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2018-2019学年高一数学人教A版必修4课件:3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

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第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题型1 二倍角公式的简单应用 α 例 1 已知 tan =2,求: 2 ? π? (1)tan?α + ?的值; 4? ? 6sin α +cos α (2) 的值. 3sin α -2cos α 分析:本题考查二倍角公式以及弦化切方法的简单应用. 解析:(1)∵tan =2, 2 2×2 4 ∴ tan α= = =- , 3 α 1 - 4 2 1-tan 2 2 2tan α α π tan α+tan ? 4 π? ∴tan?α+ ?= 4? π ? 1-tan αtan 4 4 - +1 tan α+1 3 1 = = =- . 4 7 1-tan α 1+ 3 4 (2)由(1)知, tan α=- , 3 6sin α+cos α 6tan α+1 ∴ = 3sin α-2cos α 3tan α-2 ? 4? 6?-3?+1 ? ? 7 = = . ? 4? 6 ? ? 3 -3 -2 ? ? 点评:二倍角是两个角间的相对关系.2x 是 x 的二 x x x 倍角 x 是 的二倍角. 是 的二倍角. 2 2 4 ?跟踪训练 ? 3π ? 12 1.(1)已知 cos α =- ,α ∈?π , ?, 13 2 ? ? 求 sin 2α ,cos 2α ,tan 2α 之值. ? π? tan x ? ? (2)已知 tan x+ =2,则 的值为________. tan 2x 4? ? ? 3 ? 12 ? 解析:(1)∵cos α=- ,α∈ π,2π?, 13 ? ? ∴sin α=- 1-cos α=- 2 ? 12?2 5 ? ? 1- -13 =- , 13 ? ? ? 5 ? ? 12? 120 ∴sin 2α=2sin αcos α=2×?-13?×?-13?= , ? ? ? ? 169 ? 5 ?2 119 cos 2α=1-2sin α=1-2×?-13? = , 169 ? ? 2 sin 2α 120 tan 2α= = . cos 2α 119 4 (2) 9 题型2 利用二倍角公式化简与求值 3π 2 例 2 已知 sin θ +cos θ = ,0<θ< , 2 4 求 sin 2θ ,cos 2θ 的值. 3π 2 解析:∵0<sin θ+cos θ= <1,且 0<θ< , 2 4 ? π 3π 3π? ?, ∴ <θ< ,2θ∈?π, 2 4 2 ? ? 2 1 将 sin θ+cos θ= ,两边平方得 sin 2θ=- , 2 2 ∴cos 2θ=- 3 1-sin 2θ=- . 2 2 点评:注意利用(sin θ±cos θ)2=1± sin 2θ的关系解题. ?跟踪训练 ? ?π 3π ? π? 2 2.已知 cos?x- ?= ,x∈? , ?. 4 ? 10 4 ? ? ?2 (1)求 sin x 的值; ? π? (2)求 sin?2x+ ?的值. 3? ? 解析:方法一 ?π 3π? ?, (1)因为 x∈? , 2 4 ? ? π ?π π? 所以 x- ∈? , ?, 4 ?4 2? ? π? 于是 sin?x- ?= 4? ? ? π? 7 2 1-cos ?x- ?= . 10 4 ? ? 2 ?? π ? π? sin x=sin??x- ?+ ? 4? 4? ?? ? ? π? π π? π =sin?x- ?cos +cos?x- ?sin 4 4? 4? 4 ? ? 7 2 2 2 2 4 = × + × = . 10 2 10 2 5 方法二 由题意得 2 2 2 cos x+ sin x= , 2 2 10 1 即 cos x+sin x= . 5 又 sin2x+cos2x=1,从而 25sin2x-5sin x-12=0, 4 3 解得 sin x= 或 sin x=- . 5 5 ?π 3π? ?, 因为 x∈? , 4 ? ?2 4 所以 sin x= . 5 ?π 3π? ?, (2)∵x∈? , 4 ? ?2 ∴cos x=- 1-sin x=- 2 ?4?2 3 ? ? 1- 5 =- . 5 ? ? 24 7 2 sin 2x=2sin xcos x=- ,cos 2x=2cos x-1=- . 25 25 ? π π 24+7 3 π? ∴sin?2x+ ?=sin 2xcos +cos 2xsin =- . 3 3 50 3 ? ? 题型3 利用二倍角公式化简与证明 1 例 3 已知 tan β =tan α + 2 .求证: cos α 2 2 cos 2α -2cos 2β =1. 分析:本题考查利用二倍角公式证明.首先要降幂, 然后才可以寻找到二倍角的形式,进而寻找到它们 的关系. 1 证明:∵1+tan β=1+tan α+ 2 , cos α 2 2 1 2 ∴ 2 = 2 ,∴cos2α=2cos2β, cos β cos α 1+cos 2α ∴ =1+cos 2β, 2 ∴1+cos 2α=2+2cos 2β, ∴cos 2α-2cos 2β=1. 点评: 有条件的等式证明,常常先观察条件式 及欲证式中左右两边的三角函数式的区别与联 系,灵活使用条件变形即可得证. ?跟踪训练 3.求证: (sin x+cos x-1)(sin x-cos x+1) sin 2x x =tan . 2 分析:本题考查利用二倍角公式证明.①直接利用二倍 x 角公式将原式化为 的三角函数形式;②首先看分母,利 2 用“1”与三角函数的关系,将已知条件化简后再向右边靠近. 证明:证法一 (sin x+cos x-1)(sin x-cos x+1) sin 2x x x x x ? 2x

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