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3.1.1空间向量及其加减运算 课件(人教A版选修2-1)_图文

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3.1.1 3.1.1 空间向量及其加减运算 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间 向量的概念. 2.掌握空间向量的加法、减法运算. 结合平面向量的相关性质,类比学习空间向量的概 念与运算.通过对空间向量的学习进一步体会数形结合 的思想. 研一研· 问题探究、课堂更高效 3.1.1 探究点一 空间向量的概念 问题 1 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三 → → → 个向量OA,OB,OC,它们和以前所学的向量有什么不 同? 答案 → → → OA,OB,OC是不同在一个平面内的向 量,而我们以前所学的向量都在同一平面内. 结论:在空间,具有大小和方向的量叫空间向量.向量的 大小叫做向量的长度或模. 研一研· 问题探究、课堂更高效 3.1.1 问题 2 用? 空间向量和平面向量有什么区别?它有什么作 答案 空间向量与平面向量没有本质区别,都是表示既 有大小又有方向的量,具有数与形的双重性.形的特征: 方向、长度、夹角等;数的属性:大小、正负、可进行 运算等.空间向量的数形双重性,使形与数的转化得以 实现,利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来 解决. 研一研· 问题探究、课堂更高效 3.1.1 问题 3 向量可以用有向线段表示, 是否可以说向量就是有 向线段? 答案 不可以.向量是借助于有向线段表示的;向量只 要具备大小与方向即可, 而有向线段的三要素是: 起点、 方向、大小. 问题 4 “空间中任何两个向量都是共面向量”, 这个结论 是否正确? 答案 正确.根据向量相等的定义,可以把向量进行平 移,空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,成为 共面向量. 研一研· 问题探究、课堂更高效 3.1.1 例 1 给出下列命题: ①两个空间向量相等,则它们起点相同,终点也相同; ②若空间向量 a, b,满足 |a |= |b |,则 a= b; → → ③在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,必有AC=A1C1; ④若空间向量 m, n, p 满足 m= n, n= p,则 m= p; ⑤空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确的命题的个数是 ( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析 当两向量的起点相同,终点也相同时,这两个向 量必相等;但两个向量相等,却不一定有起点相同,终 点相同,故①错; 研一研· 问题探究、课堂更高效 3.1.1 根据向量相等的定义,不仅模相等,而且方向相同,故② 错; → → 根据正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,向量AC与A1C1的方向相 → → 同,模也相等,应有AC=A1C1,故③正确; 命题④显然正确; 空间中任意两个单位向量模均为 1,但方向不一定相同,故 不一定相等,故⑤错. 小结 在空间,零向量、单位向量、向量的模、相等(反) 向量的概念和平面向量完全一致,两向量相等的充要条件 是两个向量的方向相同、模相等. 研一研· 问题探究、课堂更高效 3.1.1 ( B ) 跟踪训练 1 下列说法中正确的是 B.若向量 a 是向量 b 的相反向量,则 |a |=|b| C.空间向量的减法满足结合律 → → → D.在四边形 ABCD 中,一定有AB+AD=AC A.若|a |= |b |,则 a、b 的长度相同,方向相同或相反 解析 |a|=|b|, 只是说明 a, b 模相等, 但方向不确定, 则 A 错; 相反向量方向相反,模相等,则 B 正确; C 显然不对; → → → 在?ABCD 中,AB+AD=AC,一般的四边形 ABCD 不 满足此式,则 D 错. 研一研· 问题探究、课堂更高效 3.1.1 探究点二 空间向量的加减运算 问题 1 怎样计算空间两个向量的和与差? 答案 因为任意两个向量都是共面向量,所以空间两个 向量的加减法和平面向量的加减法完全一样.运算中要 掌握好三角形法则和平行四边形法则的应用. 研一研· 问题探究、课堂更高效 3.1.1 问题 2 使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求? 答案 (1)利用三角形法则进行加法运算时, 注意“首尾 相连”, 和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二 个向量的终点.进行减法运算时,注意“共起点”,差 向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点. (2)平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算.注 意: 平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边 表示向量的和与差. (3)三角形法则也可推广为多边形法则: 即在空间中, 把 有限个向量顺次首尾相连, 则从第一个向量的起点指向 最后一个向量的终点的向量即表示这有限个向量的和 向量. 3.1.1 例 2 如图,已知长方体 ABCD—A′B′C′D′,化简下列 向量表达式, 并在图中标出化简结果的向量. → → (1)AA′-CB; → → → (2)AA′+AB+B′C′. → → → → → → 解 (1)AA′-CB=AA′-DA=AA′+AD → → → =AA′+A′D′=AD′. → → → → → → (2)AA′+AB+B′C′=(AA′+AB)+B′C′ → → → =AB′+B′C′=AC′. → → 向量AD′、AC′如图所示. 小结 根据向量相等的概念,向量运算时可以根据需要进 研一研· 问题探究、课堂更高效 行平移向量;向量的加减法运算要遵循两个法则和运算律. 研一研· 问题探究、课堂更高效 3.1.1 → → → → 跟踪训练 2 化简:(1)(AB-CD)-(AC-BD); → → → → (2)(AB+CD)-(AC+BD). → → → → → → → → 解 (1)(AB-CD)-(AC-BD)=AB+BD-(AC+CD) → → =AD-AD=0. → → → → → → → → (2)(AB+CD)-(AC+BD)=(AB-AC)+(CD-BD) → → → =

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