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2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第11讲 函数的图象

时间:2013-06-13


掌握基本函数图象的作法 — —描点法和图象 变换法;会运用函数图象,理解研究函数的 性质;会看图得到相关信息,即学会作图、 识图、用图.

1.基本函数的图象要熟记:一次函数、二次函数、 反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三 ax ? b a 角函数以及常用函数:y ? y ? x ? .(图象略) cx ? d x 2.函数图象的基本作法有两种:① ____ 和② ____ .

?1? 描点法作图的基本步骤是:③ ______ 、④ ______ 、
⑤ ______ .画函数图象时有时也可利用函数的性质如 ⑥ _________________ 以及图象上的特殊点、线 (如对称轴、渐近线等).

? 2 ?图象的变换是指⑦ _________________________ .
在高考中要求学生掌握的三种变换是:⑧ ___________ .

3.常用函数图象变换的规律.

?1? 平移变换:y ? f ? x ?的图象向左 ? ? ? 或向右 ? ? ? 平移a ? a ? 0 ? 个单位长度得到函数y ? f ( x ? a )的 图象;y ? f ? x ?的图象向上 ? ? ? 或向下 ? ? ? 平移k ? k ? 0 ? 个单位长度得到函数y ? f ? x ? ? k .

? 2 ? 对称变换:y ? f ? x ? 与y ? f ? ? x ?的图象关于⑨ ___ 对称;y ? f ? x ? 与y ? ? f ? x ?的图象关于⑩ ______ 对称; y ? f ? x ? 与y ? ? f ? ? x ?的图象关于?_____ 对称;y ? f ? x ? 的图象可将函数y ? f ? x ?的图象在?_______________ , 其余部分不变;y ? f ?| x |?的图象可将函数y ? f ? x ?的
图象在x ? 0的部分作出,再利用?_________________ , 作出x ? 0的图象.

? 3? 伸缩变换:y ? kf ? x ?? k ? 0 ?的图象可将函数 y ? f ? x ?的图象上所有点的?_________ 而得到. y ? f ( wx)( w ? 0)的图象可将函数y ? f ? x ?的图象
上所有点的?________________________ 得到.

【要点指南】

1.观察以下四组图象,则四种说法正确的是(

)

A.图①中 a>1,k>1 C.图③中 a>1,0<k<1

B.图②中 a>0,Δ>0 D.图④中,a<0,k>1

2.函数 f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为( A )

3.函数 f(x)的部分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式可能是 ( ) A.f(x)=x+sinx cosx B.f(x)= x C.f(x)=xcosx π 3π D.f(x)=x· (x-2)· (x- 2 )

【解析】由图象关于原点对称,且在原点有定义,故 π 原函数为奇函数, 且 f(0)=0, 排除 B.又观察图象 f(-2)=0, 排除 A、D.故选 C.

4.若关于 x 的方程|x|=a-x 有且只有一个解,则实数 a 的 范围是 (0,+∞) .

【解析】作函数 y=|x|与 y=a-x 的图象,由图可知,要 两函数图象有且只有一个交点,则 a>0,故 a 的取值范围是 (0,+∞).

5.已知奇函数 y=f(x)的定义域为[-3,3], 且当 x∈[0,3]时, y=f(x)的图象如图所示,则不等式 x· f(x)>0 的解集是 (-2,0)∪(0,2) .

【解析】由已知 y=f(x),x∈[-3,3]的图象如下,

由图可知,当 x>0 时,x· f(x)>0,可得 0<x<2; 当 x<0 时,由 x· f(x)>0,可得-2<x<0, 不等式的解集为(-2,0)∪(0,2).



函数图象的作法

【例 1】作出下列函数的图象: (1)y=3log3|x|; (2)y=|log2(x-1)|; 2-x (3)y= . x+1

【分析】 对于(1)可先在其定义域内化简,再画图象;而 对于(2)和(3)可根据其特点,找出对应的基本函数,通过 图象变换画出图象.

【解析】 (1)由|x|>0,得函数的定义域为{x∈R|x≠0},
?x 且 y=3log3|x|=|x|=? ?- x

?x>0? , ?x<0?

则其图象如图甲.

(2)由 x-1>0,得 x>1,函数的定义域为(1,+∞),先作 y =log2x 的图象,再将图象上的所有的点向右平移一个单位(纵 坐标不变), 然后保留 x 轴上方图象不变, 并将 x 轴下方的图象 翻折到 x 轴上方,可得 y=|log2(x-1)|的图象,如图乙. 2-x (3) 函数的定义域为 {x ∈ R|x≠1} ,因为 y = =- 1 + x+1 3 3 ,因此由 y=x 的图象向左平移一个单位长度,再向下平移 x+1 2 -x 一个单位长度即可得到函数 y= 的图象,如图丙. x+ 1

【点评】“由式作图”这是高考中常见的一类问题,解决 这类问题主要是将解析式进行化简,然后与一些熟知的函 数图象相联系, 通过各种图象变换得到要求的函数图象. 另 外,还要善于借助解析式,发现函数的性质(如单调性、奇 偶性、对称性、周期性等 ),以此帮助分析函数的图象特 征.其基本步骤:①求出函数的定义域;②化简函数解析 式;③讨论函数的性质;④利用基本函数的图象画出所给 函数的图象.

素材1

作出下列函数图象: (1)y=log2|x-1|;
?-2x+3 ?x≤1? ? 2 ? - x +4x-2 ?1<x≤3? (2)y= ? x-3 ?x>3? ?2

.

【解析】 (1)作 y=log2|x|的图象, 再将图象向右平移一个单位, 如图①,即得到 y=log2|x-1| 图象.

(2)分段分别画出一次函数 (x≤1),二次函数 (1<x≤3),指数 函数(x>3)的图象,如图②.



利用图象研究函数及其性质

【例 2】(1)水滴进玻璃容器,如图所示(设单位时间进水量相 同),那么容器中水的高度与时间的函数关系的图象与 A、B、 C 、 D 四 容 器 情 况 相 匹 配 的 情 形 是 : ① —________ ; ② —________;③—________;④—________.

(2)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图,则 f(m) +f(-m)满足( )

A.不大于 0 B.不小于 0 C.一定等于 0 D.以上结论均有可能

【解析】 (1)因进水速度相同,所以当容器中横截面积越大, 则水高度的上升速率越小,反之越大,故①—D,②—B,③ —A,④—C. (2)由图可知,f(0)=d=0,又 f(1)>0,f(-1)=0, 所以 f(1)+f(-1)=2b>0, 所以 f(m)+f(-m)=2m2b≥0,当 m=0 时,取等号. 故选 B.

【点评】利用图象信息分析解决函数性质和参数取值问题的常 用方法有:(1)定性分析法,也就是根据图象对称性,上升、下 降的趋势等,利用这些特征分析、解决问题;(2)定量计算法, 通过图象所过特殊点等有关量的条件进行相应计算来分析解 决问题;(3)函数模型法,根据所提供的图象特征,联想相关函 数模型,利用函数模型来分析解决问题.

素材2

(1)已知定义在区间[0,1]上的函数 y=f(x)的图象如图所 示,对于满足 0<x1<x2<1 的任意 x1、x2,给出下列结论: ①f(x2)-f(x1)>x2-x1; ②x2f(x1)>x1f(x2); f?x1?+f?x2? x1+x2 ③ < f ( 2 ). 2 其中正确的结论的序号是 ②③ .

(2)函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示, 则( A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞)

)

【分析】 本题属于识图问题, 通过对给出的函数图象的分析、 判断,抽象出函数所具有的一些性质、满足的条件等.

【解析】 (1)由图象给出信息及 0<x1<x2<1, f?x2?-f?x1? 则过两点(x1, f(x1)), (x2, f(x2))的割线斜率 k= x2-x1 与 1 的大小不确定,故①不正确; f ?x ? 由函数图象上每一点与原点的连线的斜率 k= x , 随着 x 的增大,直线的倾斜角减小, f?x2? f?x1? 故 0<x1<x2<1 时, x < x , 2 1 即 x2f(x1)>x1f(x2),得②正确;

f?x1?+f?x2? x1+x2 作出 与 f( 2 )对应的点,可知③也正确.故 2 填②③.

(2)由图象给出的信息得 0,1,2 是方程 f(x)=0 的三个根, 所以 d=0. 设 f(x)=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax, 知 b=-3a. 再由 f(x)的函数值的符号得 a>0,所以 b<0.故选 A.

【点评】利用图象信息分析解决函数性质和参数取值问题的 常用方法有: (1)定性分析法, 也就是根据图象对称性, 上升、 下降的趋势等,利用这些特征分析、解决问题;(2)定量计算 法,通过图象所过特殊点等有关量的条件进行相应计算来分 析解决问题;(3)函数模型法,根据所提供的图象特征,联想 相关函数模型,利用函数模型来分析解决问题.



函数图象的综合应用

【例 3】已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)试写出函数 f(x)的单调区间,并指出其单调性; (2)求集合 M={m|方程 f(x)=mx 有四个不相等的实根}.

【分析】 由图象可确定函数的单调性及单调区间,所以作 出函数图象可解决问题(1);同时作函数 y=mx 的图象,由 函数方程、 不等式之间的关系结合函数图象可直观解决问题 (2).

【解析】 (1)因为 f(x)=|x2-4x+3|
??x-2?2-1 x∈?-∞,1]∪[3,+∞? =? , 2 ?-?x-2? +1 x∈?1,3?

作出图象如图所示.

则 f(x)=|x2-4x+3|的图象如图①. 由图可知,函数 f(x)在区间[1,2],[3,+∞)上单调递增, 在(-∞,1],[2,3]上单调递减.

(2)在同一坐标系中作出函数 y=f(x)与 y=mx 的图象,如 图②. 由图象知,当 y=mx 与 f(x)=-x2+4x-3(1<x<3)有两个 公共点时,方程 f(x)=mx 有四个不同的实数根. 由直线 y=mx 与 y=-x2+4x-3(1<x<3)相切, 即 mx=-x2+4x-3,x2+(m-4)x+3=0 有两相等实根, 得 Δ=(m-4)2-4×3=0 及 1<x<3,所以 m=4-2 3, 所以当 0<m<4-2 3时, 函数 y=f(x)与 y=mx 的图象有四 个不同的公共点,即方程 f(x)=mx 有四个不相等的实根, 故集合 M={m|0<m<4-2 3}.

【点评】利用函数图象来解决方程、不等式的有解问题,既体 现了直观性,又是数形结合思想的应用,正确合理地利用函数 图象可以更为快捷地解决函数、方程、不等式的相关问题.

素材3

(1)(2010· 安徽安庆三模)已知 f(x)是定义域为(-∞, 0)∪(0, +∞)的奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增,f(x)的图象如右 图所示,若 x· [f(x)-f(-x)]<0,则 x 的取值范围是 (0,3) . (2)(2010· 山东东营二模 ) 已知直线 y = x + m 与函数 y = 1-x2 的图象有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 [1, 2) . (-3,0)∪

【解析】(1)因为 f(x)为奇函数, 所以 x· [f(x)-f(-x)]=2x· f(x)<0. 又 f(x)在定义域上的图象如题图, 所以取值范围为(-3,0)∪(0,3). (2)因为函数 y= 1-x2的图象如 下图所示,由图可知 1≤m< 2.

【点评】函数的图象的应用,主要体现在讨论方程的解 的个数问题、求不等式的解集、不等式的恒成立等,注 重数、形之间的转化.

备选例题

当 x∈(1,2)时, 不等式(x-1)2<logax 恒成立, 试求实数 a 的取值范围.

【解析】令 y=(x-1)2,y=logax,在同一坐标系内作出 它们的图象. 若当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立, 则必须在区间(1,2)上函数 y=(x-1)2 的图象在函数 y =logax 的图象的下方,如右图. 此时必须 a>1,且 loga2≥(2-1)2, 解得 a≤2,所以 1<a≤2.即 a 的取值范围是(1,2].

1.作函数图象的常用方法有描点法和变换法, 对前者,要注意对函数性质的研究; 对后者,要熟悉常见的函数图象及图象的变换法则. 2.“识图”问题,能根据给定的函数图象观察 函数的有关性质,如奇偶性、单调性、周期性、 最值或极值等. 3.“用图”问题,由于函数的图象提供了形的直 观性,因而为灵活利用图象处理有关不等式、方程 的解的个数、求参数范围等问题提供了有力的工具.


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