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江苏省扬州中学2016-2017学年高二上学期12月月考数学试卷Word版含解析

时间:2019-05-14

2016-2017 学年江苏省扬州中学高二(上)12 月月考数学试卷

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.) 1.命题“? x∈R,x2+2>0”的否定是 命题.(填“真”或“假”之一)

2.双曲线

的两条渐近线方程为 .

3.m=﹣1 是直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直的 件,充分条件,必要条件,非充分非必要条件) 4.已知函数 f(x)=x2﹣2xf′(﹣1),则 f′(﹣1)= .

(充要条

5.若抛物线 y2=8x 的焦点 F 与双曲线 ﹣ =1 的一个焦点重合,则 n 的值

为. 6.已知函数 f(x)=x+asinx 在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围 是. 7.若函数 f(x)=lnx+ax2﹣(a+2)x 在 处取得极大值,则正数 a 的取值范围 是. 8.若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线 C,离心率为 ,且过点(2, 3),则曲线 C 的方程为 . 9.在平面直角坐标系 xOy 中,记曲线 y=2x﹣ .(m∈R,m≠﹣2)在 x=1 处的 切线为直线 l,若直线 l 在两坐标轴上的截距之和为 12,则 m 的值为 . 10.设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时, xf′(x)﹣f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是 . 11.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=9,直线 l: y=kx+3 与圆 C 相交于 A,B 两点,M 为弦 AB 上一动点,以 M 为圆心,2 为半径 的圆与圆 C 总有公共点,则实数 k 的取值范围为 .

12.双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 y= x 与双曲线相交

于 A、B 两点.若 AF⊥BF,则双曲线的渐近线方程为 .

13.已知函数 f(x)=ex﹣1+x﹣2(e 为自然对数的底数).g(x)=x2﹣ax﹣a+3.若 存在实数 x1,x2,使得 f(x1)=g(x2)=0.且|x1﹣x2|≤1,则实数 a 的取值范围 是. 14.设函数 f(x)=|ex﹣e2a|,若 f(x)在区间(﹣1,3﹣a)内的图象上存在两 点,在这两点处的切线互相垂直,则实数 a 的取值范围是 .

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)

15.(14 分)已知命题 p:函数

在(﹣∞,+∞)上有

极值,命题 q:双曲线

的离心率 e∈(1,2).若 p∨q 是真命题,p

∧q 是假命题,求实数 a 的取值范围.
16.(14 分)设函数 f(x)= ﹣klnx,k>0.
(1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, ]上仅有一个零点. 17.(14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x2+y2﹣4x=0 及点 A (﹣1,0),B(1,2) (1)若直线 l 平行于 AB,与圆 C 相交于 M,N 两点,MN=AB,求直线 l 的方程; (2)在圆 C 上是否存在点 P,使得 PA2+PB2=12?若存在,求点 P 的个数;若不 存在,说明理由.

18.(16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:



左顶点为 A,与 x 轴平行的直线与椭圆 E 交于 B、C 两点,过 B、C 两点且分别与 直线 AB、AC 垂直的直线相交于点 D.已知椭圆 E 的离心率为 ,右焦点到右准

线的距离为 . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明点 D 在一条定直线上运动,并求出该直线的方程; (3)求△BCD 面积的最大值.
19.(16 分)如图所示,有一块矩形空地 ABCD,AB=2km,BC=4km,根据周边 环境及地形实际,当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区 AEFG,筝形的顶 点 A,E,F,G 为商业区的四个入口,其中入口 F 在边 BC 上(不包含顶点), 入口 E,G 分别在边 AB,AD 上,且满足点 A,F 恰好关于直线 EG 对称,矩形内 筝形外的区域均为绿化区. (1)请确定入口 F 的选址范围; (2)设商业区的面积为 S1,绿化区的面积为 S2,商业区的环境舒适度指数为 , 则入口 F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大?
20.(16 分)设函数 f(x)=lnx﹣ax(a∈R). (1)若直线 y=3x﹣1 是函数 f(x)图象的一条切线,求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在[1,e2]上的最大值为 1﹣ae(e 为自然对数的底数),求 实数 a 的值;

(3)若关于 x 的方程 ln(2x2﹣x﹣3t)+x2﹣x﹣t=ln(x﹣t)有且仅有唯一的实数 根,求实数 t 的取值范围.

2016-2017 学年江苏省扬州中学高二(上)12 月月考数 学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.) 1.命题“? x∈R,x2+2>0”的否定是 假 命题.(填“真”或“假”之一) 【考点】特称命题. 【分析】先判断原命题的真假性,根据原命题与命题的否定真假相反的原则即可 判断命题的否定的真假 【解答】解:∵x2+2≥2 ∴命题“? x∈R,x2+2>0”是真命题 ∴原命题的否定是假命题 故答案为:假 【点评】有些命题的真假难以判断时,不防以怀疑的眼光看问题,用正难则反思 想走到它的“背后”考虑问题.是个基础题

2.双曲线

的两条渐近线方程为



【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最 后确定双曲线的渐近线方程.

【解答】解:∵双曲线

的 a=4,b=3,焦点在 x 轴上

而双曲线

的渐近线方程为 y=± x

∴双曲线

的渐近线方程为

故答案为: 【点评】本题考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐 近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想

3.m=﹣1 是直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直的 充分条件 (充 要条件,充分条件,必要条件,非充分非必要条件) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由题设条件,可分两步研究本题,先探究 m=﹣1 时直线 mx+(2m﹣1) y+1=0 和直线 3x+my+3=0 互相垂直是否成立,再探究直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 互相垂直时 m 的可能取值,再依据充分条件必要条件做出判 断,得出答案. 【解答】解:当 m=﹣1 时,两直线的方程 mx+(2m﹣1)y+1=0,与 3x+my+3=0, 化为﹣x﹣3y+1=0 和 3x﹣y+3=0, 可得出此两直线是垂直的, 当两直线垂直时, ①当 m=0 时,符合题意,

②当 m≠0 时,两直线的斜率分别是﹣

与 ,由两直线垂直得﹣

得 m=﹣1,
由上知,“m=﹣1”可得出直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直; 由直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直”可得出 m=﹣1 或 m=0, 所以 m=1 是直线 mx+(2m﹣1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直的充分不必要条件 故答案为:充分条件. 【点评】本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件,解题的关键是 理解充分条件与必要条件的定义及两直线垂直的条件,本题的难点是由两直线垂 直得出参数 m 的取值,此处也是一易错点,易忘记验证斜率不存在的情况,导 致判断失误.

4.已知函数 f(x)=x2﹣2xf′(﹣1),则 f′(﹣1)=



【考点】导数的运算. 【分析】根据函数的导数公式进行求解即可. 【解答】解:∵f(x)=x2﹣2xf′(﹣1), ∴f′(x)=2x﹣2f′(1), 令 x=﹣1,则 f′(﹣1)=﹣2﹣2f′(﹣1), 则 f′(﹣1)= ,
故答案为 . 【点评】本题主要考查函数值的计算,根据函数的导数公式进行求解是解决本题 的关键.比较基础.

5.若抛物线 y2=8x 的焦点 F 与双曲线 ﹣ =1 的一个焦点重合,则 n 的值为

1. 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求得抛物线的焦点为(2,0),由双曲线的 a,b,c 的关系,可得 =2,解方程可得 n=1. 【解答】解:抛物线 y2=8x 的焦点 F 为(2,0),

双曲线 ﹣ =1 的右焦点为( ,0),

由题意可得,

=2,

解得 n=1,

故答案为:1.

【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点和 a,

b,c 的关系,属于基础题.

6.已知函数 f(x)=x+asinx 在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围 是 [﹣1,1] . 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】函数在区间单调递增,则导函数在该区间的值大于等于 0 恒成立,在通

过换主元求参数范围. 【解答】解:∵函数 f(x)=x+asinx 在(﹣∞,+∞)上单调递增 ∴函数 f(x)的导函数 f′(x)=1+a?cosx≥0 在(﹣∞,+∞)上恒成立, 令 cosx=t,t∈[﹣1,1], 问题转化为 g(t)=at+1≥0 在 t∈[﹣1,1]上恒成立, 即 g(﹣1)≥0,g(1)≥0 成立,所以﹣1≤t≤1. 故答案为:[﹣1,1]. 【点评】本题考查了利用函数单调性求参数范围,同时也考查了恒成立中求参数 的基本方法.

7.若函数 f(x)=lnx+ax2﹣(a+2)x 在 处取得极大值,则正数 a 的取值范围

是 (0,2) . 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而求出 函数的极值点,结合已知条件,判断即可. 【解答】解:f(x)的定义域是(0,+∞),

f′(x)= +2ax﹣(a+2)=



①a≤0 时,ax﹣1<0,

令 f′(x)>0,解得:x> ,令 f′(x)<0,解得:0<x< ,

故 是函数的极小值点,不合题意,

②0<a<2 时, < ,

令 f′(x)>0,解得:x< 或 x> ,

令 f′(x)<0,解得: <x< ,

∴f(x)在(0, )递增,在( , )递减,在( ,+∞)递增,

∴函数 f(x)在 处取得极大值,符合题意, ③a=2 时,f′(x)≥0,f(x)递增,无极值,

④a>2 时, > ,
令 f′(x)>0,解得:x> 或 x< ,
令 f′(x)<0,解得: <x< ,
∴f(x)在(0, )递增,在( , )递减,在( ,+∞)递增,
∴函数 f(x)在 x= 处取得极大值,不符合题意, 综上,a∈(0,2), 故答案为:(0,2). 【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用以及分类讨论思 想,是一道中档题.
8.若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线 C,离心率为 ,且过点(2, 3),则曲线 C 的方程为 y2﹣x2=5 . 【考点】双曲线的标准方程. 【分析】由双曲线得离心率可知为等轴双曲线,故设所求双曲线的标准方程为 x2﹣y2=λ(λ≠0),把点 P 的坐标代入即可得出. 【解答】解:∵离心率为 , ∴a=b, ∴双曲线为等轴双曲线, 故设所求双曲线的标准方程为 x2﹣y2=λ(λ≠0), 又点 P(2,3)在双曲线上,则 λ=4﹣9=﹣5, ∴所求双曲线的标准方程为 x2﹣y2=﹣5, 即 y2﹣x2=5. 故答案为:y2﹣x2=5 【点评】本题着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.
9.在平面直角坐标系 xOy 中,记曲线 y=2x﹣ .(m∈R,m≠﹣2)在 x=1 处的 切线为直线 l,若直线 l 在两坐标轴上的截距之和为 12,则 m 的值为 ﹣3 或﹣

4. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由题意求导 y′=2+ ,从而求出切线方程,从而求出截距而得到﹣
2m+ =12,从而解得.
【解答】解:∵y=2x﹣ ,∴y′=2+ ; 故当 x=1 时,y=2﹣m,y′=2+m; 故直线 l 的方程为 y=(2+m)(x﹣1)+2﹣m; 令 x=0 得,y=﹣(2+m)+2﹣m=﹣2m; 令 y=0 得,x= +1= ;
故﹣2m+ =12, 解得,m=﹣3 或 m=﹣4. 故答案为:﹣3 或﹣4. 【点评】本题考查了导数的几何意义的应用及直线的方程的应用,属于中档题.

10.设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时, xf′(x)﹣f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是 (﹣∞,﹣1) ∪(0,1) . 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【分析】构造函数 g(x)= ,利用 g(x)的导数判断函数 g(x)的单调性 与奇偶性, 画出函数 g(x)的大致图象,结合图形求出不等式 f(x)>0 的解集. 【解答】解:设 g(x)= ,则 g(x)的导数为:

g′(x)=



∵当 x>0 时总有 xf′(x)<f(x)成立, 即当 x>0 时,g′(x)恒小于 0, ∴当 x>0 时,函数 g(x)= 为减函数,

又∵g(﹣x)=

=

= =g(x),

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数

又∵g(﹣1)=

=0,

∴函数 g(x)的大致图象如图所示: 数形结合可得,不等式 f(x)>0?x?g(x)>0

?





?0<x<1 或 x<﹣1. ∴f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(0,1). 故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(0,1).

【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性,并由函数的奇偶性和单调性解 不等式的应用问题,是综合题目.
11.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=9,直线 l: y=kx+3 与圆 C 相交于 A,B 两点,M 为弦 AB 上一动点,以 M 为圆心,2 为半径 的圆与圆 C 总有公共点,则实数 k 的取值范围为 [﹣ ,+∞) . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总有公共点,只要求点 M 在弦的中点 上满足,其它的点都满足,即圆心 C 到直线的距离+2≥3,从而可得实数 k 的取 值范围.

【解答】解:以 M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总有公共点,只要求点 M 在弦 的中点上满足,其它的点都满足, 即圆心 C 到直线的距离 d+2≥3,

所以

+2≥3,

所以 k≥﹣ . 故答案为:[﹣ ,+∞). 【点评】本题考查实数 k 的取值范围,考查直线与圆,圆与圆的位置关系,比较 基础.

12.双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 y= x 与双曲线相交
于 A、B 两点.若 AF⊥BF,则双曲线的渐近线方程为 y=±2x . 【考点】双曲线的简单性质. 【 分 析 】 求 得 双 曲 线 的 右 焦 点 , 将 直 线 y= x 代 入 双 曲 线 方 程 , 求 得

x2=

,则设 A(x, ),B(﹣x,﹣ ), =(x﹣c, ), =

(﹣x﹣c,﹣ ),由 ? =0,根据向量数量积的坐标表示,求得 c2= x2, 由双曲线的方程可知:c2=a2+b2,代入即可求得(b2﹣4a2)(9b2+4a2)=0,则可 知 b2﹣4a2=0,即可求得 b=2a,根据双曲线的渐近线方程可知:y=± x=±2x.

【解答】解:由题意可知:双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)焦点在 x 轴上,右 焦点 F(c,0),



,整理得:(9b2﹣16a2)x2=9a2b2,即 x2=



∴A 与 B 关于原点对称,设 A(x, ),B(﹣x,﹣ ),

=(x﹣c, ), =(﹣x﹣c,﹣ ), ∵AF⊥BF, ∴ ? =0,即(x﹣c)(﹣x﹣c)+ ×(﹣ )=0, 整理得:c2= x2,

∴a2+b2= ×

,即 9b4﹣32a2b2﹣16a4=0,

∴(b2﹣4a2)(9b2+4a2)=0, ∵a>0,b>0, ∴9b2+4a2≠0, ∴b2﹣4a2=0, 故 b=2a,
双曲线的渐近线方程 y=± x=±2x,
故答案为:y=±2x. 【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系,向量数量积的坐标表示,向量垂直 的充要条件,双曲线的渐近线方程,考查计算能力,属于中档题.

13.已知函数 f(x)=ex﹣1+x﹣2(e 为自然对数的底数).g(x)=x2﹣ax﹣a+3.若 存在实数 x1,x2,使得 f(x1)=g(x2)=0.且|x1﹣x2|≤1,则实数 a 的取值范围 是 [2,3] . 【考点】函数与方程的综合运用. 【分析】求出函数 f(x)的导数,可得 f(x)递增,解得 f(x)=0 的解为 1,由 题意可得 x2﹣ax﹣a+3=0 在 0≤x≤2 有解,
即有 a= =(x+1)+ ﹣2 在 0≤x≤2 有解,求得(x+1)+ ﹣2 的范围,
即可得到 a 的范围. 【解答】解:函数 f(x)=ex﹣1+x﹣2 的导数为 f′(x)=ex﹣1+1>0, f(x)在 R 上递增,由 f(1)=0,可得 f(x1)=0,解得 x1=1, 存在实数 x1,x2,使得 f(x1)=g(x2)=0.且|x1﹣x2|≤1, 即为 g(x2)=0 且|1﹣x2|≤1,

即 x2﹣ax﹣a+3=0 在 0≤x≤2 有解, 即有 a= =(x+1)+ ﹣2 在 0≤x≤2 有解, 令 t=x+1(1≤t≤3),则 t+ ﹣2 在[1,2]递减,[2,3]递增, 可得最小值为 2,最大值为 3, 则 a 的取值范围是[2,3]. 故答案为:[2,3]. 【点评】本题考查导数的运用:求单调性和极值、最值,考查参数分离法和运算 能力,属于中档题.
14.设函数 f(x)=|ex﹣e2a|,若 f(x)在区间(﹣1,3﹣a)内的图象上存在两 点,在这两点处的切线互相垂直,则实数 a 的取值范围是 (﹣ , ) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出函数 f(x)的表达式,利用数形结合,结合导数的几何意义进行求 解即可. 【 解 答 】 解 : 当 x ≥ 2a 时 , f ( x ) =|ex ﹣ e2a|=ex ﹣ e2a , 此 时 为 增 函 数 ,
当 x<2a 时,f(x)=|ex﹣e2a|=﹣ex+e2a,此时为减函数, 即当 x=2a 时,函数取得最小值 0, 设两个切点为 M(x1,f(x1)),N((x2,f(x2)), 由图象知,当两个切线垂直时,必有,x1<2a<x2, 即﹣1<2a<3﹣a,得﹣ <a<1, ∵k1k2=f′(x1)f′(x2)=ex1?(﹣ex2)=﹣ex1+x2=﹣1,

则 ex1+x2=1,即 x1+x2=0, ∵﹣1<x1<0,∴0<x2<1,且 x2>2a, ∴2a<1,解得 a< ,
综上﹣ <a< ,
故答案为:(﹣ , ). 【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用,利用数形结合以及直线垂直的性 质是解决本题的关键,属于中档题..

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(14 分)(2015 秋?常州期末)已知命题 p:函数

在(﹣∞,+∞)上有极值,命题 q:双曲线

的离心率 e∈(1,2).若

p∨q 是真命题,p∧q 是假命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】分别求出 p,q 为真时的 a 的范围,由于命题“p∧q”为假命题,“p∨q” 为真命题,可得 p 与 q 必然一真一假.即可得出. 【解答】解:命题 p:f′(x)=3x2+2ax+a+ , ∵函数 f(x)在(﹣∞,+∞)上有极值, ∴f′(x)=0 有两个不等实数根, ∴△=4a2﹣4×3(a+ )=4a2﹣4(3a+4)>0, 解得 a>4 或 a<﹣1;

命题 q:双曲线

的离心率 e∈(1,2),为真命题,



∈(1,2),解得 0<a<15.

∵命题“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题, ∴p 与 q 必然一真一假,







解得:a≥15 或 0<a≤4 或 a<﹣1. 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性极值、一 元二次方程有实数根与判别式的关系以及双曲线的性质,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题.

16.(14 分)(2015?北京)设函数 f(x)= ﹣klnx,k>0. (1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, ]上仅有一个零点. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】(1)利用 f'(x)≥0 或 f'(x)≤0 求得函数的单调区间并能求出极值; (2)利用函数的导数的极值求出最值,利用最值讨论存在零点的情况. 【解答】解:(1)由 f(x)=

f'(x)=x﹣

由 f'(x)=0 解得 x=

f(x)与 f'(x)在区间(0,+∞)上的情况如下:

X

(0, )

f'(x)



0

f(x)







+



所以,f(x)的单调递增区间为( f(x)在 x= 处的极小值为 f( )=

),单调递减区间为(0, ); ,无极大值.

(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为 f( )=



因为 f(x)存在零点,所以

,从而 k≥e

当 k=e 时,f(x)在区间(1, )上单调递减,且 f( )=0 所以 x= 是 f(x)在区间(1, )上唯一零点.

当 k>e 时,f(x)在区间(0, )上单调递减,且



所以 f(x)在区间(1, )上仅有一个零点. 综上所述,若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, ]上仅有一个零点. 【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用,在高考中属于 常见题型.

17.(14 分)(2016 秋?江苏期中)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C: x2+y2﹣4x=0 及点 A(﹣1,0),B(1,2) (1)若直线 l 平行于 AB,与圆 C 相交于 M,N 两点,MN=AB,求直线 l 的方程; (2)在圆 C 上是否存在点 P,使得 PA2+PB2=12?若存在,求点 P 的个数;若不 存在,说明理由.

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】(1)求出圆心 C 到直线 l 的距离,利用勾股定理建立方程,即可求直 线 l 的方程; (2)求出 P 的轨迹方程,利用两圆的位置关系,即可得出结论. 【解答】解:(1)圆 C 的标准方程为(x﹣2)2+y2=4,所以圆心 C(2,0),半 径为 2.

因为 l∥AB,A(﹣1,0),B(1,2),所以直线 l 的斜率为



设直线 l 的方程为 x﹣y+m=0,…(2 分)

则圆心 C 到直线 l 的距离为

.…

因为





,所以

,…

解得 m=0 或 m=﹣4, 故直线 l 的方程为 x﹣y=0 或 x﹣y﹣4=0.…(8 分)

(2)假设圆 C 上存在点 P,设 P(x,y),则(x﹣2)2+y2=4, PA2+PB2=(x+1)2+(y﹣0)2+(x﹣1)2+(y﹣2)2=12, 即 x2+y2﹣2y﹣3=0,即 x2+(y﹣1)2=4,…(10 分)

因为

,…(12 分)

所以圆(x﹣2)2+y2=4 与圆 x2+(y﹣1)2=4 相交, 所以点 P 的个数为 2.…(14 分) 【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法,考查了圆与圆的位置关系,是中档 题.

18.(16 分)(2015?泰州二模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:
的左顶点为 A,与 x 轴平行的直线与椭圆 E 交于 B、C 两点,
过 B、C 两点且分别与直线 AB、AC 垂直的直线相交于点 D.已知椭圆 E 的离心 率为 ,右焦点到右准线的距离为 . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明点 D 在一条定直线上运动,并求出该直线的方程; (3)求△BCD 面积的最大值.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.

【分析】(1)利用



,计算即可;

(2)通过设 B、C 点坐标、写出直线 AB、AC、BD、CD 的斜率,联立直线 BD、 CD 的方程,计算即可; (3)通过计算可得点 D 的纵坐标,进而可得点 D 到直线 BC 的距离,利用三角 形的面积公式及基本不等式即得结论.

【解答】(1)解:由题意得





解得



∴b2=a2﹣c2=4,

∴椭圆 E 的标准方程为



(2)证明:设 B(x0,y0),C(﹣x0,y0),显然直线 AB,AC,BD,CD 的斜率 都存在,

设为 k1,k2,k3,k4,则





∴直线 BD,CD 的方程为:



消去 y 得:



化简得 x=3,故点 D 在定直线 x=3 上运动.

(3)解:由(2)得点 D 的纵坐标为



又∵

,∴







∴点 D 到直线 BC 的距离 h=



将 y=y0 代入

,得



∴△BCD 面积

=



当且仅当

,即

时等号成立,



时,△BCD 面积的最大值为 .

【点评】本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的 面积计算等基础知识,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

19.(16 分)(2016 秋?盐城期中)如图所示,有一块矩形空地 ABCD,AB=2km, BC=4km,根据周边环境及地形实际,当地政府规划在该空地内建一个筝形商业 区 AEFG,筝形的顶点 A,E,F,G 为商业区的四个入口,其中入口 F 在边 BC 上 (不包含顶点),入口 E,G 分别在边 AB,AD 上,且满足点 A,F 恰好关于直线 EG 对称,矩形内筝形外的区域均为绿化区. (1)请确定入口 F 的选址范围;
(2)设商业区的面积为 S1,绿化区的面积为 S2,商业区的环境舒适度指数为 ,
则入口 F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大?

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立如图所示平面直角坐标系, 则 A(0,0),设 F(2,2a)(0<2a<4),则 AF 的中点为(1,a),斜率为 a,EG⊥AF,求出 EG 的方程,列出不等式即可求出;

(2)因为

,该商业区的环境舒适度

指数

,所以要使 最大,只需 S1 最小.转化

为求其最小值. 【解答】解:(1)以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,建立如图所示平面直角坐 标系,则 A(0,0), 设 F(2,2a)(0<2a<4),则 AF 的中点为(1,a),斜率为 a, 而 EG⊥AF,故 EG 的斜率为 ,

则 EG 的方程为



令 x=0,得



令 y=0,得





,得







即入口 F 的选址需满足 BF 的长度范围是

(2)因为

故该商业区的环境舒适度指数

(单位:km). ,


所以要使 最大,只需 S1 最小.









令 f'(a)=0,得



(舍),

a,f'(a),f(a)的情况如下表:

a

2﹣

(2﹣ , )

1

f'(a)



0

+

f(a)



故当

,即入口 F 满足

极小



km 时,该商业区的环境舒适度指数最大.

【点评】本题主要考查了直角坐标系在应用题中的应用,考查了利用导数研究函 数单调性与函数最值,属中等题.
20.(16 分)(2016 秋?盐城期中)设函数 f(x)=lnx﹣ax(a∈R). (1)若直线 y=3x﹣1 是函数 f(x)图象的一条切线,求实数 a 的值; (2)若函数 f(x)在[1,e2]上的最大值为 1﹣ae(e 为自然对数的底数),求 实数 a 的值; (3)若关于 x 的方程 ln(2x2﹣x﹣3t)+x2﹣x﹣t=ln(x﹣t)有且仅有唯一的实数 根,求实数 t 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】(1)求出原函数的导函数,得到 x= ,求出 f( )=ln ﹣ , 代入直线 y=3x﹣1 求得 a 值; (2)求出原函数的导函数,然后对 a 分类得到函数在[1,e2]上的单调性,并进 一步求出函数在[1,e2]上的最大值,由最大值等于 1﹣ae 求得 a 值; (3)把 ln(2x2﹣x﹣3t)+x2﹣x﹣t=ln(x﹣t)转化为 ln(2x2﹣x﹣3t) (2x2
﹣x﹣3t)=ln(x﹣t) (x﹣t),构造函数 g(x)=lnx+ ,则 g(x)在(0,

+∞)上是增函数,得到

,画出图形,数形结合得答案.

【解答】解:(1)由 f(x)=lnx﹣ax,得 f′(x)= =3,

∴x= ,则 f( )=ln ﹣ ,

∴ln ﹣ =

,得 ln =0,即 a=﹣2;

(2)f′(x)= ,

当 a≤ 时,f′(x)≥0 在[1,e2]上恒成立,故 f(x)在[1,e2]上为增函数,

故 f(x)的最大值为 f(e2)=2﹣ae2=1﹣ae,得

(舍);

当 <a<1 时,若 x∈[1, ],f′(x)>0,x∈[ 故 f(x)在[1,e2]上先增后减,故 由﹣lna﹣1=1﹣ae,a 无解;

],f′(x)<0,



时,f(x)max=﹣a=1﹣ae,得 a= ;

当 a≥1 时,故当 x∈[1,e2]时,f′(x)≤0,f(x)是[1,e2]上的减函数, 故 f(x)max=f(1)=﹣a=1﹣ae,得 a= (舍); 综上,a= ;

(3)ln(2x2﹣x﹣3t)+x2﹣x﹣t=ln(x﹣t)?ln(2x2﹣x﹣3t) (2x2﹣x﹣3t)

=ln(x﹣t) (x﹣t),

令 g(x)=lnx+ ,则 g(x)在(0,+∞)上是增函数, 又 g(2x2﹣x﹣3t)=g(x﹣t), ∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t? 2(x2﹣x﹣t)=0,



?



作出图象如图:由图可知,实数 t 的取值范围是 t=﹣ 或 0<t<2.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性考查了利用导数求函数的最值,考 查数学转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法,难度较大.


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