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10章3课时空间点、线、面之间的位置关系

时间:2010-11-15


第3课时 空间点、线、面 之间的位置关系

基础知识梳理
1.平面的基本性质 .
名称 图示 文字表示 符号表示

公理 1

如果一条直线 上的 两点 在一 A∈l,B∈l, ∈, ∈, 且A∈α, ∈ , 个平面内, 个平面内,那 B∈α?l?α ∈ ?? 么这条直线在 此平面内

基础知识梳理
名称 公理 2 图示 文字表示 过不在一条直线 的三点, 上的三点,有且 只有一个平面 符号表示

公理 3

如果两个不重合 ∈ , 的平面有一个公 P∈α,且 共点,那么它们 共点,那么它们 P∈β?α∩β ∈ ? ∩ 有且只有一条 过 =l,且P∈l , ∈ 该点的公共直线

基础知识梳理
2.空间两直线的位置关系 空间两直线的位置关系 (1)位置关系的分类 位置关系的分类
有且只有一个 没有 没有

基础知识梳理
(2)平行公理 平行公理 公理4: 公理 :平行于同一直线的两 条直线 互相平行 ——空间平行线 空间平行线 的传递性. 的传递性. (3)等角定理 等角定理 空间中如果两个角的两边分 别对应平行 ,那么这两个角相等 或互补. 或互补.

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(4)异面直线所成的角 异面直线所成的角 是异面直线, 设a、b是异面直线,经过空间任一点 、 是异面直线 O,分别作直线 ∥a,b′∥b,把直线 与b′ ,分别作直线a′∥ , ∥ ,把直线a′与 锐角(或直角)叫做异面直线a、 所成 所成的 锐角(或直角)叫做异面直线 、b所成 的角. 的角. 如果两条异面直线所成的角是 直角,则 称这两条直线互相垂直. 称这两条直线互相垂直.

基础知识梳理
3.直线和平面的位置关系 .
位置关系 图示 符号表 示 公共点 个数

直线l在平面 直线 在平面 α内 内

l?α ?

无数个

基础知识梳理
位置关系 直线l与平面 直线 与平面 α相交 相交 图示 符号表示 l∩α=A = 公共点个 数 一个

直线l与平面 直线 与平面 α平行 平行

l∥α ∥

0个 个

基础知识梳理
4.平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系
位置 关系 两平 面平 行 图示 符号表 示 α∥β ∥ 公共点个 数 0个 个

两平 面相 交

a∩β=l =

无数个(这 无数个 这 些公共点 均在交线l 均在交线 上)

三基能力强化
1.分别在两个平面内的两条直 . 线的位置关系是( ) 线的位置关系是 A.异面 . B.平行 . C.相交 . D.以上都有可能 . 答案: 答案:D

三基能力强化
2.已知a,b是异面直线,直线 .已知 , 是异面直线 是异面直线, c∥直线a,则c与b( ∥直线 , 与 ) A.一定是异面直线 . B.一定是相交直线 . C.不可能是平行直线 . D.不可能是相交直线 . 答案:C 答案:

三基能力强化
3.已知A、B、C表示不同的 .已知 、 、 表示不同的 表示直线, 、 表示不同的平 点,l表示直线,α、β表示不同的平 表示直线 则下列推理错误的是( ) 面,则下列推理错误的是 A.A∈l,A∈α,B∈l, . ∈, ∈ , ∈, B∈α?l?α ∈ ?? B.A∈α,A∈β,B∈α, . ∈ , ∈ , ∈ , B∈β?a∩β=AB ∈ ? = C.l?α,A∈l?A?α .? , ∈? ? D.A∈α,A∈l,l?α?l∩α=A . ∈ , ∈,? ? = 答案: 答案:C

三基能力强化
4.如图所示,在正方体ABCD如图所示,在正方体 如图所示 A1B1C1D1中,异面直线 与B1C1 中 异面直线AC与 . 所成的角为 答案: ° 答案:45° 5.三条直线两两相交,可以确 .三条直线两两相交, 个平面. 定__________个平面. 个平面 答案: 或 答案:1或3

课堂互动讲练
考点一 点共线问题

证明共线问题: 可由两点连 证明共线问题:(1)可由两点连 一条直线, 一条直线,再验证其他各点均在这 条直线上; 可直接验证这些点都 条直线上;(2)可直接验证这些点都 在同一条特定的直线上——两相交 在同一条特定的直线上 两相交 平面的唯一交线, 平面的唯一交线,关键是通过绘出 图形, 图形,作出两个适当的平面或辅助 平面, 平面,证明这些点是这两个平面的 公共点. 公共点.

课堂互动讲练
例1 如图,在四面体ABCD中作截面 如图,在四面体 中作截面 PQR,PQ、CB的延长线交于 ,RQ、 的延长线交于M, 、 , 、 的延长线交于 DB的延长线交于 ,RP、DC的延长线交 的延长线交于N, 、 的延长线交 的延长线交于 求证: 、 、 三点共线 三点共线. 于K.求证:M、N、K三点共线. 求证

课堂互动讲练

【思路点拨】 要证明 、N、K 思路点拨】 要证明M、 、 三点共线,由公理3可知 可知, 三点共线,由公理 可知,只要证明 M、N、K都在平面 、 、 都在平面BCD与平面 与平面PQR 都在平面 与平面 的交线上即可. 的交线上即可.

课堂互动讲练
PQ∩CB= M? ∩ = ? RQ∩DB= N ?? ∩ = ? RP∩DC= K ? ∩ =

证明】 【证明】

M、 N、K∈平面 、 、 ∈平面BCD ? ?? M、 N、K∈平面PQR M、 N、K∈平面PQR ?

M、N、K在平面 、 、 在平面 在平面BCD与平面 与平面PQR 与平面 的交线上, 三点共线. 的交线上,即M、N、K三点共线. 、 、 三点共线

课堂互动讲练

【名师点评】 错误主要出现在 名师点评】 不能正确判断M、 、 所在平面 所在平面. 不能正确判断 、N、K所在平面.

课堂互动讲练
考点二 线共点问题

证明共点问题一般是证明三条 直线交于一点. 直线交于一点.首先证明其中的两 条直线相交于一点, 条直线相交于一点,然后再说明第 三条直线是经过这两条直线的两个 平面的交线,由公理3可知两个平 平面的交线,由公理 可知两个平 面的公共点必在两个平面的交线 即三条直线交于一点. 上,即三条直线交于一点.

课堂互动讲练
例2 如图所示,已知空间四边形 如图所示,已知空间四边形ABCD中, 中 E、H分别是边 、AD的中点,F、G分别 、 分别是边AB、 的中点, 、 分别 分别是边 的中点

CF CG 2 上的点, 求证: 是边 BC、CD 上的点,且 = = ,求证 : 、 CB CD 3

三条直线EF、 、 交于一点 交于一点. 三条直线 、GH、AC交于一点.

课堂互动讲练

【思路点拨】 先证 、F、G、 思路点拨】 先证E、 、 、 H四点共面,再证 、GH交于一 四点共面, 四点共面 再证EF、 交于一 点,然后证明这一点在AC上. 然后证明这一点在 上

课堂互动讲练
【证明】 证明】 分别是AB、 的中点 的中点, ∵E、H分别是 、AD的中点, 、 分别是
1 由中位线定理知, ∴由中位线定理知,EH 綊 BD. 2 CF CG 2 又∵ = = , CB CD 3 2 ∴在△CBD 中, FG∥BD,且 FG= BD. ∥ , = 3

∴由公理4知,EH∥FG,且EH<FG. 由公理 知 ∥ , 四边形EFGH是梯形,EH、FG为上、下 是梯形, 、 为上 为上、 ∴四边形 是梯形 两底. 两底.

课堂互动讲练
∴两腰EF、GH所在直线必相交 两腰 、 所在直线必相交 于一点P. 于一点 ∵P∈直线 ,EF?平面 ∈直线EF, ?平面ABC, , ∴P∈平面ABC.同理可得 ∈平面 ∈平面 同理可得P∈ 同理可得 ADC, , 在平面ABC和平面 和平面ADC的交 ∴P在平面 在平面 和平面 的交 线上. 线上. 又∵面ABC∩面ADC=AC, 面 = , ∴P∈直线AC.故EF、GH、AC三 ∈直线 故 、 、 三 直线交于一点. 直线交于一点.

课堂互动讲练

【思维总结】 证明线共点的方 思维总结】 法一般是先证两条直线相交于一点, 法一般是先证两条直线相交于一点, 然后再证明这一点在第三条直线上, 然后再证明这一点在第三条直线上, 而证明后者, 而证明后者,往往是利用这点在两个 平面的交线上. 平面的交线上.

课堂互动讲练
互动探究 若本例中的其他条件不变, 若本例中的其他条件不变,将比例改 AE CF AH CG 求证: 为 = =2, , = = 3.求证 : 求证 EB FB HD GD EH、FG、BD 三线共点. 三线共点. 、 、

课堂互动讲练
AE CF 证明: 证明:因为 = =2, , EB FB 所以 EF∥AC. ∥ AH CG 又 = =3, , HD GD ∴HG∥AC, ∥ , ∴EF∥HG,且EF>HG. ∥ , 所以四边形EFGH为梯形,设EH 为梯形, 所以四边形 为梯形 交于点P, 与FG交于点 , 交于点 则P∈平面 ∈平面ABD,P∈平面 , ∈平面BCD, , 所以P在两平面的交线 在两平面的交线BD上 所以 在两平面的交线 上, 所以EH、 、 三线共点 三线共点. 所以 、FG、BD三线共点.

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考点三 点、线共面问题

证明若干条线(或若干个点 共面 证明若干条线 或若干个点)共面,一般来 或若干个点 共面, 说有两种途径:一是首先由题目条件中的部 说有两种途径: 分线(或点 确定一个平面,然后再证明其余的 分线 或点)确定一个平面, 或点 确定一个平面 或点)均在这个平面内 线(或点 均在这个平面内;二是将所有元素分 或点 均在这个平面内; 为几个部分,然后分别确定几个平面, 为几个部分,然后分别确定几个平面,再证 这些平面重合.本题最容易忽视“三线共点 三线共点” 这些平面重合.本题最容易忽视 三线共点 这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细 这一种情况.因此,在分析题意时, 推敲问题中每一句话的含义. 推敲问题中每一句话的含义.

课堂互动讲练
例3 如图,在正方体 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 - 分别是棱AA 中,点E、F分别是棱 1、CC1的中 、 分别是棱 求证: 共面. 点,求证:D1、E、F、B共面. 、 、 共面

课堂互动讲练

思路点拨】 连结D 、 【思路点拨】 连结 1E、 D1F→D1E与DG相交,D1F与DC 相交, 与 相交 与 相交→证明两交点与 共线. 证明两交点与B共线 相交 证明两交点与 共线.

课堂互动讲练
【证明】 证明】 线, ∵D1、E、F三点不共 、 三点不共

三点确定一平面α, ∴D1、E、F三点确定一平面 , 、 三点确定一平面 又由题意可知D 与 共面于平面 又由题意可知 1E与DA共面于平面 A1D且不平行,故分别延长 1E、DA 且不平行, 且不平行 故分别延长D 、 相交于G, 相交于 ,则G∈直线 1E?平面 , ∈直线D ?平面α, 与 的 ∴G∈α.同理,设直线D1F与DC的 ∈ 同理,设直线 同理 延长线交于点H, 延长线交于点 ,则H∈平面 ∈平面α.

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课堂互动讲练
又∵点G、B、H均属于平面 、 、 均属于平面 AC,且由题设条件知 为AA1的中点 ,且由题设条件知E为 从而AG= = , 且AE∥DD1,从而 =AD=AB, ∥ ∴△AGB为等腰直角三角形, 为等腰直角三角形, 为等腰直角三角形 ∴∠ABG=45°,同理∠CBH= ∴∠ = ° 同理∠ = 45°, ° ∵∠ABC=90°,从而点 又∵∠ = ° B∈α, ∈ , ∴D1、E、F、B共面. 、 、 共面. 共面

课堂互动讲练

【名师点评】 题中是先说明 名师点评】 D1、E、F确定一平面,再说明 在所 确定一平面, 、 确定一平面 再说明B在所 确定的平面内,也可证明D ∥ , 确定的平面内,也可证明 1E∥BF, 从而说明四点共面. 从而说明四点共面.

课堂互动讲练
考点四 异面直线的判定

证明两直线为异面直线的方法: 证明两直线为异面直线的方法: 1.定义法(不易操作 1.定义法(不易操作). 不易操作). 2.反证法:先假设两条直线不 .反证法: 是异面直线,即两直线平行或相交, 是异面直线,即两直线平行或相交, 由假设的条件出发, 由假设的条件出发,经过严密的推 导出矛盾, 理,导出矛盾,从而否定假设肯定两 条直线异面. 条直线异面.此法在异面直线的判定 中经常用到. 中经常用到.

课堂互动讲练
3.客观题中,也可用下述结论: .客观题中,也可用下述结论: 过平面外一点和平面内一点的直 线,与平面内不过该点的直线是异面直 线,如图. 如图.

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例4 (解题示范 本题满分 解题示范)(本题满分 解题示范 本题满分12 如图所示, 分)如图所示,正方体 如图所示 正方体ABCD -A1B1C1D1中,M、N分别 、 分别 是A1B1、B1C1的中点.问: 的中点. (1)AM和CN是否是异 和 是否是异 面直线?说明理由. 面直线?说明理由. (2)D1B和CC1是否是异 和 面直线?说明理由. 面直线?说明理由.

课堂互动讲练
易证MN∥AC, 【思路点拨】 (1)易证 思路点拨】 易证 ∥ , 所以AM与CN不是异面直线.(2)由图易 不是异面直线. 由图易 所以 与 不是异面直线 是异面直线, 判断D 和 判断 1B和CC1是异面直线,证明时常 用反证法. 用反证法.

课堂互动讲练
不是异面直线. 【解】 (1)不是异面直线.理由: 不是异面直线 理由: 连结MN、A1C1、AC. 连结 、 分别是A 的中点, ∵M、N分别是 1B1、B1C1的中点, 、 分别是 ∴MN∥A1C1. ∥ 4分 分 又∵A1A綊C1C, 綊 , 为平行四边形. ∴A1ACC1为平行四边形. ∴A1C1∥AC,得到 ,得到MN∥AC, ∥ , 在同一平面内, ∴A、M、N、C在同一平面内, 、 、 、 在同一平面内 故AM和CN不是异面直线 和 不是异面直线. 6分 分 不是异面直线

课堂互动讲练
(2)是异面直线.理由: 是异面直线.理由: 是异面直线 是正方体, ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体, - 不共面. 8分 ∴B、C、C1、D1不共面 、 、 分 假设D 与 不是异面直线, 假设 1B与CC1不是异面直线, 则存在平面α, 则存在平面 ,使D1B?平面 , ?平面α, CC1?平面 , 平面α, ∴D1、B、C、C1∈α, 、 、 , ∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体 - 矛盾. 矛盾. 假设不成立, ∴假设不成立,即D1B与CC1是异 与 面直线. 12分 面直线 分

课堂互动讲练

【名师点评】 证明异面直线的 名师点评】 方法中反证法最常用, 方法中反证法最常用,不能把异面直 线误解为: 线误解为:分别在不同平面内的两条 直线为异面直线. 直线为异面直线.

课堂互动讲练
高考检阅 (本题满分 分)由四个 本题满分10分 由四个 本题满分 全等的等边三角形围成的封 闭几何体称为正四面体. 闭几何体称为正四面体.如 在正四面体ABCD中, 图,在正四面体 中 E、F分别是 和AD的中 分别是BC和 的中 、 分别是 点.CF与DE是一对异面直 与 是一对异面直 线,在图中适当地选取一点 作出异面直线CF与DE的平 作出异面直线 与 的平 行线,找出异面直线CF与 行线,找出异面直线 与 DE所成的角. 所成的角. 所成的角

课堂互动讲练
解:选取平面BCF,该 选取平面 , 平面有以下两个特点: 平面有以下两个特点:①该 平面包含直线CF; 平面包含直线 ;②该平面 相交于点E.在平面 与DE相交于点 在平面 相交于点 在平面BCF 过点E作 的平行线交 中,过点 作CF的平行线交 BF于点 ,连结 ,可以看 于点N,连结ND, 于点 出:EN与ED所成的角即为 与 所成的角即为 异面直线FC与 所成的角 所成的角. 异面直线 与ED所成的角 10分 分

规律方法总结
1.公理1反映了平面的本质属 .公理 反映了平面的本质属 通过直线的“直 和 无限延伸 无限延伸”的 性,通过直线的 直”和“无限延伸 的 特性,揭示了平面的“平 和 无限延 特性,揭示了平面的 平”和“无限延 展”的特征.其作用是:(1)检验平 的特征.其作用是: 检验平 的特征 判断直线在平面内; 由直线 面;(2)判断直线在平面内;(3)由直线 判断直线在平面内 在平面内判定直线上的点在平面内. 在平面内判定直线上的点在平面内.

规律方法总结
2.公理2的作用:确定平面的依 .公理 的作用: 的作用 据.它提供了把空间问题转化为平面问 题的条件.例如:三点确定几个平面? 题的条件.例如:三点确定几个平面? 当三点共线时,三点确定无数个平面; 当三点共线时,三点确定无数个平面; 当三点不共线时,确定一个平面, 当三点不共线时,确定一个平面,所以 三点确定一个或无数个平面. 三点确定一个或无数个平面. 公理2中的 有且只有一个”包含两 中的“有且只有一个 公理 中的 有且只有一个 包含两 层含义: 说明平面的存在性; 层含义:(1)“有”说明平面的存在性; 有 说明平面的存在性 (2)“只有一个 说明平面的唯一性. 只有一个”说明平面的唯一性 只有一个 说明平面的唯一性.

规律方法总结
3.公理3进一步反映了平面的延展 .公理 进一步反映了平面的延展 其作用是: 判定两平面相交 判定两平面相交; 性.其作用是:(1)判定两平面相交; (2)作两平面相交的交线 当知道两个平 作两平面相交的交线(当知道两个平 作两平面相交的交线 面的两个公共点时, 面的两个公共点时,这两点的连线就是 交线);(3)证明多点共线 证明多点共线(如果几个点都 交线);(3)证明多点共线(如果几个点都 是某两个平面的公共点, 是某两个平面的公共点,则这几个点都 在这两个平面的交线上). 在这两个平面的交线上 .

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