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2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件:第2章 函数与导数—函数表示

时间:2011-04-05


学案1

函数及其表示

1.函数的基本概念 (1)函数定义 设集合A是一个非空的 数集 ,如果按照某种确定

的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x , 在集合 B

中都有 唯一确定 的数f(x)和它对应,那么就称f : A→B
为从集合A到集合B的一个函数,记作 y=f(x),x∈A .

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(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 是集合B的子集. .显然,值域 对应法则 . 相同,并

(3)函数的三要素: 定义域 、
(4)相等函数:如果两个函数的

值域



定义域

且 对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函

数相等的依据.
2.函数的表示法 表示函数的常用方法有: 解析法 、 图象法 和 列表法 . 返回目录

3.映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都 有唯一确定的元素y与之对应,则称对应f:A→B是集合A 到集合B的一个 映射 .

4.由映射的定义可以看出,映射是 函数
A,B必须是 非空数集

概念的推

广, 函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合 .

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考点一 函数的概念 下列四组函数中,f(x)与g(x)是否为同一函数,为什么? 1 (1) f(x)=lgx, g(x)= 2 lgx2; (2) f(x)=x, (3) f(x)= a loga x (4) f(x)=lgx-2, g(x)=

x2 ; , g(x)=logaax;
g(x)=lg x .
100

【分析】 判断两个函数是否为同一函数,关键是判 断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同.如果 有一个不同,它们便不是同一函数. 返回目录

【解析】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)的定义域为(∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (2)函数f(x)的值域为(-∞,+∞),g(x)的值域为[0,+∞),值 域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (3)因为f(x)=x(x>0),g(x)=x(x∈R),定义域不同,故f(x) 与g(x)不是同一函数.

x (4)因为f(x)=lgx-2(x>0),g(x)=lg 100 =lgx-2(x>0),所

以f(x)与g(x)的对应法则、定义域和值域都分别相同 , 故它
们是同一函数. 返回目录

【评析】 (1) 只有当两个函数的定义域和对应法则都 分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是: ①定义域不同,两个函数也就不同. ②对应法则不同,两个函数也是不同的. ③即使定义域和值域都分别相同的两个函数 , 它们也 不一定是同一函数 , 因为函数 的定义域和值域 不能唯一 地确定函数的对应法则. (2)函数的对应法则可以化简,例如题型一 (3) (4) 中的 2 函数,再比如函数f(x)=|x|和g(x)= x ,从表面上看它们的 对应法则不同,但实质上是相同的. (3) 当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域 便随之确定, 所以 , 函数的三要素可简化为定义域、对应 法则两要素. 返回目录

*对应演练*
判断下列各组函数是否为同一函数.
(1) f(x)=x2+2x-1,g(t)=t2+2t-1;

x2 - 1 (2) f(x)= , g(x)=x+1; x -1
(3) f(x) ? (4) f(x)=

?

x · x ? 1,

g(x) ? x 2 ? x ;
g(x)=f-1(x).

x+1 (-1<x<0)
x-1 (0<x<1),

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(1)两函数的定义域 、值域 、对应法则均相同 ,所以
它们是同一函数. x2 - 1 (2)y= =x+1,但x≠1,而y=x+1中x∈R , 所以它们 x -1 不是同一函数. (3)函数f(x)=

x · x ? 1 的定义域为{x|x≥0} ; 而函数

g(x)=

x 2 ? x 的定义域为{x|x≤-1或x≥0} , 它们的定义域

不同,所以不是同一函数. (4)∵g(x)=f-1(x)=

?

x-1,(0<x<1)

x+1,(-1<x<0),

f(x)与g(x)定义域、值域、对应法则分别相同 ,故它 们是同一函数. 返回目录

考点二

映射的概念

下列对应是否为从A到B的映射?

1 (1)A=R,B=R,f:x→y= x ? 1 ;

(2) A ? ?a | a ? N *?, B ? ?b | b ? , n ? N *?, f : a ? b ? ; (3)A={x|x≥0},B=R,f:x→y,y2=x; (4)A={平面α内的矩形},B={平面α内的圆},f:作矩 形的外接圆.

? 1 ? 2

? ?

? ?

1 n

? ?

1 a

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【分析】解此题需要明确以下两点:

①集合A的元素是什么;
②什么是A到B的映射. 【解析】 (1)当x=-1时,y值不存在,所以不是映射. (2)A,B两集合分别用列举法表述为 A= {2,4,6,…},

? 1 1 1 ? B ? ?1, , , ,?,?由对应法则f:a→b= 1 ,是映射. a ? 2 3 4 ?
(3)不是映射,如A中元素1有两个象〒1. (4)是映射. 返回目录

【评析】欲判断对应法则 f : A→B是否是从 A 到 B 的
映射,必须做两点工作:①明确集合A,B中的元素. ②根 据对应法则判断 A中的每个元素是否在 B 中能找到唯一确 定的对应元素.

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*对应演练*
设A={0,1,2,4}, B ? ? 1 ,0,1,2,6,8?下列对应法则能构成 ? ?
A到B的映射的是( C ) A.f:x→x3-1 C.f:x→2x-1 B.f:x→(x-1)2 D.f:x→2x

?2

?

C(由映射的定义知C满足题意.故应选C.)

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考点三

求函数解析式

根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式: (1)

? 1? 2 1 f?x ? ? ? x ? 2 ; x ? x?

(2 )f(x-2)=x2+3x+1;

? 1 ? =3x; (3)f(x)+2 f ? ? ?x?
(4)已知二次函数f(x)满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x).

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【分析】 (1)可用配凑法.

(2)可将x-2看作一个整体,根据函数的定义,寻找 x2 + 3x
+1与x-2的对应关系. 1 (3)因考虑到x与 x 的倒数关系 , 可通过解方程组来求解

析式.
(4)可用待定系数法求解析式,但此题也可采用多种方法.

1 1 又 x ? ≤-2或 x ? ≥2, x x 则f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞).

? 1? 2 1 ? 1? 【解析】 (1)因 f ? x ? ? ? x ? 2 ? ? x ? ? ? 2 x ? x? ? x?

2

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(2)令x-2=t,则x=t+2,代入已知得

f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11,
所以f(x)=x2+7x+11,x∈R.
?1? ? ? (3)由已知f(x)+2f ? x ? =3x.
?x?


x

以 1 代替①中的x,得f ? 1 ? +2f(x)= 3 . ? ? 由①②解得f(x)= 2 -x(x≠0).
x
2

x



(4)解法一:换元法.令3x+1=t,则x= t - 1 . ∴f(t)=9·?
? t -1? ? t -1? -6 ? ? +5=t2-2t+1-2t+2+5=t2-4t+8. ? ? 3 ? ? 3 ?

3

∴f(x)=x2-4x+8. 返回目录

解法二:配凑法.

∵f(3x+1)=9x2-6x+5=(3x+1)2-12x+4=(3x+1)2-(3x+1)+8,
∴f(x)=x2-4x+8. 解法三:待定系数法. 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c. ∵f(3x+1)=9x2-6x+5, ∴9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5. 比较两端系数,得 6a+3b=-6 ? b=-4 a+b+c=5? c=8, ∴f(x)=x2-4x+8. 返回目录

?

9a=9

?

a=1

【评析】(1)求解析式的目标就是求定义域与值域 中对应元素的对应关系式. (2)换元法求解析式时,要注意换元变量范围应保持 一致.例如:已知f(cosx)=cosx,求f(x).可求得f(x)=x,但 此处应有|x|≤1. (3)求解析式的几种常见方法: ①代入法 即已知f(x),g(x),求f(g(x))用代入法,只需将g(x)替换f(x) 中的x即得; ②换元法 已知f(g(x)),g(x),求f(x)用换元法:g(x)=t,解得x=g-1(t), 然后代入f(g(x))中即得f(t),从而求得f(x).当f(g(x))的表达 式较简单时,可用“配凑法”(其实质是换元素); 返回目录

③待定系数法
当函数f(x)类型确定时,可用待定系数法.如:已知f(x)是 一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x). 解析:因为已知f(x)是一次函数,故可设f(x)=ax+b,从而 根据题意列出恒等式,确定a,b的值.

解:设f(x)=ax+b,
则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax =ax+b+5a=2x+17, 所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7;

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④方程组法 方程组法求解析式的实质是用了对称的思想.一般来说, 当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时, 均可用此法.

在解关于f(x)的方程时,可作恰当的变量代换,列出f(x)
的方程组,求得f(x). 如:已知f(x)满足f(x)+2f(-x)=x,求f(x)的解析式. 解:∵f(x)+2f(-x)=x, 用-x替换x得f(-x)+2f(x)=-x. ① ②

联立①②消去f(-x),即得f(x)=-x.
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*对应演练*
根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式: x (1) f( +1)=x+2 x ; (2) f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.

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(1)令t= x +1,∴t≥1,x=(t-1)2.
则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 即f(x)=x2-1,x∈[1,+∞). (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.



?

4a=4



4a+2b=2,

?

a=1

b=-1,

又f(0)=3? c=3,∴f(x)=x2-x+3. 返回目录

考点四

分段函数 x2,x>0

已知函数f(x)=

(1)画出函数的图象; (2)求f(1),f(-1),f[f(-1)]的值.

?

1,x=0 1

- x ,x<0.

【分析】考虑特殊函数的图象在某区间内的形状,特 别要注意区间的端点处.

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【解析】 (1)分别作出f(x)

在x>0,x=0,x<0段上的图象,
如图所示,作法略. (2)f(1)=12=1,f(-1)==1,f[f(-1)]=f(1)=1. 【评析】分段函数的对应关系是借助于几个不同的表 达式来表示的,处理分段函数的问题时,首先要确定自变量
1 ?1

的数值属于哪一个区间段,从而选相应的关系式.对于分段
函数,注意处理好各段的端点. 返回目录

*对应演练*
如图,△OAB是边长为2的正三角形,直线x=t(0≤t≤2)截 这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f(t). (1) 求函数y=f(t)的解析式, 并指明它的定义域; (2) 求函数y=f(t)的值域.

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(1)当0<t≤1时,所截图形是一个直角三角形,其面 1 3 2· 积f(t)= t tan60°= t 2; 2 2 当1<t<2时,所截图形是一个四边形 ,它的面积可 由正三角形OAB的面积减去一个直角三角形的面积来计 算,即

1 1 3 f(t)= · 3 - (2-t)· 2· (2-t)tan60° = 3 (2-t)2; 2 2 2 当t=2时,所截图形即△OAB,f(t)= 3. 3 2 t ,0<t≤1. 2 综上,f(t)= 3 (2-t)2,1<t≤2. 3 2 此函数的定义域为(0,2]. 返回目录

?

(2)当0<t≤1时,0< 当1<t≤2时,
3 < 2

3

3 (2-t)2≤ 2

3t2≤ 2

2

;3 .3

故函数f(t)的值域为(0, 3].

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正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键 . 函数的本质是一种特殊对应关系,它的特殊性在于:(1) 它是非空数集到非空数集的对应;(2)定义域中的每个元 素只有一个函数值;(3)定义域中的每个元素一定有 函数值.确定一个函数需要三个要素:①定义域;②对应法 则 ; ③ 值域.对应法则是规定元素对应关系的法则,它 不一定能够用解析式表示 ,如列表法和图象法表示的函 数.对于 f(x),可以理解为根据对应法则f,自变量x对应的

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函数值;也可以理解为根据对应法则 f 产生的函数f(x). 表示函数时,前面一般加“函数”二字 .列表法、图象法 和解析法是函数最常用的三种表 示方法, 函数的图 象是 直观理解函数性质和 解 决函数问题的有力工 具,注意灵 活使用 . (4) ①对于用几个分段式子表示的分段函数,不 能误认为是几个函数,它是一个整体.对于分段函数,必 须分段处理,最后还要综合写成一个函数表达式;②解决 分段函数的有关问题的关键是“分段归类”.即自变量的 取值属于哪一段范围 ,就用这一段的解析式来解决 问题.

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