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高三数学复习专题练习题:解三角形(含答案)

时间:2018-06-30


高三数学复习专题练习:解三角形(含答案)
一. 填空题(本大题共 15 个小题,每小题 5 分,共 75 分) 1.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 2.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则
sin B 的值为 sin C 1 4
2 2 2

三角形. . . .

3.已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且面积 S△ABC= (b +c -a ) ,则 A= 4.在△ABC 中,BC=2,B=
2 2 2

? 3 ,若△ABC 的面积为 ,则 tanC 为 3 2

5.在△ABC 中,a -c +b =ab,则 C= 6.△ABC 中,若 a +b +c =2c (a +b ),则 C=
4 4 4 2 2 2

. . .

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7 ,c= 3 ,则 B= 8.在△ABC 中,若∠C=60°,则
a b + = b?c c?a

.

9.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°, 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 km.

10.一船自西向东匀速航行, 上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为 海里/小时. . .

11. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2 ,b= 6 ,B=120°,则 a= 12. 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3 ac,则角 B 的值为
2 2 2

13. 一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航 行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60 ,另一灯塔在船的南偏西 75 ,则这艘船是每小时 航行________ 海里. 14.在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为 . .
0 0

15.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( 3 b-c)cosA=acosC,则 cosA= (资料由“广东考神”上传,如需更多高考复习资料,请上 tb 网搜“广东考神” )

二、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分)
1、 已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S, 且 2S=(a+b) -c ,求 tanC 的值. (10 分)
2 2

2、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,并且 a =b(b+c). (1)求证:A=2B; (2)若 a= 3 b,判断△ABC 的形状.

2

(11 分)

3、在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13 ,a+c=4,求△ABC 的面积.

cos B b =. cos C 2a ? c

(12 分)

4、△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b +c -a +bc=0. (12 分) (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3 ,求 bc 的最大值;

2

2

2

(3)求

a sin(30? ? C ) 的值. b?c

5、已知△ ABC 的周长为 4( 2 ? 1) ,且 sin B ? sin C ? (1)求边长 a 的值; (2)若 S ?ABC ? 3 sin A ,求 cos A 的值.

2 sin A .

(12 分)

6、在某海岸 A 处,发现北偏东 30 ? 方向,距离 A 处 n mile 的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 15? ( 3 ? 1) 的方向,距离 A 处 6 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 5 3 n mile/h 的速度追截走私船. 此时,走私船正 以 5 n mile/h 的速度从 B 处按照北偏东 30 ? 方向逃窜,问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船,并指 出缉私船航行方向. (12 分)

C ·
15 ?
30 ?

B ·

A

参考答案:
一、填空题: 1、等腰;2、 ;3、45°;4、 9、 3 a ;10、 二、解答题: 1、解:依题意得 absinC=a +b -c +2ab, 由余弦定理知,a +b -c =2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即 sinC=2+2cosC, 所以 2sin
C C cos 2 2
2 tan
2 2 2 2 2 2

3 5

5? 3 ;5、60°;6、45°或 135°;7、 ;8、1; 6 3

? 2? 17 6 3 ;11、 2 ;12、 或 ;13、10;14、10 3 ;15、 。 3 3 3 2

=4cos

2

C 2

C 化简得:tan =2. 2

C 2 =- 4 . ) 从而 tanC= 3 2 C 1 ? tan 2

2、解: (1)证明 因为 a =b(b+c),即 a =b +bc, 所以在△ABC 中,由余弦定理可得, cosB= =
a 2 ? c 2 ? b 2 c 2 ? bc b ? c = = 2a 2ac 2ac

2

2

2

a sin A a2 = = , 2 ab 2b 2 sin B

所以 sinA=sin2B,故 A=2B. (2)解 因为 a= 3 b,所以 由 a =b(b+c)可得 c=2b, cosB=
a 2 ? c 2 ? b 2 3b 2 ? 4b 2 ? b 2 3 = = , 2 2ac 2 4 3b
2

a = 3, b

所以 B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形.
a2 ? c2 ? b2 , 2ac

3、解: (1)由余弦定理知:cosB= cosC=

cos B b a2 ? b2 ? c2 . 将上式代入 =得: cos C 2a ? c 2ab

b 2ab a2 ? c2 ? b2 2 2 2 · 2 2 2 =,整理得:a +c -b =-ac 2a ? c 2ac a ?b ?c

∴cosB=

1 2 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac = =- , ∵B 为三角形的内角,∴B= ? . 2 ac 2 3 2ac 2 2 2 2 ? 代入 b =a +c -2accosB, 3

(2)将 b= 13 ,a+c=4,B=

1 3 3 2 2 2 1? 得 b =(a+c) -2ac-2accosB,∴b =16-2ac ? . ?1 ? ? ,∴ac=3. ∴S△ABC= acsinB=

?

2?

2

4

4、解: (1)∵cosA=
2

1 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc = =- , 2bc 2 2bc
2 2 2

又∵A∈(0°,180°) ,∴A=120°.

(2)由 a= 3 ,得 b +c =3-bc, 又∵b +c ≥2bc(当且仅当 c=b 时取等号) , ∴3-bc≥2bc(当且仅当 c=b 时取等号). 即 当且仅当 c=b=1 时,bc 取得最大值为 1. (3)由正弦定理得:
a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C
3 1 3 ( cos C ? sin C ) 2 2 2 sin( 60? ? C ) ? sin C



a sin(30? ? C ) 2R sin A sin(30? ? C ) ? b?c 2R sin B ? 2R sin C

A sin(30? ? C ) = sinsin B ? sin C

=

=

3 3 cos C ? sin C ) 4 4 3 3 cosC ? sin C 2 2

5、解:(1)根据正弦定理, sin B ? sin C ? 可化为 b ? c ? 联立方程组 ? (2)

2 sinA

2a .

???3 分 ,解得 a ? 4 .

? ?a ? b ? c ? 4( 2 ? 1) ? ?b ? c ? 2a


S?ABC ? 3sin A ,

1 bc sin A ? 3sin A ,bc ? 6 . 2

又由(1)可知, b ? c ? 4 2 , ∴ cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 (b ? c)2 ? 2bc ? a 2 1 ? ? . 2bc 2bc 3

6、解:设缉私船至少经过 t h 可以在 D 点追上走私船,则 CD ? 5 3t , BD ? 5t 在△ABC 中,由余弦定理得,

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos(15? ? 30? ) ? 4 , ∴ BC ? 2
由正弦定理得,

D C ·
15 ?
30 ?

BC AC ? , ? sin ABC sin 45

B ·

∴ sin ABC ?

3 , ?ABC ? 60? 2

∴点 B 在 C 的正东方向上, ?DBC ? 120? 又在△DBC 中,由正弦定

A

CD BD ? 理得 : , ? sin BCD sin120

∴ sin BCD ?

1 ,∴ ?BCD ? 30? 2
2 ,又 ?BCD ? 30? 5

∴ ?BDC ? 30? ,∴ BD ? BC ,即 5t ? 2 ,∴ t ? 所以:缉私船至少经过

2 h 可以追上走私船,缉私船的航行方向为北偏东 60? . 5


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