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导数与恒成立问题

时间:2013-10-09

《导数与恒成立问题》教学设计
南宁二中 黄邵华

教学背景分析: 《导数》 是高中数学教学中非常重要的一个章节,在每年的高考当中也几乎 是必考题, 而恒成立问题则是导数大题中常见的一种类型。 在前段时间的学习中, 学生已经学习和掌握了导数的定义及其基本应用(如求切线,求单调区间,求极 值和最值等) ,故在此段内容的学习后,应当注重知识的深化和综合。恒成立问 题是导数的综合应用中的常见问题, 并且与刚刚结束的导数的基本应用的相关知 识结合较为紧密,故特选此题作为一个专题进行教学。 高二(25)班的学生是我校高二年级的一个普通班,此班学生头脑灵活,反 应比较灵敏, 但学生性格普遍沉闷, 虽然大脑在积极思考, 但在课上不善于表达。 因此在教学方式上以教师问题为引导,通过由简到难的变式训练,让学生自主学 习和发现解决恒成立问题的常用办法。 教学目标: 知识与技能:掌握利用导数解决恒成立问题的方法; 过程与方法:通过多次变式训练的过程,体会将复杂问题化为简单问题,将陌生 问题化为熟悉问题的转化数学思想,体会导数的工具性作用; 情感态度与价值观: 通过对相关数学问题的思考和分析,感受事物是普通联系的 辩证主义思想,发现数学之美,培养数学钻研精神。 教学重点: 1、将恒成立问题转化为最值问题 2、分离变量法求解含参的恒成立问题 教学难点: 如何将其他问题转化为恒成立问题 教学过程: 环节一、复习引入 复习导数的基本应用:求切线方程、求极值、求单调区间以及求函数的最值。 通过一个网络图呈现:
求切线方程

f '( x0 )
f '( x) =0

f '( x)

f '( x) >0 f '( x) <0
求单调区间

求函数极值 求函数最值

教师提出: 这些是利用导数可以解决的几类问题,但是很多问题并不是导数的简 单应用, 而是将这些导数的应用综合起来解决一个较为复杂的问题,这样复杂的 问题很多, 但基本都可以转化为这几种简单的问题,今天我们介绍其中的一类问 题:恒成立问题。 环节二、新课讲授: 例 (2010 年安徽高考理科 17 题改编)已知函数 f ( x) ? e x ? 2 x ? 2a , f () 0 恒 : 若 x ? 成立,求实数 a 的取值范围。 解: ◇法 1: 由 f ( x) ? 0 恒成立可得, f ( x) 的最小值应该大于等于 0.
f '( x) ? e x ? 2 ,令 f '( x) ? e x ? 2 ? 0 可得, x ? ln 2 .

当 x ? ln 2 时, f '( x) ? e x ? 2 ? 0 , f ( x) 单调递减; 当 x ? ln 2 时, f '( x) ? e x ? 2 ? 0 , f ( x) 单调递增; 因此 f ( x)min ? f (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 ,解得 a ? ln 2 ? 1. ◇法 2(分离变量法) :

1 f ( x) ? e x ? 2 x ? 2a ? 0 ? a ? x ? e x 恒成立, 2 1 1 令 g ( x) ? x ? e x ,则有 a ? g ( x)max , g '( x) ? 1 ? e x ? 0 ? x ? ln 2 , 2 2 1 当 x ? ln 2 时, g '( x) ? 1 ? e x ? 0 , g ( x) 单调递增; 2 1 当 x ? ln 2 时, g '( x) ? 1 ? e x ? 0 , f ( x) 单调递减; 2
因此 g ( x)max ? g (ln 2) ? ln 2 ? 1 ,所以 a ? ln 2 ? 1。 ▲教师引导学生总结:
f ( x) ? a恒成立 ? [ f ( x)]max ? a ; f ( x) ? a恒成立 ? [ f ( x)]max ? a

变式一: 已知函数 f ( x) ? e x ? 2bx ? 2a , f ( x) 在 [2, ??) 上单调递增, 若 求实数 b 的 取值范围.

解:由 f ( x) 在 [2, ??) 上单调递增,可得 f '( x) ? 0 在 [2, ??) 上恒成立, 即: f '( x) ? e x ? 2b ? 0 在 [2, ??) 上恒成立,易得:

f '( x) min ? f '(2) ? e2 ? 2b ? 0 ? b ?

e2 (或由分离变量法求得) 。 2

x 2 变式二:求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时,有 e ? x ? 2ax ? 1 .


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