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2011年高考题全国卷II数学试题(文科数学)

时间:2011-06-20


2011 年高考题全国卷 II 数学试题·文科
科目: 数学 试卷名称 2011 年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷 II(文科) 知识点检索号 题目及解析 新课标 (1)设集合 U = {1, 2,3, 4} , M = {1, 2,3} , N = {2,3, 4} , 则 ? (M ∩ N ) = U (A) {1 2} , 1 (B) {2, 3} (C) {2,4} (D) {1,4}

【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法,易求 M I N = {2,3} , 进而求出其补集为 {1,4} . 【精讲精析】选 D. Q M I N = {2,3},∴ ? ( M I N ) = {1, 4} . U (2)函数 y = 2 x ( x≥0) 的反函数为

(A) y =

x2 ( x ∈ R) 4

(B) y =

x2 ( x≥0) 4

(C) y = 4 x 2 ( x ∈ R ) 4

(D) y = 4 x 2 ( x≥0)

【思路点拨】先反解用 y 表示 x,注意要求出 y 的取值范围,它是反函数的定义域。 【精讲精析】选 B.在函数 y = 2 x ( x≥0) 中, y ≥ 0 且反解 x 得 x =

y2 ,所以 4

x2 y = 2 x ( x≥0) 的反函数为 y = ( x ≥ 0) . 4 r r r r r r (3)设向量 a, b 满足 | a |=| b |= 1 ,则 a + 2b =
(A) 2 20 (B) 3 (C) 5 (D) 7

【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清,注意寻找的是通过选项能推出 a>b,而 由 a>b 推不出选项的选项. 【精讲精析】选 A.即寻找命题 P 使 P ? a > b, a > b 推不出 P,逐项验证可选 A。

?x + y ≤ 6 ? (4)若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ≤ -2 ,则 z =2 x + 3 y 的最小值为 ?x ≥ 1 ?
(A)17 29 数 z =2 x + 3 y 的 z 的取值也其在 y 轴的截距是正相关关系,进而确定过直线 x=1 与 x-3y=-2 的交点时取得最小值。 【精讲精析】作出不等式组表示的可行域,从图中不难观察当直线 z =2 x + 3 y 过直线 x=1 与 x-3y=-2 的交点(1,1)时取得最小值,所以最小值为 5. (B)14 (C)5 (D)3

【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。然后要把握住线性目标函

(5)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 (A) a>b + 1 24 (B) a>b ? 1 (C) a 2>b 2 (D) a 3>b 3

【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清,注意寻找的是通过选项能推出 a>b,而 由 a>b 推不出选项的选项. 【精讲精析】选 A.即寻找命题 P 使 P ? a > b, a > b 推不出 P,逐项验证可选 A。

(6)设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 = 1 ,公差 d = 2 , Sk + 2 ? Sk = 24 , 则

k=
(A)8 11 (B)7 (C)6 (D)5

【思路点拨】思路一:直接利用前 n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可。思路二: 利用 S k +2 ? S k = ak +2 + ak +1 直接利用通项公式即可求解,运算稍简。 【精讲精析】选 D.

S k + 2 ? S k = ak + 2 + ak +1 = 2a1 + (2k + 1)d = 2 + (2k + 1) × 2 = 24 ? k = 5.
(7)设函数 f ( x) = cos ω x(ω>0) ,将 y = f ( x ) 的图像向右平移 19 所得的图像与原图像重合,则 ω 的最小值等于 (A)

π 个单位长度后, 3

1 3

(B) 3

(C) 6

(D) 9

【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要, 将 y = f ( x) 的图像向右平

π π 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了 是此函数周期的整数倍。 3 3 π 2π 【精讲精析】选 C. 由题 = ? k (k ∈ Z ) ,解得 ω = 6k ,令 k = 1 ,即得 ωmin = 6 . 3 ω
移 (8) 已知直二面角 α ? l ? β ,点 A∈ α , AC ⊥ l ,C 为垂足,点 B∈β, BD ⊥ l ,D 为垂足.若 AB=2,AC=BD=1,则 CD= (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D)1

【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角,然后把要求的线段放在三角形 40 中求解即可。 【精讲精析】选 C. 在平面内过 C 作 CM //BD ,连接 BM,则四边形 CMBD 是平行 四边形,因为 BD ⊥ l ,所以 CM ⊥ l ,又Q AC ⊥ l ,∴∠ACM 就是二面角

α ? l ? β 的平面角。∴∠ACM = 90o .
所以 AB 2 = AM 2 + MB 2 = AC 2 + BD 2 + CD 2 , 代入后不难求出 CD =

2。

(9)4 位同学每人从甲、乙、丙 3 门课程中选修 1 门,则恰有 2 人选修课程甲的不同选 法共有 (A) 12 种 (B) 24 种 (C) 30 种 (D)36 种

【思路点拨】解本题分两步进行:第一步先选出 2 人选修课程甲,第二步再把剩余两 45 人分别选乙、丙. 【精讲精析】选 A.第一步选出 2 人选修课程甲有 C4 = 6 种方法,第二步安排剩余两
2 人从乙、丙中各选 1 门课程有 A2 = 2 种选法,根据分步计数原理,有 6 × 2 = 12 种选 2

法。 (10)设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x ) = 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) = (A) 6

5 2

1 2

(B) ?

1 4

(C)

1 4

(D)

1 2 5 转化到区间[0,1]上 2

【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量 ? 进行求值。 【精讲精析】选 A.

先利用周期性,再利用奇偶性得: f ( ? ) = f ( ? ) = ? f ( ) = ?

5 2

1 2

1 2

1 . 2

(11)设两圆 C1 、 C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1) ,则两圆心的距离 C1C2 = (A)4 (B) 4 2 (C)8 (D) 8 2

【思路点拨】 本题根据条件确定出圆心在直线 y=x 上并且在第一象限是解决这个问题 42 的关键。 【精讲精析】选 D.由题意知圆心在直线 y=x 上并且在第一象限 ,设圆心坐标为 (a,a)(a>0),则 a =

( a ? 4) 2 + ( a ? 1) 2 ,求出 a=1,a=9.所以 C1(1,1),C2(9,9),所以由两点间

的距离公式可求出 C1C2 = 8 2 . (12)已知平面α截一球面得圆 M, 过圆心 M 且与α成 60 二面角的平面β截该球面得 圆 N.若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4 π ,则圆 N 的面积为 (A)7 π (B)9 π (C)11 π (D)13 π
0

【思路点拨】做出如图所示的图示,问题即可解决。 【精讲精析】选 B. 42 作示意图如,由圆 M 的面积为 4 π ,易得

MA = 2, OM = OA2 ? MA 2 = 2 3 ,

Rt ?OMN 中, ∠OMN = 30o 。
故 MN = OM × cos 30o = 3, S = π × 32 = 9π . .

(13)(1- x )20 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差为:

.

r n 【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式,另一个要注意 Cn = Cn ? r .

45 【 精 讲 精 析 】 0.
18 2 C20 = C20 .

由 Tr +1 = C20 ( ? x ) 得 x 的 系 数 为 C20 , x9 的 系 数 为 C20 , 而

r

20

2

18

(14)已知 a∈( π , 17

3π ),tanα=2,则 cosα= 2

.

【思路点拨】本题考查到同角三角函数的基本关系式,再由正切值求余弦值时,要注 意角的范围,进而确定值的符号。

【精讲精析】 ?

5 3π 1 5 由 a∈( π , ),tanα=2 得 cos α = ? . =? 5 2 5 5

(15)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所 成角的余弦值为 .

【思路点拨】 找出异面直线 AE 与 BC 所成的角是解本题的关键。 只要在平面 A1B1C1D1 39 内过 E 作及 B1C1 的平行线即可。 【精讲精析】

2 取 A1B1 的中点 M 连接 EM,AM,AE,则 ∠AEM 就是异面直线 3 2 2 + 32 ? 5 2 = 。 2× 2× 3 3

AE 与 BC 所成的角。在 ?AEM 中, cos ∠AEM =

(15)已知 F1、F2 分别为双曲线 C:

x2 y2 =1 的左、右焦点,点 A∈C,点 M 的坐标 9 27
.

为(2,0),AM 为∠F1AF2 的平分线.则|AF2| = 33

【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。 【精讲精析】6. 由角平分线定理得:

| AF2 | | MF2 | 1 = = ,| AF1 | ? | AF2 |= 2a = 6 ,故 | AF2 |= 6 . | AF1 | | MF1 | 2

(17)(本小题满分 l0 分)(注意:在试题卷上作答无效) . . . . . . . . . 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a2 = 6, 6a1 + a3 = 30, 求 an 和 S n . 【思路点拨】 解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于 a1 和公比 q 的方程, 求出 a1 和 q,然后利用等比数列的通项公式及前 n 项和公式求解即可。 【精讲精析】设 {an } 的公比为 q,由题设得 ?

12

a1q = 6 ?6a1 + a1q = 30
?

解得 ?

?a1 = 3 ?a1 = 2 或? , ?q = 2 ? q = 3
n ?1

当 a1 = 3, q = 2 时, an = 3 × 2

, Sn = 3 × (2 n ? 1)

当 a1 = 2, q = 3 时, an = 2 × 3n ?1 , Sn = 3n ? 1 . (18)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) . . . . . . . . . 21 △ ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c. 己 知

a sin A + csin C ? 2a sin C = b sin B .
(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A = 750 , b = 2, 求a,c . 【思路点拨】第(I)问由正弦定理把正弦转化为边,然后再利用余弦定理即可解决。 (II)在(I)问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解。 【精讲精析】(I)由正弦定理得 a 2 + c2 ? 2 ac = b2 由余弦定理得 b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B 。

故 cos B =

2 ,因此 B = 45o 。 2

(II) sin A = sin(30o + 45o )

= sin 30o cos 45o + cos 30o sin 45o = 2+ 6 4 sin A = sin B 2+ 6 = 1+ 3 2

故 a = b×

c = b×

sin C sin 60o = 2× = 6. sin B sin 45o

(19)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) . . . . . . . . . 根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险但不购买 甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (Ⅱ)求该地 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 46 【思路点拨】此题第(I)问所求概率可以看作“该地的 1 位车主购买乙种保险但不 购买甲种保险”和“该地的 1 位车主购买甲种保险”两个事件的和。由于这两个事件 互斥,故利用互斥事件概率计算公式求解。 (II)第(II)问,关键是求出“该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买”的概率, 然 后再借助 n 次独立重复试验发生 k 次的概率计算公式求解即可.

【精讲精析】记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险: B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。 C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买; E 表示事件:该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买。 (I)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8. (II)D= C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, P(E)= C3 × 0.2 × 0.8 = 0.384 . (20)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) . . . . . . . . . 如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 中 ,
2 2

AB ∥

CD , BC ⊥ CD ,侧面 SAB 为等边三角形. AB = BC = 2, CD = SD = 1 .
(I) (II) 证明: SD ⊥

S

SAB

D

C

求 AB 与平面 SBC 所成角的大小。

【思路点拨】第(I)问的证明的突破口是利 用等边三角形 SAB 这个条件,找出 AB 的中

A

B

点 E,连结 SE,DE,就做出了解决这个问题的关键辅助线。 39 (II)本题直接找线面角不易找出,要找到与 AB 平行的其它线进行转移求解。 【精讲精析】 证明: 取 AB 中点 E, (I) 连结 DE, 则四边形 BCDE 为矩形, DE=CB=2。 连结 SE,则 SE ⊥ AB , SE = 3 又 SD=1,故 ED 2 = SE 2 + SD 2 所以 ∠DSE 为直角。 由 AB ⊥ DE , AB ⊥ SE , DE I SE = E ,得

S

D F A E

H G B

C

AB ⊥

SDE ,所以 AB ⊥ SD .

SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。 所以 SD ⊥

SAB

(II)由 AB ⊥

SDE 知,

ABCD ⊥

SDE SD × SE 3 = DE 2

作 SF ⊥ DE ,垂足为 F,则 SF ⊥

ABCD , SF =

作 FG ⊥ BC ,垂足为 G,则 FG=DC=1。 连结 SG,则 SG ⊥ BC 又 FG ⊥ BC , SG I FG = G ,故 BC ⊥ 作 FH ⊥ SG ,H 为垂足,则 FH ⊥

SFG , SBC .

SBC ⊥

SFG ,

FH =

SF × FG 3 = SG 7
21 。 7 21 。 7

即 F 到平面 SBC 的距离为

由于 ED//BC,所以 ED//平面 SBC,E 到平面 SBC 的距离 d 也为

设 AB 与平面 SBC 所成的角为 α ,则 sin α = 解法二:

d 21 21 , α = arcsin . = EB 7 7

以 C 为坐标原点,射线 CD 为 x 轴正半轴,建立如 图所示的直角坐标系 C-xyz,设 D(1,0,0) ,则 A (2,2,0) ,B(0,2,0) 。 又设 S(x,y,z) ,则 x>0,y>0,z>0. (I)

uuu r uur u uuu r AS = ( x ? 2, y ? 2, z ), BS = ( x, y ? 2, z ), DS = ( x ?1, y, z )

由 | AS |=| BS | ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 + z 2 = 故 x=1. 由 | DS |= 1 得 y 2 + z 2 = 1 , 又由 | BS |= 2 得, x + ( y ? 2) + z = 4

uuu r

uur u

x 2 + ( y ? 2) 2 + z 2 得

uuu r

uur u

2

2

2

即 y 2 + z 2 ? 4 y + 1 = 0 ,故 y =

1 3 。 ,z = 2 2

于是 S (1, ,

r u r 1 3 uuu 3 3 uur 3 3 uuu 1 3 ), AS = (?1, ? , ), BS = (1, ? , ), DS = (0, , ) , 2 2 2 2 2 2 2 2

uuu uuu r r uuu uur r u DS ? AS = 0, DS ? BS = 0
故 DS ⊥ AS , DS ⊥ BS ,又 AS I BS = S 所以 SD ⊥

SAB .
r

(II)设平面 SBC 的法向量 a = ( m, n, p) , 则 a ⊥ BS , a ⊥ CB, a ? BS = 0, a ? CB = 0,

r

uur r u

uuu r uur r u

r uuu r

又 BS = (1, ? ,

uur u

r 3 3 uuu ), CB = (0, 2, 0) 2 2

? 3 3 ?m ? n + p=0 故? 2 2 ? 2n = 0 ?
取 p = 2 得 a = (? 3, 0, 2) ,又 AB = (?2, 0, 0)

r

uuu r

uuu r r uuu r r AB ? a 21 r . cos < AB, a >= uuu r = 7 | AB | ? | a |
故 AB 与平面 SBC 所成的角为 arcsin

21 . 7

(21)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效) . . . . . . . . . 已知函数

f ( x ) = x 3 + 3ax 2 + (3 ? 6a) x +12a ? 4 ( a ∈ R )

(Ⅰ)证明:曲线 y = f ( x )在x = 0处的切线过点(2,2); 53 (Ⅱ)若 f ( x )在x = x0处取得最小值,x0 ∈ 求 (1,3), a 的取值范围。 【思路点拨】第(I)问直接利用导数的几何意义,求出切线的斜率,然后易写出直接方 程。 (II)第(II)问是含参问题,关键是抓住方程 f ′( x ) = 0 的判别式进行分类讨论.

【精讲精析】解: (I) f ′( x ) = 3x 2 + 6ax + 3 ? 6a . 由 f (0) = 12a ? 4, f ′(0) = 3 ? 6a 得曲线 y = f ( x ) 在 x=0 处的切线方程为

y = (3 ? 6a) x + 12a ? 4
由此知曲线 y = f ( x ) 在 x=0 处的切线过点(2,2) 。 (II)由 f ′( x ) = 0 得 x 2 + 2ax ? 1 ? 2a = 0 (i)当 ? 2 ? 1 ≤ a ≤ 2 ?1 时, f ( x ) 没有极小值; (ii)当 a >

2 ? 1 或 a < ? 2 ? 1 时,由 f ′( x ) = 0 得

x1 = ? a ? a 2 + 2a ? 1, x2 = ? a + a 2 + 2a ? 1
故 x0 = x2 。由题设知 1 < ? a + a 2 + 2a ? 1 < 3 , 当a >

2 ? 1 时,不等式 1 < ? a + a 2 + 2a ? 1 < 3 无解; 5 < a < ? 2 ?1 2

当 a < ? 2 ? 1 时,解不等式 1 < ? a + a 2 + 2a ? 1 < 3 得 ? 综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 ( ?

5 , ? 2 ? 1) 。 2

(21)已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 C : x 2 +

y2 = 1 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且 2

斜率为 - 2 的直线 l 与 C 交与 A、B 两点,点 P 满足

uuu uuu uuu r r r OA + OB + OP = 0.
(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 35 四点在同一圆上. 【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本 思路,注意把 OA + OB + OP = 0. 用坐标表示后求出 P 点的坐标,然后再结合直线方 程把 P 点的纵坐标也用 A、 两点的横坐标表示出来。 B 从而求出点 P 的坐标代入椭圆 方程验证即可证明点 P 在 C 上。(II)此问题证明有两种思路:思路一:关键是证明 再求正切值时要注意利用 ∠APB, ∠AQB 互补.通过证明这两个角的正切值互补即可,

uuu uuu r r

uuu r

倒角公式。 思路二:根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上,所以根据两条弦的垂直平 分线的交点找出圆心 N,然后证明 N 到四个点 A、B、P、Q 的距离相等即可. 【精讲精析】 (I)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 直线 l : y = ? 2 x + 1 ,与 x 2 +

y2 = 1 联立得 4 x 2 ? 2 2 x ? 1 = 0 2

x1 =

6? 2 6+ 2 , x2 = 4 4

2 1 , x1 x2 = ? 2 4 uuu uuu uuu r r r 由 OA + OB + OP = 0. 得 P ( ?( x1 + x2 ), ?( y1 + y2 ))

x1 + x2 =

?( x1 + x2 ) = ?

2 , 2

?( y1 + y 2 ) = ?(? 2 x1 + 1 + ? 2 x2 + 1) = 2( x1 + x2 ) ? 2 = ?1 (? 2 2 (?1) 2 ) + =1 2 2

所以点 P 在 C 上。

(II)法一: tan ∠APB =

k PA ? k PB 1 + k PAk PB

y1 ? (?1) y ? ( ?1) ? 2 2 2 x1 ? (? ) x2 ? (? ) 2 2 = y ? (?1) y ? (?1) 1+ 1 ? 2 2 2 x1 ? (? ) x2 ? (? ) 2 2

=

3( x2 ? x1 ) 4( x2 ? x1 ) = 3 3 2 9 3x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 2 2

同理

tan ∠AQB =

kQB ? kQA
1 + kQA kQB

y2 ? 1 y1 ? 1 ? 2 2 x2 ? x1 ? ( ? ) 2 2 = y2 ? 1 y1 ? 1 1+ ? 2 2 x2 ? x1 ? (? ) 2 2

=

( x1 ? x2 ) 4( x2 ? x1 ) =? 3 2 1 3 x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 2 2

所以 ∠APB , ∠AQB 互补, 因此 A、P、B、Q 四点在同一圆上。 法 二 : 由 P(?

2 2 , ?1) 和 题 设 知 , Q ( ,1) ,PQ 的 垂 直 平 分 线 l1 的 方 程 为 2 2

y=?

2 x …① 2 2 1 2 1 AB , ) , 的垂直平分线 l2 的方程为 y = x + …② 4 2 2 4 2 1 , ) 8 8

设 AB 的中点为 M, M ( 则

由①②得 l1 、 l2 的交点为 N ( ?

| NP |= (?

2 2 2 1 3 11 , + ) + ( ?1 ? ) 2 = 2 8 8 8 3 2 2

| AB |= 1 + (? 2)2 ? | x2 ? x1 |=

| AM |=

3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 , | MN |= ( , + ) +( ? ) = 4 4 8 2 8 8 3 11 8

| NA |= | AM |2 + | MN |2 =

故 | NP |=| NA | . | NP |=| NQ |,| NA |=| NB | 所以 A、P、B、Q 四点在同一圆圆 N 上.


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