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2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件:第二章 推理与证明2.2.1综合法和分析法_图文

时间:

第二章 §2.2 直接证明与间接证明

2.2.1 综合法和分析法

学习 目标

1.了解直接证明的两种基本方法:分析法与综合法. 2.了解分析法和综合法的思维过程和特点. 3.会用分析法、综合法证明实际问题.

栏目 索引

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知识梳理

自主学习

知识点一 1.定义

综合法

一般地,利用 已知条件 和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列 的推理论证,最后推导出所要证明的 结论 成立,这种证明方法叫做 综合法 . 2.基本模式 综合法的证明过程如下:
已知条件 ????? 结论
答案

即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的
结论,则综合法用框图可表示为:

P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →?→ Qn?Q
3.综合法的证明格式

因为?,所以?,所以?,?,所以?成立.
思考 综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理? 答案 演绎推理.

答案

知识点二 1.分析法

分析法

一般地,从要证明的 结论 出发,逐步寻求使它成立的 充分 条件,直 至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法. 2.基本模式 用Q表示要证明的结论,P表示条件,则分析法可用框图表示为:
Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →?→ 得到一个明显成立的条件

答案

3.分析法的证明格式 要证?,只需证?,只需证?,?,因为?成立,所以?成立. 思考 分析法与综合法有哪些异同点?

答案

相同点:两者都是直接利用原命题的条件(或结论),逐步推得命

题成立的证明方法——直接证明法.

不同点:证法1,由因导果,使用综合法;
证法2,执果索因,使用分析法.

答案

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题型探究

重点突破

题型一 综合法的应用
例1 1 1 已知 a,b 是正数,且 a+b=1,求证:a+b≥4.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1
+b2c2+c2a2.

已知a,b,c∈R,且它们互不相等,求证a4+b4+c4>a2b2

证明 ∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,a4+c4≥2a2c2,

∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),
即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

又∵a,b,c互不相等.
∴a4+b4+c4>a2b2+b2c2+c2a2.

解析答案

题型二 分析法的应用
例2 已知 a>5,求证 a-5- a-3< a-2- a.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 2

a+b b+c c+a 若 a, b, c 是不全相等的正数, 求证 lg 2 +lg 2 +lg 2

>lg a+lg b+lg c.

解析答案

题型三 综合法和分析法的综合应用 例3 已知a、b、c是不全相等的正数,且0<x<1.
a+b b+c a+c 求证:logx 2 +logx 2 +logx 2 <logxa+logxb+logxc.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练3

设a,b,c为任意三角形的三边长,I=a+b+c,S=ab+bc

+ca,试证明:3S≤I2<4S.

解析答案

易错易混

因误用证明依据而出错
a2b2+b2c2+c2a2 已知 a,b,c 均为正实数,求证 ≥abc. a+b+c

例4

防范措施

解析答案

返回

当堂检测

1

2

3

4

5

1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( A ) A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.等价条件

答案

1

2

3

4

5

1-x 2.已知函数 f(x)=lg ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于( B ) 1+x A.b B.-b 1 C.b 1 D.-b

解析

函数f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且f(-x)=-f(x),

∴函数f(x)为奇函数, ∴f(-a)=-f(a)=-b.

解析答案

1

2

3

4

5

a≥0,b≥0且a≠b
解析 a a+b b>a b+b a?( a- b)2( a+ b)>0?a≥0,b≥0,

且 a≠b.

解析答案

1

2

3

4

5

1 9 4.已知 a,b,μ∈(0,+∞),且a+b=1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的

(0,16] 取值范围是________.
1 9 解析 ∵a,b∈(0,+∞),且a+b=1,
?1 ?9a 9? b? ? ? ? ∴a+b=(a+b)?a+b?=10+? b +a? ?≥10+2 ? ? ? ?

9=16,

∴a+b的最小值为16, ∴要使a+b≥μ恒成立,需16≥μ, ∴0<μ≤16.
解析答案

1

2

3

4

5

1 2 3 5.求证:log 19+log 19+log 19<2. 5 3 2
证明 1 因为log a=logab, b

所以左边=log195+2log193+3log192 =log195+log1932+log1923 =log19(5×32×23) =log19360. 因为log19360<log19361=2,
1 2 3 所以log 19+log 19+log 19<2. 5 3 2
解析答案

课堂小结 1.综合法: (1)用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理 清晰,形式简洁,利于表达推理的思维轨迹. (2)综合法证明问题的步骤:第一步,分析条件,选择方向;第二步, 转化条件,组织过程;第三步,回顾反思,适当调整. 2.分析法:所证结论较为复杂或不好直接从条件证明时,我们往往采 用分析法证明问题,其关键是对结论进行等价变形,不等价无意义, 也找不到成立的条件.

3.分析综合法:有时解题需要一边分析,一边综合,称之为分析综合 法,它表明分析与综合相互联系,分析的终点是综合的起点,综合的 终点又进一步成为分析的起点.运用综合法与分析法联合解题时, 一方面要特别注意“分析”那部分的叙述,不能与综合混为一谈,也 就是说要注意它们之间的区别; 另一方面,要习惯用分析法探求解题的途径,再用综合法完成命题的 证明.

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