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高中数学竞赛模拟试卷A及答案

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高中数学竞赛试卷 A 及答案 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,全卷满分 150 分。 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。 3、解题书写不要超出装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1. 记[x]为不大于 x 的最大整数, 设有集合 A ? {x | x 2 ? [ x ] ? 2} ,B ? {x || x |? 2} , 则A?B? A.(-2,2) B.[-2,2] C. { 3 , ? 1} 2.若 f ?x ? ? 2x 5 ? 2x 4 ? 53x 3 ? 57x ? 54 ( D. {? 3 , 1} ) ? 111 ? 1 ? ?= ,则 f ? ( ) ? ? 2 ? ? A.-1 B. 1 C. 2005 D.2007 3. 四边形的各顶点位于一个边长为 1 的正方形各边上, 若四条边长的平方和为 t, 则 t 的取值区间是 ( ) A.[1,2] B.[2,4] C.[1,3] D.[3,6] 4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为棱 D1 C1 AB 上一点,过点 P 在空间作直线 l,使 l 与平面 ? ? 2006 ABCD 和平面 ABC1D1 均成 30 ? 角,则这样的直 线条数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A1 D P B1 C B A 5.等腰直角三角形 ? ABC 中,斜边 BC= 4 2 ,一个 椭圆以 C 为其焦点,另一个焦点在线段 AB 上,且 椭圆经过 A,B 两点,则该椭圆的标准方程是(焦点在 x 轴上) ( ) A. C. x x2 2 6?4 2 ? ? y 2 ?1 ?1 B. D. x 2 4 2 y2 6?4 2 x2 ? y 2 3? 4 2 y2 ?1 ?1 4 2 6?4 2 3? 4 2 6? 4 2 (注:原卷中答案 A、D 是一样的,这里做了改动) 6.将正方形的每条边 8 等分,再取分点为顶点(不包括正方形的顶点) ,可以得 到不同的三角形个数为 ( ) A.1372 B. 2024 C. 3136 D.4495 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分,请将正确答案填在横 线上。 ) ? 1 7.等差数列 {a n } 的前 m 项和为 90,前 2 m 项和为 360,则前 4m 项和为_____. ?x 3 ? sin x ? 2a ? 0 ? 8.已知 x , y ?[? , ] , a ? R ,且 ? 3 1 ,则 cos?x ? 2 y ? 的 4 4 ?4 y ? sin 2 y ? a ? 0 2 ? 值为______ ___. 9.100 只椅子排成一圈,有 n 个人坐在椅子上,使得再有一个人坐入时,总与原 来的 n 个人中的一个坐在相邻的椅子上,则 n 的最小值为__________. 10.在 ? ABC 中,AB= 30 ,AC= 6 ,BC= 15 ,有一个点 D 使得 AD 平分 S m BC 并且 ?ADB是直角,比值 ?ADB 能写成 的形式,这里 m、n 是互质的正 S ?ABC n 整数,则 m-n=______ __. 11.设 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体,则上底面 ABCD 的内切圆上的 点 P 与过顶点 A,B,C1,D1 的圆上的点 Q 之间的最小距离是___________. 12.一项“过关游戏”的规则规定:在第 n 关要抛一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛 掷所出现的点数之和大于 2 n ,则算过关。则连过前 3 关的概率为_________. ? ? 三、解答题(本大题共 4 小题,满分 78 分要求解答要有必要的过程) 13. (本小题满分 16 分) 是否存在最小的正整数 t,使得不等式 ?n ? t ?n ? t ? ?1 ? n ?3 n n t t 对任何正整数 n 恒成立,证明你的结论。 2 14. (本小题满分 18 分) 设 x,y,z 为正实数,求函数 ?1 ? 2x ??3y ? 4x ??4y ? 3z ??2z ? 1? f ?x , y , z ? ? xyz 的最小值。 15. (本小题满分 22 分) x 2 y2 x 2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 和双曲线 2 ? 2 ? 1 的公共的 a2 b a b 左、右顶点。P、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于 A、B 的动点,且满足 设 A、B 分别为椭圆 AP ? BP ? ? AQ ? BQ ? ? ?? ? R , ? ? 1? 。设直线 AP、BP、AQ、BQ 的斜率分别 为 k1、k2、k3、k4. (1) 求证:k1+k2+k3+k4=0; (2) 设 F1 、 F2 分 别 为 椭 圆 和 双 曲 线 的 右 焦 点 。 若 PF2 // QF , 求 1 k 1 ? k 2 ? k 3 ? k 4 的值。 2 2 2 2 3 16. (本小题满分 22 分) 将 m 位性别相同的客人,按如下方法入住 A1、A2、?、A n 共 n 个房间。首 1 先,安排 1 位客人和余下的客人 的入住房间 A1;然后,从余下的客人中安排 2 7 1 位和再次余下的客人 的入住房间 A2;依此类推,第几号房间就安排几位客人 7 1 和余下的客人 的入住;这样,最后一间房间 A n 正好安排最后余下的 n 位客人。 7 试求客人的数目和客房的数目,以及每间客房入住客人的数目。 4 2006 年湖南省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准 说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题严格按标准给分, 不设中间档次分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,

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