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【高考领航】2017届高三数学(理)二轮复习练习:1-6-2圆锥曲线的方程与性质.doc

时间:2017-04-07


限时速解训练十六

圆锥曲线的方程与性质

(建议用时 40 分钟) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) x2 y2 5 1.已知双曲线 C: 2 - 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( a b 2 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 D.y=± x 5 1 -1= , 4 2 1 B.y=± x 3 )

b 解析:选 C.∵ = e2-1= a

1 ∴C 的渐近方程为 y=± x.故选 C. 2 2.已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离 为( A. 3 C. 3m ) B.3 D.3m x2 y2 - =1,(m>0) 3m 3

解析:选 A.双曲线 C 的标准方程为 ∴a2=3m,b2=3. 焦点到渐近线的距离为 b= 3.

3.(2016· 高考四川卷)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是( A.(0,2) C.(2,0) B.(0,1) D.(1,0)

)

解析:选 D.先确定焦参数 p,再求焦点坐标. 由 y2=4x 知 p=2,故抛物线的焦点坐标为(1,0). x2 4.焦点为(0,6)且与双曲线 -y2=1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2 x2 y2 A. - =1 12 24 y2 x2 C. - =1 24 12 y2 x2 B. - =1 12 24 x2 y2 D. - =1 24 12 )

x2 解析:选 B.设所求双曲线方程为 -y2=λ,因为焦点为(0,6),所以|3λ|=36,又焦点在 y 轴 2 上,所以 λ=-12,故选 B. x2 y2 5.斜率为 2 的直线 l 过双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的右焦点,且与双曲线的左、右两支 a b 都相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( )

A.(-∞, 2) C.(1, 5)

B.(1, 3) D.( 5,+∞)

b b 解析:选 D.依题意,结合图形分析可知,双曲线的一条渐近线的斜率 必大于 2,即 >2, a a a2+b2 c 因此该双曲线的离心率 e= = = a a b?2 1+? ?a? > 5.

x2 y2 6.若双曲线 E: - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线 E 上,且|PF1|=3, 9 16 则|PF2|等于( A.11 C.5 ) B.9 D.3

解析:选 B.|PF1|=3<a+c=8,故点 P 在双曲线的左支上,由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|= 2a=6,所以|PF2|=9,故选 B. 7.下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=± 2x 的是( y2 A.x2- =1 4 y2 C. -x2=1 4 x2 B. -y2=1 4 x2 D.y2- =1 4 )

解析:选 C.由于焦点在 y 轴上,故排除 A、B.由于渐近线方程为 y=± 2x,故排除 D.故选 C. x2 y2 8.已知双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 3),且双曲线的一个焦点在抛 a b 物线 y2=4 7x 的准线上,则双曲线的方程为( x y A. - =1 21 28 x2 y2 C. - =1 3 4
2 2

)

x y B. - =1 28 21 x2 y2 D. - =1 4 3

2

2

b b 3 解析: 选 D.因为点(2, 3)在渐近线 y= x 上, 所以 = , 又因为抛物线的准线为 x=- 7, a a 2 x2 y2 所以 c= 7,故 a2+b2=7,解得 a=2,b= 3.故双曲线的方程为 - =1. 4 3 x2 y2 9.(2016· 甘肃兰州联考)已知椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,右顶 a b 点为 A,上顶点为 B,若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 =( A. C. 2 2 2 3 ) B. D. 3 2 3 3 6 |F F |,则椭圆 C 的离心率 e 6 1 2

解析:选 A.设椭圆 C 的焦距为 2c(c<a),由于直线 AB 的方程为 bx+ay-ab=0,所以由题 意知 ab 6 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2= 3 c,又 b =a -c ,所以 3a -7a c +2c =0,解得 a =2c 或 3a =c (舍), a +b 2 ,故选 A. 2

所以 e=

10.(2016· 山西质量监测)设 P 为双曲线 C:x2-y2=1 上一点,F1、F2 分别为双曲线 C 的左、 1 右焦点,若 cos∠F1PF2= ,则△PF1F2 的外接圆半径为( 3 9 A. 4 3 C. 2 B.9 D.3 )

1 解析:选 C.由题意知双曲线中 a=1,b=1,c= 2,所以|F1F2|=2 2.因为 cos∠F1PF2= , 3 所以 sin∠F1PF2= 2 2 |F1F2| 2 2 .在△PF1F2 中, =2R(R 为△PF1F2 的外接圆半径),即 = 3 sin∠F1PF2 2 2 3

3 3 2R,解得 R= ,即△PF1F2 的外接圆半径为 ,故选 C. 2 2 x2 11.(2016· 豫东、豫北十校联考)椭圆 C: 2 +y2=1(a>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为 a 椭圆上异于端点的任意一点,PF1,PF2 的中点分别为 M,N,O 为坐标原点,四边形 OMPN 的周长为 2 3,则△PF1F2 的周长是( A.2( 2+ 3) C. 2+ 3 B. 2+2 3 D.4+2 3 )

解析:选 A.因为 O,M 分别为 F1F2 和 PF1 的中点, 1 所以 OM∥PF2,且|OM|= |PF2|,同理, 2 1 ON∥PF1,且|ON|= |PF1|,所以四边形 OMPN 为平行四边形,由题意知,|OM|+|ON|= 3, 2 故|PF1|+|PF2|=2 3, 即 2a=2 3, a= 3, 由 a2=b2+c2 知 c2=a2-b2=2, c= 2, 所以|F1F2| =2c=2 2,故△PF1F2 的周长为 2a+2c=2 3+2 2,选 A.

x2 y2 12.(2016· 河南洛阳统考)已知双曲线 C: 2 - 2=1(a>0,b>0),斜率为 1 的直线过双曲线 a b

→ → C 的左焦点且与该双曲线交于 A,B 两点,若OA+OB与向量 n=(-3,-1)共线,则双曲 线 C 的离心率为( A. 3 4 C. 3 ) 2 3 B. 3 D.3

解析:选 B.由题意得直线方程为 y=x+c,代入双曲线的方程并整理可得(b2-a2)x2-2a2cx -a2c2-a2b2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2a2c 2b2c , 2 2,y1+y2=x1+x2+2c= 2 b -a b -a2

→ → → → 2a2c 2b2c ? 2a2c 2b2c ? , ∴OA+OB= b2-a2 b2-c2 , 又∵OA+OB与向量 n=(-3, -1)共线, ∴ 2 2=3· 2 2, ? ? b -a b -a c 2 3 ∴a2=3b2,又 c2=a2+b2,∴e= = .故选 B. a 3 二、填空题(把答案填在题中横线上) 13.若抛物线 y2=2px(p>0)的准线经过双曲线 x2-y2=1 的一个焦点,则 p=________. p p 解析:抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程为 x=- (p>0),故直线 x=- 过双曲线 x2-y2=1 2 2 p 的左焦点(- 2,0),从而- =- 2,得 p=2 2. 2 答案:2 2 14.(2016· 山东聊城一模)抛物线 y2=8x 的焦点到直线 x- 3y=0 的距离是________. 解析:由抛物线方程知 2p=8? p=4,故焦点为(2,0),由点到直线的距离公式知,焦点(2,0) 到直线 x- 3y=0 的距离 d= 答案:1 15.(2016· 贵州贵阳一模)已知 F1、F2 是椭圆 PF1⊥PF2,则△F1PF2 的面积为________. 解析:由题意可得 a=10,b=8,c=6.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=20①,在 Rt△PF1F2 中,由勾股定理,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=144②, ①2-②,得 2|PF1|· |PF2|=400-144=256, 1 1 ∴|PF1|· |PF2|=128,∴S△F1PF2= |PF1|· |PF2|= × 128=64. 2 2 答案:64 x2 y2 16.过双曲线 C: 2 - 2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 C 于点 a b P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为________. x2 y2 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上一点,且 100 64 |2- 3× 0| =1. 1+3

x2 y2 解析:如图,F1,F2 为双曲线 C 的左、右焦点,将点 P 的横坐标 2a 代入 2 - 2=1 中,得 a b y2=3b2,

不妨令点 P 的坐标为(2a,- 3b), 3b b 此时,kPF2= = , c-2a a 得到 c=(2+ 3)a, c 即双曲线 C 的离心率 e= =2+ 3. a 答案:2+ 3


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