a+d,
??a-d?+a+?a+d?=18, ? 由已知得? ??a-d?2+a2+?a+d?2=116, ?

① ②

由①得 a=6,代入②得 d=± 2, ∵该数列是递增的,∴d=-2 舍去, ∴这三个数为 4,6,8.
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[题后感悟] 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时, 可设出首项a1和公差d列方程组求解,也可采用对称的设法,三

个数时,设a-d,a,a+d;四个数时,设a-3d,a-d,a+d,
a+3d.利用和为定值.先求出其中某个未知量.

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3.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差 数列,求此数列. 解析: 方法一:设a1=-1,a5=7

∴7=-1+(5-1)d
∴d=2

∴所求数列为-1,1,3,5,7.

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方法二:∵-1,a,b,c,7 成等差数列, ∴b 是-1 与 7 的等差中项, -1+7 ∴b= 2 =3. 又 a 是-1 与 3 的等差中项, -1+3 ∴a= =1. 2 又 c 是 3 与 7 的等差中项, 3+7 ∴c= 2 =5. ∴该数列为-1,1,3,5,7.
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1.理解等差数列的定义需注意的问题 (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义,其

一,第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相
吻合;其二,定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保 证使数列中各项均与其前面一项作差. 它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前 面的项;其二是强调这两项必须相邻. (3)注意定义中的“同一常数”这一要求,否则这个数列不 能称为等差数列.
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(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求,

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2.判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)定义法:an-an-1=d(常数)(n≥2且n∈N*)等价于{an}是等

差数列.
(2)等差中项法:2an =an-1 +an+1(n≥2且n∈N*)等价于{an} 是等差数列. (3)通项公式法:an=kn+b(k,b为常数,n∈N*)等价于{an} 是等差数列.

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3.等差数列与一次函数的关系 等差数列
解析式 不同点 an=kn+b(n∈N*)

一次函数
f(x)=kx+b(k≠0)

定义域为N*,图象是一系列均匀 定义域为R,图象 分布在同一直线上的孤立的点

为一条直线

相同点

通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整
式,是最简单的,也是最基本的数列和函数

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◎已知数列{an},a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3). (1)判断数列{an}是否为等差数列?说明理由; (2)求{an}的通项公式. 【错解】 (1)∵an=an-1+2, ∴an-an-1=2(为常数), ∴{an}是等差数列. (2)由上述可知,an=1+2(n-1)=2n-1.

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【错因】

忽视首项与所有项之间的整体关系,而判断特

殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上,数列{an}从第2项 起,以后各项组成等差数列,而{an}不是等差数列,an =f(n)应

该表示为“分段函数”型.
【正解】 (1)当n≥3时,an=an-1+2, 即an-an-1=2, 而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n≥3), ∴{an}不是等差数列.

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(2)当 n≥2 时,令 a2=b1=1, a3=b2=3, a4=b3=5, ? an=bn-1=1+2[(n-1)-1]=2n-3. 又 a1=1,
?1 ? ∴an=? ?2n-3 ?

?n=1? ?n≥2?

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