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2019_2020学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法练习新人教A版选修4_5

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三 反证法与放缩法

,

[学生用书 P34])

[A 基础达标]

1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件使用( )

①与结论相反的判断,即假设;

②原命题的条件;

③公理、定理、定义等;

④原结论.

A.①②

B.①②④

C.①②③

D.②③

解析:选 C.由反证法的推理原理可知,反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于

推理,同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等.

2.已知 a,b,c 是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程 ax2+2bx+c=0,

bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实根,应假设成( )

A.三个方程都没有两个相异实根

B.一个方程没有两个相异实根

C.至多两个方程没有两个相异实根

D.三个方程不都没有两个相异实根

解析:选 A.命题“三个方程 ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0 至少有

一个方程有两个相异实根”的否定为“三个方程都没有两个相异实根”,故选 A.

3.实数 a,b,c 满足 a+2b+c≥2,则( )

A.a,b,c 都是正数

B.a,b,c 都大于 1

C.a,b,c 都小于 2 D.a,b,c 中至少有一个不小于12 解析:选 D.假设 a,b,c 均小于12,则 a+2b+c<12+1+12,与已知矛盾,所以假设不成

立,故 a,b,c 中至少有一个不小于12.

4.已知△ABC 中,∠C=90°,则a+c b的取值范围是(

)

A.(0,2)

B.(0, 2]

C.(1, 2]

D.[1, 2]

解析:选 C.因为∠C=90°,所以 c2=a2+b2,

即 c= a2+b2.

又有

a+b>c,所以

a+b 1< c =

a+b a2+b2≤

a+b (a+b)2= 2.
2

5.设 a>b>0,则 a+1b+a-1 b的最小值为(

)

A.121

B.3

C.92

D.4

解析:选 D.因为 a>b>0,所以 a-b>0,

所以 a+1b+a-1 b=(a-b)+1b+a-1 b+b≥

4 4 (a-b)·1b·a-1 b·b=4, 当且仅当 a-b=1b=a-1 b=b,即 a=2 且 b=1 时取等号, 所以 a+1b+a-1 b的最小值为 4.故选 D. 6.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为 180°相矛盾,则∠A =∠B=90°不成立; ②所以一个三角形中不能有两个直角; ③假设∠A,∠B,∠C 中有两个角是直角, 不妨设∠A=∠B=90°. 正确顺序的序号排列为________. 解析:由反证法证明的步骤知,先反设即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结 论即②,即顺序应为③①②. 答案:③①②

7.若 f(x)=???12???x,a,b 都为正数,A=f???a+2 b???,G=f( ab),H=f???a2+abb???,则 A、G、

H 的大小关系是________.

解析:因为 a,b 为正数,
所以a+2 b≥ ab= aabb≥aa+bb=a2+abb, 2

且 f(x)=???12???x为单调减函数, 所以 f???a+2 b???≤f( ab)≤f???a2+abb???, 所以 A≤G≤H.

答案:A≤G≤H

8.某同学准备用反证法证明如下一个问题:

函数 f(x)在[0,1]上有意义,且 f(0)=f(1).如果对于不同的 x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)



f(x2)|<|x1



x2|.







|f(x1)



f(x2)|<

1 2





















________________________________.

解析:对任意 x1,x2∈[0,1](x1≠x2)都有|f(x1)-f(x2)|<12的反面是存在 x1,x2∈[0,

1]且 x1≠x2 有|f(x1)-f(x2)|≥12.

答案:存在 x1,x2∈[0,1]且 x1≠x2 使|f(x1)-f(x2)|≥12

9.若

n

是大于

1

111

1

的自然数,求证:12+22+32+…+n2<2.

1

1

11

证明:因为k2<k(k-1)=k-1-k,

k=2,3,…,n(n∈N+),

所以112+212+312+…+n12<11+1×1 2+2×1 3+…+(n-11)n=11+???11-12???+???12-13???+…+

???n-1 1-1n???=2-1n<2,

111

1

所以12+22+32+…+n2<2.

10.设 f(x)=x2-x+13,a,b∈[0,1],求证:

|f(a)-f(b)|≤|a-b|.

证明:|f(a)-f(b)|=|a2-a-b2+b|

=|(a-b)(a+b-1)|=|a-b||a+b-1|

因为 0≤a≤1,0≤b≤1,

所以 0≤a+b≤2,

-1≤a+b-1≤1,|a+b-1|≤1.

所以|f(a)-f(b)|≤|a-b|.

[B 能力提升] 1.若 a,b∈R,且 a2+b2=10,则 a-b 的取值范围是( )

A.[0, 10 ]

B.[-2 10,2 10 ]

C.[- 10, 10 ]

D.[-2 5,2 5 ]

解析:选 D.令 a= 10cos θ ,b= 10sin θ ,

则 a-b= 10cos θ - 10sin θ

=2

5???cos

θ

cos

π 4

-sin

θ

sin

π 4

???=2

5cos???θ +π4 ???.

因为 cos???θ +π4 ???∈[-1,1],

所以 a-b∈[-2 5,2 5].

2.A=1+ 1 + 1 +…+ 1 与

23

n

n(n∈N+)的大小关系是________.

解析:A=1+ 1 + 1 +…+ 1

23

n

≥ =n
n = n.

答案:A≥ n 3.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)=0,

且当 0<x<c 时,f(x)>0.

1 (1)证明:a是函数

f(x)的一个零点;

(2)试用反证法证明:1a>c.

证明:(1)因为 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点,
所以 f(x)=0 有两个不等实根,不妨设为 x1,x2,
因为 f(c)=0,所以 x1=c 是 f(x)=0 的一个根. 又 x1x2=ca,所以 x2=1a???1a≠c???. 故 x2=1a是 f(x)=0 的一个根,即1a是函数 f(x)的一个零点. (2)假设1a<c. 由1a>0,且当 0<x<c 时,f(x)>0, 知 f???1a???>0,与 f???1a???=0 矛盾, 所以假设不成立. 故1a≥c. 又1a≠c,所以1a>c. 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+Sn=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.
解:(1)当 n=1 时,a1+S1=2a1=2,则
a1=1.
又 an+Sn=2,
所以 an+1+Sn+1=2. 两式相减得 an+1=12an. 所以{an}是首项为 1,公比为12的等比数列. 所以 an=2n1-1. (2)证明:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为 ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且 p,q,
r∈N+), 111
则 2·2q=2p+2r, 所以 2·2r-q=2r-p+1.①
又因为 p<q<r,

所以 r-q,r-p∈N+, 所以①式等号左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.所以假设不成立,原命题得证.


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