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第二轮复习资料专题六第1课时直线方程

时间:2012-09-27


专题六
第 1 课时
【知识网络】

直线与圆
直线方程

直线的倾斜角与斜率

过两点的斜率公式

两条直线平行的条件 两条直线的位置关系 两条直线垂直的条件 点斜式方程 直线的方程 两点式方程 一般式方程 两条直线的交点 两点间距离 距离 点到直线的距离 平行直线的距离

直 线

【高考要求】 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 4.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两 点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. 5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标. 6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的 距离.

1

【基础训练】
1.直线 y ? 3 x 绕原点逆时针旋转 9 0 0 ,再向右平移1个单位,所得到的直 线为( )
1 3 x? 1 3

A. y ? ?

B. y ? ?

1 3

x ?1

C. y ? 3 x ? 3
1 3
1 3

D. y ?

1 3

x ?1

答案:A 直线 y ? 3 x 绕原点逆时针旋转 9 0 0 得直线 y ? ? 1个单位得直线 y ? ?
1 3 ( x ? 1) ,即直线 y ? ?
1 3 x?

x ,再向右平移

,故选 A. ) D.a ? 5 , b ? 2

2.若点 P ( 3 , 4 ), Q ( a , b ) 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则( A.a ? 1, b ? ? 2 B.a ? 2 , b ? ? 1 C.a ? 4 , b ? 3

答案:D P ( 3 , 4 ), Q ( a , b ) 的中点 M ( 则
3?a 2 ? 4?b 2

3?a 4?b , ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, 2 2

? 1 ? 0 ,即 a ? b ? 3 ? 0 (1) ,又由于直线 PQ 与直线 b?4 a?3 ? ? 1 ,即 a ? b ? 7 ? 0 (2) ,由(1)

x ? y ? 1 ? 0 垂直,所以 k PQ ?

(2)两式解得 a ? 5 , b ? 2 ,故选 D.

3.若 ab ? 0 , bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c ? 0 不过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
a b ? a b ? 0 ,? c b
2 2

) D.第四象限

答案:C 直线 ax ? by ? c ? 0 可化为 y ? ?
? 0 ,所以直线不过第三象限.

x?

c b

,由 ab ? 0 , bc ? 0 知

4 . 圆 x ? y ? 2y ? 0 的 圆 心 到 直 线 y ? _________________. 答案:
1 2
2

3x

的 距 离 是

圆 x ? y ? 2 y ? 0 的圆心坐标为 ( 0 ,1) ,所心圆心到直线的距离
2 2



0 ?1 4

?

1 2

5.经过两条直线 2 x ? y ? 1 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,并且垂直于直线
3 x ? 4 y ? 7 ? 0 的直线的方程__________________.

答案: 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 由 ? 求直线方程为 y ?
1 5 ? 4 3

?2 x ? y ? 1 ? 0 ?x ? 2 y ? 1 ? 0

得交点坐标为 ( ?

3 1 , ) ,所以所 5 5

? (x ?

3 5

) ,化简得 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 .

【典型例题】
例 1.已知直线 l 过两条直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 , 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的交点,且与
A (2,3) B (-4,5)两点的距离相等,求直线 l 的方程. 、

解:由 ?

?3 x ? 4 y ? 5 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 8 ? 0

解得 ?

? x ? ?1 ?y ? 2

,所以两条直线的交点 C 的坐标为

( ? 1, 2 ) ,要使直线 l 到 A 、 B 两点的距离相等,则直线 l 与直线 AB 平行或

直线 l 过 AB 的中点 D (? 1, 4 ) . 当直线 l 与直线 AB 平行时, k AB ?
y?2 ? ? 1 3

5?3 ?4?2

? ?

1 3

,所以直线 l 的方程为

( x ? 1) 即 x ? 3 y ? 5 ? 0 ;

当直线 l 过 AB 的中点 D (? 1, 4 ) 时,直线 l 的方程为 x ? ? 1 . 由上可知直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 5 ? 0 或 x ? ? 1 . 例 2.矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M ( 2 , 0 ) , AB 边所在直线的方程 为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T (? 1,1) 在 AD 边所在直线上. (Ⅰ)求 AD 边所在直线的方程;
3

(Ⅱ)求矩形 ABCD 外接圆的方程. 解: (Ⅰ) 因为 A B 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , A D 与 A B 垂直, 且
1) 所以直线 A D 的斜率为 ? 3 .又因为点 T ( ? 1, 在直线 A D 上,

所以 A D 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ? 3( x ? 1) 即 3 x ? y ? 2 ? 0 .
? x ? 3 y ? 6 ? 0, ?3 x ? y ? 2 = 0

(Ⅱ)由 ?

? 解得点 A 的坐标为 (0, 2 ) ,

0) 因为矩形 A B C D 两条对角线的交点为 M (2, .

所以 M 为矩形 A B C D 外接圆的圆心. 又 AM ?
( 2 ? 0 ) ? (0 ? 2 ) ? 2 2 .
2 2

从而矩形 A B C D 外接圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8 .
2 2

【感受高考】
1 . 04 年 天 津 卷 ) 若 过 定 点 M (? 1 , 0 ) 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 圆 (
x ? 4x ? y
2 2

? 5 ? 0 在 第 一象 限 内的 部 分有交 点 ,则 k 的 取 值 范 围是




5

A. 0 ? k ?

B.?

5 ? k ? 0

0 C. ? k ? 5 .

13

0 D. ? k ? 5

答案:A 画出图象很容易得到 0 ? k ? 2. (05 年北京卷) m ? “
1 2

”是“直线 ( m ? 2 ) x ? 3 my ? 1 ? 0 与直线 ( )

( m ? 2 ) x ? ( m ? 2 ) y ? 3 ? 0 相互垂直”的

A.充分必要条件 C.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件
1 2

答案: 两条直线垂直则 ( m ? 2 )( m ? 2 ) ? 3 m (( m ? 2 ) ? 0 , B 解得 m ?
m ? ? 2 ,故应是充分不必要条件.



3. (08 年重庆卷)直线 l 与圆 x + y + 2 x - 4 y ? a ? 0 ( a ? 3 ) 相交于两点
2 2

4

A , B ,弦 AB 的中点为(0,1) ,则直线的 l 方程为



答案: x ? y ? 1 ? 0 圆心坐标为 ( ? 1, 2 ) ,故圆心与弦的中点所在的直线的 斜率为
2 ?1 ?1? 0 ? ? 1 ,圆心与弦的中点所在的直线与直线 l 垂直,所以

k l ? 1 ,所以直线 l 的方程为 y ? 1 ? ( x ? 0 ) ,即 x ? y ? 1 ? 0 .

4. (08 年浙江卷)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是 _______________. 答案: x ? 2 y ? 3 ? 0 画图可知所示求直线的斜率为 ? 所以所求直线方程为 y ? 0 ? ?
1 2 1 2 ( x ? 3 ) ,即 x ? 2 y ? 3 ? 0 .

,且过点 ( 3 , 0 ) ,

【能力提升】
1. a ? 3 ”是“直线 ax ? 2 y ? 3 a ? 0 和直线 3 x ? ( a ? 1) y ? a ? 7 平行” “ 的( ) A.充分非必要条件 C.充要条件 答案:C l 1 : y ? ?
? ?? ? 所以 ? ?? ? ? a 2 3a 2 ? ? ? 3 a ?1 a?7 a ?1
a 2 x? 3a 2

B.必要非充分条件 ? D.既非充分也非必要条件 ,l2 : y ? ?
3 a ?1 x? a?7 a ?1

,因为 l 1 // l 2 ,

,解得 a ? 3 (注意重合的情况) .

2.光源 A (1,1) 从出发经 x 轴反射后过点 B ( 4 , 2 ) ,则 x 轴上的反射点 P 的坐 标为( A. ( 2 , 0 ) ) B.( 3 , 0 ) C.( , 0 )
2
/

5

D.( , 0 )
2
/

3

答 案 : A 点 B ( 4 , 2 ) 关 于 x 轴 的 对 称 点 B ( 4 , ? 2 ) , 直 线 AB 的 方 程 为
x ? y ? 2 ? 0 ,所以反射点 P 的坐标为 ( 2 , 0 ) .
5

3.两平行直线分别过点 A ( 6 , 2 ), B ( ? 3 , ? 1) ,各自绕 A , B 旋转,当这两平行 直线距离取最大值时,两直线方程分别是 答案: 3 x ? y ? 20 ? 0 ,3 x ? y ? 10 ? 0 两平行直线距离最大, k AB ? 直 线 方 程 为
1 3



当两平行直线与直线 AB 垂直时,

,所以两平行直线的斜率为 ? 3 ,故两平行 和
y ? 1 ? ? 3( x ? 3)

y ? 2 ? ? 3( x ? 6 )

, 即

3 x ? y ? 20 ? 0 ,3 x ? y ? 10 ? 0 .

4. 直线 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 与直线 ax ? 8 y ? 16 ? 0 平行,则 a ? ________ 这两条平行直线的距离为_________.



答案: 6 , 4 利用直线与直线平行的判定及两平行直线的距离公式易得答案. 5.已知直线 l : ( a ? 1) x ? y ? a ? 1 ? 0 及定点 A ( 3 , 4 ) . (Ⅰ)问 a 为何值时,直线 l 过点 A ; (Ⅱ)无论 a 取何值,直线 l 恒过哪个定点? (Ⅲ)问 a 为何值时, A 点到直线 l 的距离最大. 解: (Ⅰ)因为直线 l 过点 A ,所以 3 ( a ? 1) ? 4 ? a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?
?x ? 1 ? 0 ?? x ? y ? 1 ? 0

1 2



( Ⅱ ) 直 线 l 可 化 为 a ( x ? 1) ? ( ? x ? y ? 1) ? 0 , 由 ?
? x ? ?1 ? ? y ? ?2



无论 a 取何值,直线 l 恒过定点 B ( ? 1, ? 2 ) . (Ⅲ)因为直线 l 恒过定点 B ( ? 1, ? 2 ) ,所以当直线 l 与直线 AB 垂直时, A 点到直线 l 的距离最大.因为 k AB ? 所以直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?
2 3 ?2?4 ?1? 3 ? 3 2

,所以 k l ? ?

2 3



( x ? 1) ,即 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 .

6

6.已知四边形 ABCD 的顶点 A ( ? 4 ,3 ), B ( 2 ,5 ), C ( 6 ,3 ), D ( ? 3 , 0 ) . (Ⅰ)试判断四边形 ABCD 的形状; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积. 解: (Ⅰ)因为 k AB ?
3?5 ?4?2 ? 1 3 , k CD ? 3?0 6?3 ? 1 3 , k AD ? 3?0 ?4?3 ? ?3 ,

所以 k AB ? k CD ,即 AB // CD . 因为 k AB ? k AD ? ? 1 ,所以 AD ? AB . 又因为 AB ? 2 10 , CD ? 3 10 ,所以 AB ? CD , 所以四边形 ABCD 为直角梯形. (Ⅱ) AD ?
10 ,由上知四边形 ABCD 为直角梯形,
( AB ? CD ) 2 ( 2 10 ? 3 10 ) 2

所以 S 四边形

ABCD

?

? AD ?

?

10 ? 25 .

7


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