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好一道高考题所引发的思考

时间:2014-08-09


一道高考题所引发的思考
不久前在给 2011 届高三学生复习解析几何时, 笔者引入 2009 年全国卷Ⅱ中的一道高考 题, 师生进行了深入的思考与探究, 由此生成的教学资源现已整理成文, 以期与同仁们共享。 原题剖析,提炼方法 例(2009 高考理科数学全国卷Ⅱ16 题) 已知 AC、BD 为圆 O : x ? y ? 4 的两条相互垂直
2 2

的弦,垂足

M 1, 2

?

? ,则四边形 ABCD 的面积的最大值为



1 分析:① 对角线互相垂直的四边形 ABCD 面积 S 一般怎么计算?(S= 2 AC ? BD)
②若 S 的最大值存在时, 表明随着弦 AC, BD 绕点 M 运动, S 的大小会发生变化, 那 么 S 就存在一个最值,一般可采取何种方法求解?(利用均值不等式或函数思想方法) 解法探究: 解法 1:基本不等式:设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 四边形 ABCD 的面积

d1、d2 ,则 d12 +d22 ? OM 2 ? 3 .

1 2 R 2 ? d12 S= 2 AC ? BD=

2 2 R2 ? d2 ? R 2 ? d12 ? R 2 ? d 2 ? 2 R 2 ? 2(d12 ? d 2 )?5

2

深入思考:①如何求 S 的最小值呢? S=
2 2 2 R 4 ? R 2 (d12 ? d 2 ) ? d12 d 2 ? 2 R 4 ? R 2OM 2 ? 4

y B A

②如何求 S 的范围?
S ? 2 R ? R OM
4 2 2

? d (OM
2 1

2

?d )
2 1

而 d ? 0, OM
2 1

?

2

?
2 2 2

S ? 2R R ? OM ,2R ? OM
2

?

? ? ?4,5?

C C

O D

x

点评:借助圆的几何性质,提出特有的教学思路,体现数形结合思想方法 解法 2:设 ?MOF ? ? ,

S2 ?

1 AC 2 ? BD 2 ? 4 AE 2 2 2 4 ? BF 2 ? 4(4 ? OE )(4 ? OF )
2

2 S ? 4(4 ? 3 sin

? )(4 ? 3 cos2 ? ) ? 16 ? 9 sin 2 2?

? s ? ?4,5?
算优势。 点评:以 ?为自变量有其独到的运
解法 3:当直线 AC 斜率为 0 或不存在时易求得 S= 2 6

;当直线 AC 的斜率存在时令 AC 斜率为 K(K ? 0) )BD 斜率为

?

1 K ,利用弦长公式和已知

3

3K 2 ? 2 2 K ? 2 1 ? 2 1? K 可求得:AC= ,用 K 替换上式中 K 可得 BD =
1 1 AC ? BD ? 2 2 6( K 2 ? 1 1 ) ? 2 2( ? K ) ? 5 2 K K 1 K2 ? 2 K
f (t ) ?
则问题化为求

1 2 2 ? ?2 k2 k 1 1? 2 k

s?

1 1 ? k ? t , t ? R, k 2 ? 2 ? t 2 ? 2 k 令k 则

6t 2 ? 2 2t ? 17 t2 ? 4 的最值,此时

可利用求导的方法或判别式求出. 点评:看似繁琐,但思想方法严谨,实为解决二次曲线此类题型的通法。 二.同图异构,反复探究 变式 1:求以 M 为中点的弦所在直线方程 变式 2:过点 M 的直线交圆于 P、Q 两点,求弦 PQ 的中点的轨迹方程。 变式 3:过点 M 直线(不过原点 O)交圆于 P、Q 两点,以 P、Q 为切点的两切线有公共点 N,证明 N 在定直线 l1 。 变式 4:在直线 l1 任取一点作圆切线,切点为 P、Q,证明直线 PQ 过定点 M 三.类比推广,知识延伸 类比把圆改成椭圆如何?(2005 年高考理科数学全国卷Ⅱ21 题)P、Q、M、N 四点都

x2 ?
在椭圆

y2 ?1 2 上, F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点. 已知 PF 与 FQ 共线,MF 与 FN

共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.此题则需用上述解法 3 的思路. 著名数学教育家波利亚说过:“好问题同某种蘑菇有些相似,它们大都成堆的生长,找 到一个以后,你应当在周围找找,很可能在附近就有几个!”。的确,在各种资料多如牛毛 的今天,当我们发现一道很有价值的高考题时,我们应做一个会采蘑菇的教师,而不该淹没 在题海之中迷失正确方向。这道题可以为我们明确这样的复习方向:重视教材、重视通性通 法,解题既要抓住问题的关键,又要驾驭所学知识灵活解题。


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