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抛物线的参数方程学案含解析新人教A版选修4

时间:2017-11-14


2~3.双曲线的参数方程

抛物线的参数方程

1.双曲线的参数方程 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 2- 2=1 的参数方程是?

x2 y2 a b

? ?x=asec φ , ?y=btan φ ?



为参数).规定参数 φ 的取值范围为 φ ∈ (1)双曲线? 焦点坐标是________.

?x=2 3tan α , ?y=6sec α

(α 为参数)的

x=tan t, ? ? (2)将方程? 1-cos 2t y= ? ? 1+cos 2t

(t 为参数)化为普通方程是________.

(1)可先将方程化为普通方程求解; (2)利用代入法消去 t. (1)将?

?x=2 3tan α , ?y=6sec α

化为 - =1, 36 12

y2

x2

可知双曲线焦点在 y 轴,且 c= 36+12=4 3, 故焦点坐标是(0,±4 3). 1-cos 2t 2sin t 2 (2)由 y= = 2 =tan t, 1+cos 2t 2cos t 将 tan t=x 代入上式,得 y=x ,即为所求方程. (1)(0,±4 3) (2)y=x
2 2 2

(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程,特别是将参数方程化为普通 方程,还要明确参数的意义. (2)对双曲线的参数方程,如果 x 对应的参数形式是 sec φ ,则焦点在 x 轴上;如果 y 对应的参数形式是 sec φ ,则焦点在 y 轴上.

1.如果双曲线?

?x=sec θ , ? ?y=6tan θ ?

(θ 为参数)上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么 P

到它的左焦点距离是________. 解析:由双曲线参数方程可知 a=1,

1

故 P 到它左焦点的距离|PF|=10 或|PF|=6. 答案:10 或 6 2. 过抛物线?
?y=2t, ? ? ?x=t
2

(t 为参数)的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1), B(x2, y2)两点,

如果 x1+x2=6,则|AB|=________. 解析:化为普通方程是 x= ,即 y =4x,∴p=2. 4 ∴|AB|=x1+x2+p=8. 答案:8 双曲线、抛物线参数方程的应用 连接原点 O 和抛物线 2y=x 上的动点 M,延长 OM 到 P 点,使|OM|=|MP|,求 P 点的 轨迹方程,并说明它是何曲线. 由条件可知,M 点是线段 OP 的中点,利用中点坐标公式,求出点 P 的轨迹方程,再 判断曲线类型. 设 M(x,y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在 OM 的延长线上,且 M 为线段 OP 的中点, 抛物线的参数方程为?
? ?x=2t, ?y=2t ?
2 2

y2

2

(t 为参数).用中点公式得?

? ?x0=4t, ?y0=4t . ?
2

1 2 2 变形为 y0= x0,即 P 点的轨迹方程为 x =4y. 4 此曲线为抛物线.

在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时, 常根据需要引入一个中间变量即参数 (将 x,y 表示成关于参数的函数),这种方法是参数法,而涉及曲线上的点的坐标时,可根 据曲线的参数方程表示点的坐标.

3.设 P 为等轴双曲线 x -y =1 上的一点,F1 和 F2 为两个焦点,证明:|F1P|?|F2P|= |OP| .
2

2

2

证明:如图,设双曲线上的动点为 P(x,y),焦点 F1(- 2,0),F2( 2,0),双曲线

2

的参数方程为?

?x=sec θ , ? ?y=tan θ ?
2

(θ 为参数).

则:(|F1P|?|F2P|) =

=(sec θ +2 2sec θ +2+tan θ )(sec θ -2 2sec θ +2+tan θ ) =( 2sec θ +1) ( 2sec θ -1) =(2sec θ -1) . 又|OP| =sec θ +tan θ =2sec θ -1, 由此得|F1P|?|F2P|=|OP| .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

4.如图所示,O 是直角坐标系的原点,A,B 是抛物线 y =2px(p>0)上异于顶点的两动 点,且 OA⊥OB,OM⊥AB 于点 M,求点 M 的轨迹方程. 解:根据条件,设点 M,A,B 的坐标分别为(x,y), (2pt1,2pt1),(2pt2,2pt2)(t1≠t2,且 t1t2≠0),则 ― → ― → OM =(x,y), OA =(2pt2 1,2pt1), ― → ― → 2 2 OB =(2pt2 2,2pt2), AB =(2p(t2-t1),2p(t2-t1)). ― → ― → 因为 OA ⊥ OB , ― → ― → 所以 OA ? OB =0, 即(2pt1t2) +(2p) t1t2=0, 所以 t1t2=-1.① ― → ― → 因为 OM ⊥ AB , ― → ― → 所以 OM ? AB =0, 即 2px(t2-t1)+2py(t2-t1)=0, 所以 x(t1+t2)+y=0, 即 t1+t2=- (x≠0).② ― → 2 因为 AM =(x-2pt1,y-2pt1), ― → MB =(2pt2 2-x,2pt2-y),
3
2 2 2 2 2 2

2

y x

且 A,M,B 三点共线, 所以(x-2pt1)(2pt2-y) =(y-2pt1)(2pt2-x), 化简,得 y(t1+t2)-2pt1t2-x=0.③ 将①②代入③,得到 y?- ?+2p-x=0, 即 x +y -2px=0(x≠0), 这就是点 M 的轨迹方程. 课时跟踪检测(十一) 一、选择题
? ?x=t -1, 1.曲线? ?y=2t+1 ?
2 2 2 2 2

? y? ? x?

(t 为参数)的焦点坐标是(

)

A.(1,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1) 解析:选 B 将参数方程化为普通方程(y-1) =4(x+1), 该曲线为抛物线 y =4x 向左、向上各平移一个单位得到, 所以焦点为(0,1). 2.圆锥曲线?
? ?x=4sec θ , ?y=3tan θ ?
2 2

(θ 是参数)的焦点坐标是(

)

A.(-5,0) B.(5,0) C.(±5,0) D.(0,±5) 解析:选 C 由?
?x=4sec θ , ? ? ?y=3tan θ

(θ 为参数)得

- =1, 16 9

x2

y2

∴它的焦点坐标为(±5,0).
?x=e +e , ? 3.方程? t -t ?y=e -e ?
t
-t

(t 为参数)的图形是(

)

A.双曲线左支 B.双曲线右支 C.双曲线上支 D.双曲线下支 解析:选 B ∵x -y =e +2+e 且 x=e +e ≥2 e ?e =2. ∴表示双曲线的右支. 4.点 Μ 0(0,2)到双曲线 x -y =1 的最小距离(即双曲线上任一点 Μ 与点 Μ 0 的距离的 最小值)是( ) D.3
2 2 2 2 2 2 2t -2t

-(e -2+e

2t

-2t

)=4.

t

-t

t

-t

A.1 B.2 C. 3

解析:选 C ∵双曲线方程为 x -y =1,∴a=b=1.

4

∴双曲线的参数方程为?

?x=sec θ , ? ?y=tan θ ?

(θ 为参数).

设双曲线上一动点为 Μ (sec θ ,tan θ ), 则|Μ 0Μ | =sec θ +(tan θ -2)
2 2 2 2 2

=(tan θ +1)+(tan θ -4tan θ +4) =2tan θ -4tan θ +5=2(tan θ -1) +3. 当 tan θ =1 时,|Μ 0Μ | 取最小值 3,
2 2 2

此时有|Μ 0Μ |= 3. 二、填空题 π? ? 2 2 5.已知动圆方程 x +y -xsin 2θ +2 2y?sin?θ + ?=0(θ 为参数).则圆心的轨 4? ? 迹方程是________. 1 ? ?x=2sin 2θ , 解析:圆心轨迹的参数方程为? π? ?θ + 4 ?. ?y=- 2sin? ? ? ? 即?
? ?x=sin θ cos θ , ?y=-?sin θ +cos θ ?. ?

消去参数,得

1? ? 1 y2=1+2x?- ≤x≤ ?.

? 2

2?

1? ? 1 2 答案:y =1+2x?- ≤x≤ ? 2? ? 2 6.双曲线?

?x= 3tan θ , ?y=sec θ
2

(θ 为参数)的两条渐近线的倾斜角为________.

解析:将参数方程化为 y - =1, 3 此时 a=1,b= 3, 设渐近线倾斜角为 α ,则 tan α =± ∴α =30°或 150°. 答案:30°或 150° 7.(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为? 1 3 =± 3 . 3

x2

?x=t, ?y= t

(t

5

为参数)和?

?x= 2cos θ , ?y= 2sin θ ?x=t, ?y= t

(θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________.

解析:由?

(t 为参数)得 y= x,

又由?

?x= 2cos θ , ?y= 2sin θ
得?

(θ 为参数)得 x +y =2.

2

2

由?

?y= x, ?x2+y2=2,

? ?x=1, ?y=1, ?

即曲线 C1 与 C2 的交点坐标为(1,1). 答案:(1,1) 三、解答题 8.已知圆 O1:x +(y-2) =1 上一点 P 与双曲线 x -y =1 上一点 Q,求 P,Q 两点距 离的最小值. 解:由题意可知 O1(0,2),∵Q 为双曲线 x -y =1 上一点,设 Q(sec θ ,tan θ ), 在△O1QP 中,|O1P|=1,|O1P|+|PQ|≥|O1Q|. 又|O1Q| =sec θ +(tan θ -2)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=(tan θ +1)+(tan θ -4tan θ +4) =2tan θ -4tan θ +5 =2(tan θ -1) +3. π 2 ∴当 tan θ =1,即 θ = 时,|O1Q| 取最小值 3,此时有|O1Q|min= 3. 4 ∴|PQ|min= 3-1. 9.已知双曲线方程为 x -y =1,Μ 为双曲线上任意一点,点 Μ 到两条渐近线的距离 分别为 d1 和 d2,求证:d1 与 d2 的乘积是常数. 证明:设 d1 为点 Μ 到渐近线 y=x 的距离,d2 为点 Μ 到渐近线 y=-x 的距离, 因为点 Μ 在双曲线 x -y =1 上,则可设点 Μ 的坐标为(sec α ,tan α ).
2 2 2 2 2 2

d1=

|sec

α -tan α 2

|

,d2=

|sec

α +tan α 2

|



d1d2=

|sec2α

-tan α 2

2

|

1 = , 2

故 d1 与 d2 的乘积是常数.

10.过点 A(1,0)的直线 l 与抛物线 y =8x 交于 M,N 两点,求线段 MN 的中点的轨迹方
6

2

程.
?x=8t , ? 解:法一:设抛物线的参数方程为? ?y=8t ?
2

(t 为参数),可设 M(8t1,8t1),N(8t2,

2

2

8t2), 8t2-8t1 1 则 kMN= 2 . 2= 8t2-8t1 t1+t2 又设 MN 的中点为 P(x,y), 8t +8t ? ?x= 2 , 则? 8t +8t ?y= 2 . ?
1 2 2 1 2 2

4?t1+t2? ∴kAP= , 2 2 4?t1+t2?-1

? ?x=4?t1+t2?, 1 由 kMN=kAP 知 t1t2=- ,又? 8 ?y=4?t1+t2?, ?

2

2

?x 1? 2 2 2 则 y =16(t1+t2+2t1t2)=16? - ?=4(x-1). ?4 4?
∴所求轨迹方程为 y =4(x-1). 法二:设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 M,N 在抛物线 y =8x 上知?
2 2 2 2 2 2

?y1=8x1, ? ? ?y2=8x2,

两式相减得 y1-y2=8(x1-x2),即(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2), ∴

y1-y2 8 = .设线段 MN 的中点为 P(x,y),∴y1+y2=2y. x1-x2 y1+y2 y y1-y2 8 4 ,又 kMN= = = , x-1 x1-x2 y1+y2 y

由 kPA= ∴

y 4 2 = .∴y =4(x-1). x-1 y
2

∴线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 y =4(x-1).

7


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