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高考直线方程题型归纳

时间:2018-06-30

高考直线方程题型归纳
知识点梳理 1.点斜式方程 设直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k,则直线的方程为y-y0=k(x-x0), 由于此方程是由直线上一点P0(x0,y0)和斜率k所确定的直线方程,我们把这个方程叫 做直线的点斜式方程. 注意:利用点斜式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否. (1)当直线l的倾斜角α =90°时,斜率k不存在,不能用点斜式 方程表示,但这时直线l恰与y轴平行或重合,这时直线l上每个点的横 坐标都等于x0,所以此时的方程为x=x0. (2)当直线l的倾斜角α =0°时,k=0,此时直线l的方程为y=y0, 即y-y0=0. (3)当直线l的倾斜角不为0°或90°时,可以直接代入方程求解. 2.斜截式方程:如果一条直线通过点(0,b)且斜率为k,则直线的点斜 式方程为y=kx+ b 其中k为斜率,b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称直线的截距. 注意:利用斜截式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否. (1)并非所有直线在y轴上都有截距,当直线的斜率不存在时,如直线x=2在y轴上 就没有截距,即只有不与y轴平行的直线在y轴上有截距,从而得斜截式方程不能表示与 x轴垂直的直线的方程. (2)直线的斜截式方程y=kx+b是y关于x的函数,当k=0时,该函数为常量函数.x=b; 当k≠0时,该函数为一次函数,且当k>0时,函数单调递增,当k<0时,函数单调递减. (3)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。要注意它们之间的区别和联 系及其相互转化. 3.直线的两点式方程 若直线l经过两点A(x1,y1),B(x2,y2),(x1≠x2),则直线l的方程为 种形式的方程叫做直线的两点式方程. 注意 (1)当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时,不能用两点式
y ? y1 x ? x1 表示 ? y2 ? y1 x2 ? x1

y ? y1 x ? x1 ,这 ? y2 ? y1 x2 ? x1

它的方程; (2)可以把两点式的方程化为整式(x2-x1)(y-y1)= (y2-y1)(x-x1),就可以用它来求 过平面上任意两点的直线方程; 如过两点 A(1,2),B(1,3)的直线方程可以求得 x=1, 过两点 A(1,3),B(-2,3)的直线方程可以求得 y=3. y ? y1 x ? x1 (3) 需要特别注意整式(x2-x1)(y-y1)= (y2-y1)(x-x1)与两点式方程 的 ? y2 ? y1 x2 ? x1 区别,前者对于任意的两点都适用,而后者则有条件的限制,两者并不相同,前者是后 者的拓展。 4.直线的截距式方程 若直线 l 在 x 轴上的截距是 a,在 y 轴上的截距是 b,且 a≠0,b≠0,则直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,这种形式的方程叫做直线的截距式方程。 a b

注意: (1)方程的条件限制为 a≠0,b≠0,即两个截距均不能为零,因此截距式方程不能表 示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线; (2)用截距式方程最便于作图,要注意截距是坐标而不是长度; (3) 要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念, 截距式中的截距可正、 可负,但不可为零。 截距式方程的应用 (1)与坐标轴围成的三角形的周长为:|a|+|b|+ a2 ? b2 ; 1 (2)直线与坐标轴围成的三角形面积为:S= | ab | ; 2 (3)直线在两坐标轴上的截距相等,则 k=-1 或直线过原点,常设此方程为 x+y=a 或 y=kx. 5.直线方程的一般形式 方程Ax+By+C=0(A、B不全为零)叫做直线的一般式方程. 注意 (1).两个独立的条件可求直线方程: 求直线方程,表面上需求 A、B、C 三个系数,由于 A、B 不同时为零, B C B C 若 A≠0,则方程化为 x ? y ? ? 0 ,只需确定 , 的值; A A A A 若 B≠0,同理只需确定两个数值即可; 因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程; (2).直线方程的其他形式都可以化成一般式,解题时,如果没有特殊说明应把最后 结果化为一般式,一般式也可以化为其他形式。 (3).在一般式 Ax+By+C=0(A、B 不全为零)中, C 若 A=0,则 y= ? ,它表示一条与 y 轴垂直的直线; B C 若 B=0,则 x ? ? ,它表示一条与 x 轴垂直的直线. A 6.直线方程的选择 (1)待定系数法是求直线方程的最基本、最常用的方法,但要注意选择形式,一般地 已知一点,可以待定斜率k,但要注意讨论斜率k不存在的情形,如果已知斜率可以选择 斜截式待定截距等; (2)直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性,解题过程中要能够根据不同的题 设条件,灵活选用恰当的直线形式求直线方程。请参看下表: 直线形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与 x 轴垂直 已知一个定点和斜率 k 的直线 已知一点,可设点斜式 方程 斜截式 不能表示与 x 轴垂直 已知在 y 轴上的截距

的直线 两点式 截距式

一般式

已知斜率,可设斜截式 方程 已知两个定点 不能表示与 x 轴、y 轴垂直的直线 已知两个截距 不能表示与x轴垂 已知两个截距 直、与y 轴垂直、过 已知直线与坐标轴围成 原点的的直线 三角形的面积问题可设 截距式方程 能表示所有的直线 求直线方程的最后结果 均可以化为一般式方程

典型例题剖析 题型1.直线的点斜式方程 例1.一条直线经过点M(-2,-3),倾斜角α =135°,求这条直线的方程。

3 ,且分别满足下列条件的直线方程: 3 (1)经过点M( 3 ,-1);(2)在x轴上的截距是-5.

例2.求斜率为

题型2.直线的斜截式方程 例3.若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限,则系数A、B、C需满足条件( (A)A、B、C同号 (B)AC<0,BC<0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<0



例4.直线y=ax+b (a+b=0)的图象是(



例5.写出过下列两点的直线方程,再化成斜截式方程. (1)P1(2,1),P2(0,-3);(2)P1(2,0),P2(0,3)。

例6. 三角形的顶点是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2),求这个三角形三边所在的直线 方程.

题型4.直线的截距式方程 1 例7.已知直线的斜率为 ,且和坐标轴围成面积为3的三角形,求该直线的方程。 6

例8.过点A(1,4)且纵截距与横截距的绝对值相等的直线共有的条数为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4



题型5.直线的一般式方程 例9.已知直线经过点A(6,-4),斜率为-
4 ,求直线的点斜式和一般式方程. 3

例10. 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式, 求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距, 并画图.

题型 6.定点问题 例 11、已知直线
与第二项,若 ,数列 所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{ 的前 n 项和为 Tn,则 T10=( }的第一项



A.

B.

C.

D.

题型 7.对称问题 例 12、已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称,则直线 l2 的斜率为(
)

A.

B.- 关于直线

C.2

D.-2 ( )

例 13、直线
A. C.

对称的直线方程是 B. D.

例 14、直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差最大,则 P 点坐
标是_________

例 15.(1)求点 A(3,2)关于点 B(-3,4)的对称点 C 的坐标;
(2)求直线 3x-y-4=0 关于点 P(2,-1)对称的直线 l 的方程; (3)求点 A(2,2)关于直线 2x-4y+9=0 的对称点的坐标.

题型 8.最值问题 例 16、若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m2+n2 的最小值是(
A.2 B.2 与直线 C.4 D.2 互相垂直, 则 的最小值为 )

例 17、直线
( A.1 ) B.2

C.4

D.5

例18.过点P(1,2)作直线l,交x,y轴的正半轴于A、B两点,求使△OAB面积取得最小值 时直线l的方程.

题型9.创新问题 例19.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P(2,3),求过两点Q1(a1,b1), Q2(a2,b2)的直线方程.

例 20、已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,
则 b 的取值范围是( )

A.(0,1)

B.

C.

D.

例 21、在平面直角坐标系中,定义 d(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点 P(x1,y1),Q(x2,y2)之
间的“折线距离”,在这个定义下,给出下列命题: ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ②到原点的“折线距离”小于等于 2 的点构成的区域面积为 8; ③到 M(0,﹣2),N(0,2)两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是 y=0; ④直线 y=x+1 上的点到 N(0,2)的“折线距离”的最小值为 1. 其中真命题有( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

例 22、已知两定点 M(-2,0),N(2,0),若直线上存在点 P,使得
直线为“A 型直线”.给出下列直线: ① , ② , ③ . , ④ ,

,则该称

其中是“A 型直线”的序号是

例 23、已知直线 l:

(A,B 不全为 0),两点 ,且

, ,则(

,若 )

A.直线 l 与直线 P1P2 不相交 C.直线 l 与线段 P1 P2 的延长线相交

B.直线 l 与线段 P2 P1 的延长线相交 D.直线 l 与线段 P1P2 相交

例 24. 已知实数 x,y 满足 y=x2-2x+2(-1≤x≤1).试求

y+3 的最大值与最小值. x+2

强化训练 1.下列说法中不正确的是( ) (A)点斜式y-y0=k(x-x0)适用于不垂直于x轴的任何直线 (B)斜截式y=kx+b适用于不垂直x轴的任何直线 y ? y1 x ? x1 (C)两点式 适用于不垂直于坐标轴的任何直线 ? y2 ? y1 x2 ? x1 x y (D)截距式 ? ? 1 适用于不过原点的任何直线 a b 2.直线3x-2y=4的截距式方程为( ) 3x y 3x y x y x y ?1 (A) ? ? 1 (B) ? ? 1 (C ) ? (D) ? ?1 1 1 4 4 2 4 ?2 ?2 3 2 3 3.过点(3,-4)且平行于x轴的直线方程是 ;过点(5,-2)且平 行于y轴的直线方程是 。 4.过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于A、B两点,若P为AB的中点,求直线的方程.

5.已知△ABC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0),求: (1)△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程; (2)BC边的中线的一般式方程,并化为截距式方程.

6.如果AC<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 7. 直线l过点P(1, 3), 且与x, y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6, 则l的方程是 ( ) (A)3x+y-6=0 (B)x+3y-10=0 (C)3x-y=0 (D)x-3y+8=0 2 2 8.若直线(2m +m-3)x+(m -m)y=4m-1在x轴上的截距为1,则实数m是( ) 1 1 (A)1 (B)2 (C)- (D)2或- 2 2 2 2 9.已知直线l:Ax+By+C=0(A +B ≠0),点P(x0,y0)在l上,则l的方程可化为( ) (A)A(x+x0)+B(y+y0)+C=0 (B)A(x+x0)+B(y+y0)=0 (C)A(x-x0)+B(y-y0)+C=0 (D)A(x-x0)+B(y-y0)=0 10.经过点(-3,-2),在两坐标轴上截距相等的直线方程为 11.若点(a,12)在过点(1,3)及点(5,7)的直线上,则a= 12.、在平面直角坐标系
与 轴、 ① ② ③ ④ 轴分别交于 存在正实数 存在正实数 存在正实数 存在正实数 、 中, 是坐标原点,设函数 两点,给出下列四个命题: 的面积为 的面积为 的面积为 的面积为 . 、 上的动点,则使 , 定义: 取最小值时点 M 的坐标是 .已 . 的直线 仅有一条; 的直线 仅有两条; 的直线 仅有三条; 的直线 仅有四条.

.
的图象为直线 ,且

,使△ ,使△ ,使△ ,使△

其中所有真命题的序号是 13、在平面直角坐标系 xOy 中, 设点 知点 ,点 M 为直线

14(1)已知直线l:(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0,求m的取值范围# (2)如果ab>0,bc<0,那么直线ax-by-c必经过第几象限?


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