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2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练6 三角函数的图象和性质 理

时间:2013-03-23


训练 6
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

三角函数的图象和性质

(时间:45 分钟 满分:75 分)

3 ?π ? 1.(2012·东北三省四市二次调研)已知 α ∈? ,π ?,tan α =- ,则 sin(α +π )等于 4 ?2 ? ( A. 3 5 3 B.- 5 4 C. 5 4 D.- 5 ).

π 2.设函数 y=3sin(2x+φ )(0<φ <π ,x∈R)的图象关于直线 x= 对称,则 φ 等于 3 ( A. π 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6 ).

3.(2012·浙江)把函数 y=cos 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是( ).

4.(2012·肇庆一模)已知函数 f(x)=(cos 2xcos x+sin 2x·sin x)sin x,x∈R,则 f(x) 是( ).

A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 5.(2012·北京西城区一模)已知函数①y=sin x+cos x,②y=2 2sin xcos x,则下列 结论正确的是( ).

? π ? A.两个函数的图象均关于点?- ,0?成中心对称图形 ? 4 ?

1

π B.两个函数的图象均关于直线 x=- 成轴对称图形 4

? π π? C.两个函数在区间?- , ?上都是单调递增函数 ? 4 4?
D.两个函数的最小正周期相同 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2011·江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 θ 2 5 终边上的一点,且 sin θ =- ,则 y=________. 5 7.将函数 y = 2sin 2x 的图象向右平移 ________. π 个单位后,其图象的一条对称轴方程可以是 6

?x ? 8.(2012·湖北八校第二次联考)函数 f(x)=cos? +φ ? ?3 ?
(0<φ <2π )在区间(-π ,π )上单调递增,则实数 φ 的取值范围为________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)(2012·西安八校联考)已知 f(x)=sin x+ 3sin xcos x+2cos x,x∈R,求 f(x) 的最小正周期和它的单调增区间. π? π? ? ? 2 10.(12 分)(2012·天津)已知函数 f(x)=sin?2x+ ?+sin?2x- ?+2cos x-1,x∈R. 3? 3? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期;
2 2

? π π? (2)求函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
11.(12 分)(2012·潍坊教学质量检测)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(x∈R,A>0,ω >0,0 π <φ < )的部分图象如图所示. 2

(1)求 f(x)的解析式;

? ? π ??2 ? π π? (2)设 g(x)=?f?x- ?? ,求函数 g(x)在 x∈?- , ?上的最大值,并确定此时 x 的 ? ? 12?? ? 6 3?
值. 参考答案
2

训练 6 三角函数的图象和性质 3 3 1.B [由题意可知,sin α = ,sin(α +π )=-sin α =- .故选 B.] 5 5 π π π 2.D [由题意知,2× +φ =kπ + (k∈Z),所以 φ =kπ - (k∈Z),又 0<φ <π . 3 2 6 5π 故当 k=1 时,φ = ,选 D.] 6 3.A [变换后的三角函数为 y=cos(x+1),结合四个选项可得 A 正确.] 1 ?1-cos 2x? 4.A [f(x)= sin 2xcos 2x+sin2x? ? 2 2 ? ? 1 1 1 = sin 2xcos 2x- sin 2xcos 2x+ sin 2x 2 2 2 1 = sin 2x, 2 故 f(x)的最小正周期为 π ,又是奇函数.]

? π? 5.C [由于 y=sin x+cos x= 2sin ?x+ ?,y=2 2sin xcos x= 2sin 2x.对于 A、 4? ?
π ? π? B 选项,当 x=- 时,y= 2sin?x+ ?=0,y= 2sin 2x=- 2,因此函数 y=sin x 4? 4 ? π ? π ? +cos x 的图象关于点?- ,0?成中心对称图形、不关于直线 x=- 成轴对称图形, 4 ? 4 ? π ? π ? 函数 y=2 2sin xcos x 的图象不关于点?- ,0?成中心对称图形、 关于直线 x=- 成 4 ? 4 ? 轴对称图形,故 A、B 选项均不正确;对于 C 选项,结合图象可知,这两个函数在区间

?-π ,π ?上都是单调递增函数,因此 C 正确;对于 D 选项,函数 y= 2sin?x+π ?的 ? 4 4? ? 4? ? ? ? ?
最小正周期是 2π ,y= 2sin 2x 的最小正周期是 π ,D 不正确.综上所述,选 C.] 2 5 y y 2 2 2 6.解析 先计算 r= x +y = 16+y ,且 sin θ =- ,所以 sin θ = = = 2 5 r 16+y 2 5 - ,∴θ 为第四象限角,则 y=-8. 5 答案 -8 π ? π? 7. 解析 依题意得, 将函数 y= 2sin 2x 的图象向右平移 个单位得到 y= 2 sin 2?x- ? 6? 6 ? π? π π 5π kπ ? = 2sin?2x- ?的图象.令 2x- =kπ + (k∈Z),得 x= + ,k∈Z,即其图 3? 3 2 12 2 ? 5π kπ 象的一条对称轴方程可以是 x= + ,其中 k∈Z. 12 2

3

5π 5π kπ 答案 x= (符合 x= + ,k∈Z 即可) 12 12 2 8.解析 令-π +2kπ ≤ +φ ≤2kπ (k∈Z), 3 得 6kπ -3π -3φ ≤x≤6kπ -3φ ,k∈Z.
?6kπ -3φ ≥π , ? ∵f(x)在(-π ,π )上单调递增,∴? ? ?6kπ -3π -3φ ≤-π .

x

2 π ∴2kπ - π ≤φ ≤2kπ - (k∈Z). 3 3 5 ? 4 5 ?4 又∵0<φ <2π ,∴令 k=1,得 π ≤φ ≤ π ,即实数 φ 的取值范围为? π , π ?. 3 ? 3 3 ?3 答案 ?

?4π ,5π ? ? 3 ? ? 3
3 1+cos 2x 3 π π 3 sin 2x+ = +sin 2xcos +cos 2xsin = + 2 2 2 6 6 2

9.解 由题知,f(x)=1+ π? ? sin?2x+ ?. 6? ?

所以 f(x)的最小正周期为 π . π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 6 2 π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 3 6 π π? ? 所以 f(x)的单调增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 3 6? ? π π π π 10.解 (1)f(x)=sin 2x·cos +cos 2x·sin +sin 2x·cos -cos 2x·sin +cos 3 3 3 3 π? ? 2x=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?. 4? ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

? π π? ?π π ? ? π? (2)因为 f(x)在区间?- , ?上是增函数,在区间? , ?上是减函数.又 f?- ?= ? 4 8? ?8 4? ? 4? ?π ? ?π ? ? π π? -1,f? ?= 2,f? ?=1,故函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 2,最小值 ?8? ?4? ? 4 4?
为-1. 11.解 (1)由图知 A=2,

T π

2π π 3 = ,则 =4× ,∴ω = . 4 3 ω 3 2

4

?3 ? π ? ? ? π? ? π ? 又 f?- ?=2sin? ×?- ?+φ ?=2sin?- +φ ?=0, ? 6? ? 4 ? ?2 ? 6 ? ?
π? ? ∴sin?φ - ?=0, 4? ? π π π π π π ∵0<φ < ,∴- <φ - < ,∴φ - =0,即 φ = , 2 4 4 4 4 4

?3 π ? ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin? x+ ?. 4? ?2 ?3? π ? π ? ? π? ?3 π ? ? ? π ??2 (2)由(1)可得 f?x- ?=2sin? ?x- ?+ ?=2sin? x+ ?,∴g(x)=?f?x- ?? = 8? ? 12? ?2 ? ? 12?? ?2? 12? 4 ?
π? ? 1-cos?3x+ ? 4? π? ? ? 4× =2-2cos?3x+ ?, 4? 2 ? π π 5π ? π π? ∵x∈?- , ?,∴- ≤3x+ ≤ , 4 4 4 ? 6 3? π π ∴当 3x+ =π ,即 x= 时,g(x)max=4. 4 4

5


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