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2012年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷带解析

时间:2013-07-24


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2012 年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷带解析)
1.已知集合 A ? {1, , , B ? {2 , , ,则 A ? B ? 2 4} 4 6} ▲ . 2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生. 3.设 a , b?R , a ? bi ?

11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值为 1 ? 2i


. 10.设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1, 上, 1]

4.下图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ?ax ? 1, 1 ≤ x ? 0 , ? f ( x) ? ? bx ? 2 其中 a , b?R .若 0 ? x ? 1 , ≤ x ≤ 1, ?
则 a ? 3b 的值为 ▲ .

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ? 2?

? ?? 4 ? 11.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin(2a ? ) 的值为 6? 5 12 ?
5.函数 f ( x) ? 1 ? 2 log 6 x 的定义域为 ▲ . 6.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一 个数,则它小于 8 的概率是 ▲ . 7.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 ▲ cm .
3



12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ .

b 13.已知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b(a , ?R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 ?
(m , ? 6) ,则实数 c 的值为 m


14.已知正数 a , , 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则 c b c

b 的取值范围是 a



评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

??? ???? ??? ??? ? ? ? 15.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC .
(1)求证: tan B ? 3tan A ;

x2 y2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为 ▲ . m m ?4 ??? ??? ? ? AB BC 9. 如图, 在矩形 ABCD 中, ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, F 在边 CD 上, AB ? AF ? 2 , 点 若
??? ??? ? ? 则 AE ? BF 的值是


(2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

16. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 1 1 ? AC1 , , 分别是棱 BC , 1 上的点 (点 D 不同于点 C ) , D E AB CC 1 且 AD ? DE , 为 B1C1 的中点. F 求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1B1 ;

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(2)直线 A1 F // 平面 ADE .

(i)若 AF1 ? BF2 ?

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2

(ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.

17.如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮 位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射 20

20.已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

, n ? N *,

(1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn ?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

21.如图, AB 是圆 O 的直径, D, E 为圆上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C ,使 BD ? DC ,连结 AC, AE, DE . (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由. 18. 若函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值, 则称 x 0 为函数 y ? f (x) 的极值点。 已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c?[?2 , ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. 2] 19. 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 求证: ?E ? ?C .

x y 右焦点分别为 F1 (?c , , 2 (c , . ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 0) F 0) 已 a 2 b2

2

2

? 3? 知 (1, ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. e ? 2 ? ? ?
(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P.

? 1 3 ? ?? 4 4 ? 22.已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1 ? 1? ? 2 2? ? ?
23.在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 的极坐标方程. 24.已知实数 x,y 满足: | x ? y |?

?

2,

?? ? 3 ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点,求圆 C 3? 2 4 ?

?

1 1 5 求证: | y |? . ,2 x ? y |? , | 3 6 18

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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25.设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时, ? ? 0 ;当两条棱平 行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 . (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) . 26.设集合 Pn ? {1, , , }, n ? N * .记 f (n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数: 2 … n ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A 。
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示) .

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

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参考答案 1. ?1, 2, 4,6? 。 【考点】集合的概念和运算。 【解析】由集合的并集意义得 A ? B ? ?1,2,4,6? 2.15。 【考点】分层抽样。 【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层,再在各层 内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组 减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此, 由 50 ? 3.8。 【 解 析 】 由 a ? bi ?

3 =15 知应从高二年级抽取 15 名学生 3?3? 4
11 ? 7i ?11 ? 7i ??1 ? 2i ? 11 ? 15i ? 14 11? 7i = = =5 ? 3i , 所 以 得 a ? bi ? 1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? 2i ? 1? 4 1 ? 2i

a =5 b =3, a ? b=8 ,
【考点】复数的运算和复数的概念。 4.5。 【解析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表: 是否继续循环 循环前 第一圈 第二圈 第三圈 第四圈 第五圈 第六圈 ∴最终输出结果 k=5 【考点】程序框图。 5. 0, 6 ? 。 ? 【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得 是 是 是 是 是 否 k 0 1 2 3 4 5 输出 5

k 2 ? 5k ? 4
0 0 -2 -2 0 4

?

?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ?? ?? ? 0< x ? 6 1 ? 1 2= 6 ?1 ? 2log 6 x ? 0 ?log 6 x ? ? 2 ?x ? 6 ?
6.

3 。 5

【考点】等比数列,概率。 【解析】∵以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列的 10 个数为 1,-3,9,-27,···其中有
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5 个负数,1 个正数 1 计 6 个数小于 8,∴从这 10 个数中随机抽取一个数,它小于 8 的概率是

6 3 = 10 5
7.6。 【解析】∵长方体底面 ABCD 是正方形,

3 (它也是 A ? BB1 D1 D 中 BB1 D1 D 上的高) 。 2 cm 2 1 3 ∴四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 ? 3 2 ? 2 ? 2=6 。 3 2
∴△ ABD 中 BD=3 2 cm,BD 边上的高是 【考点定位】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用,本题综合性较强,结合空间中点 线面的位置关系, 平面与平面垂直的性质定理考查, 重点找到四棱锥 A ? BB1 D1 D 的高为 AO, 这是解决该类试题的关键,在复习中,要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢,并 且会灵活运用,本题属于中档题,难度适中。 8.2。 【考点】双曲线的性质。 【 解 析 】 由

x2 y2 ? 2 ?1 m m ?4



a = m,b= m2 ? 4,c = m ? m2 ? 4



c m ? m2 ? 4 = 5 ,即 m2 ? 4m ? 4=0 ,解得 m=2 ∴ e= = a m
9. 2 。

? ? ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ? F s F 【 解 析 】 由 A B? A ? 2 , 得 A B? A ?c o ?
? ? ?? A F?c o ? F A B D F s = 。

F? B 2 由 矩 形 的 性 质 , 得 A ,

∵ AB ? 2 ,∴ 2 ?DF ? 2 ,∴ DF ? 1 。∴ CF ? 2 ? 1 。

??? ??? ? ? 记 AE 和BF 之间的夹角为 ?,?AEB ? ? , ?FBC ? ? ,则 ? ? ? ? ? 。
又∵ BC ? 2 , E 为 BC 的中点,∴ BE ? 1。 点 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∴ AE ? BF = AE ? BF ?cos ? = AE ? BF ?cos ?? ? ? ? = AE ? BF ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? = AE cos ? ? BF ?cos ? ? AE sin ? ? BF sin ? =BE ?BC ? AB?CF ? 1 ? 2 ? 2

?

2 ?1 ? 2

?

【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。 10. ?10 。 【考点】周期函数的性质。 【解析】∵ f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,∴ f ? ?1? ? f ?1? ,即 ?a ? 1=

b?2 ①。 2

1 ?3? ? 1? 又∵ f ? ? ? f ? ? ? = ? a ? 1 , 2 ?2? ? 2?

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ? 2?

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1 b?4 ②。联立①②,解得, a=2. b= ? 4 。∴ a ? 3b= ? 10 2 3 17 11. 2。 50 ? ? ? ? ? 2? 【解析】∵ ? 为锐角,即 0 < ? < ,∴ < ? ? < ? = 。 2 6 6 2 6 3
∴ ? a ? 1=

?? 4 ?? 3 ? ? ∵ cos ? ? ? ? ? ,∴ sin ? ? ? ? ? 。 6? 5 6? 5 ? ? ?? ?? ?? 3 4 24 ? ? ? ∴ sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? =2? ? = 。 3? 6? 6? 5 5 25 ? ? ? ?? 7 ? ∴ cos ? 2? ? ? ? 。 3 ? 25 ?
∴ sin(2a ?

?
12

)=sin(2a ?

?

? ?? ? ?? ? ? ? ? )=sin ? 2a ? ? cos ? cos ? 2a ? ? sin 3 4 3? 4 3? 4 ? ?

24 2 7 2 17 ? ? ? = 2 25 2 25 2 50 【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 =
12.

4 。 3
2

【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 【解析】∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4 ? ? y 2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1。 ∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆

C 有公共点;
∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 。 ∵ ACmin 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离 ∴ k 的最大值是 13.9。 【解析】由值域为 [0 , ?) ,当 x2 ? ax ? b=0 时有 V? a 2 ? 4b ? 0 ,即 b ? ?
2

4k ? 2 k 2 ?1

,∴

4k ? 2 k 2 ?1

? 2 ,解得 0 ? k ?

4 。 3

4 3

a2 , 4

∴ f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? x 2 ? ax ?

a2 ? a? ??x? ? 。 4 ? 2?

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a a a a? ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? 。 2? 2 2 2 ?
∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , ? 6) ,∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 c ? 9 m 【考点】函数的值域,不等式的解集。 14. ? e, ? 。 7

2

a 2

a 2

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥a ?c lnc 可化为: ? ? ? 4 。 c ?c c a ?b ? ? ec ?c


a b =x,y = ,则题目转化为: c c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x,y 满足 ? ,求 的取值范围。 x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x,y )所在平面区域(如图) 。

求出 y =e x 的切线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0 ? , 则

y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小,须 m=0 。 x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间。 x

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x,y )对应点 C 时, ? ?? ? y =7 x ? =7 , x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x

答案第 4 页,总 14 页

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y 的最大值在 C 处,为 7。 x y b ∴ 的取值范围为 ? e, ? ,即 的取值范围是 ? e, ? 7 7 a x
∴ 【考点】可行域。 15. (1)见解析(2) A=

? 。 4

【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 ??? ???? ??? ??? ? ? ? 【解析】 (1)先将 AB ? AC ? 3BA? BC 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系 式证明。

5 ,可求 tan C ,由三角形三角关系,得到 tan ?? ? ? A ? B ?? ,从而根据两 ? ? 5 角和的正切公式和(1)的结论即可求得 A 的值 ??? ???? ??? ??? ? ? ? 解: ∵ AB ? AC ? 3BA? BC , AB?AC? A=3BA? ? B , A ?o A3 B cs ?B (1) ∴ 即 C cs = C o 。 cos BC cos
(2)由 cos C ?

AC BC ,∴ sin B? A=3sin A? B 。 = cos cos sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A> 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 =3? cos B cos A
由正弦定理,得

? 5? 2 5 5 (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 , <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? 0 ? 5 ? = 5 ? 5 ? ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A?tan B 4 tan A 1 由 (1) ,得 tan ? ?2 ,解得 tan A=1, A= ? 。 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ?? ? ? A ? B ? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ? ? ∵ cos A> 0 ,∴ tan A=1 。∴ A=

? 4

16.见解析 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 【解析】 (1) 要证平面 ADE ? 平面 BCC1B1 , 只要证平面 ADE 上的 AD ? 平面 BCC1B1 即可。 它可由已知 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱和 AD ? DE 证得。 (2)要证直线 A1 F // 平面 ADE ,只要证 A1F ∥平面 ADE 上的 AD 即可 证明: (1)∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC 。 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD 。 又∵ AD ? DE , 1,DE ? 平面 BCC1B1,CC1 ? DE ? E ,∴ AD ? 平面 BCC1B1 。 CC 又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1B1 。
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(2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1F ? B1C1 。又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1F 。又∵ CC1, 1C1 ? 平面 BCC1B1 , CC1 ? B1C1 ? C1 ,∴ A1 F ? 平 B 面 A1 B1C1 。 由(1)知, AD ? 平面 BCC1B1 ,∴ A1F ∥ AD 。又∵ AD ? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE 17. (1)炮的最大射程是 10 千米。 (2)当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【解析】 (1)求炮的最大射程即求 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 与 x 轴的横坐标,求出后应用 20

基本不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解

1 1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x 2 =0 。 20 20 由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。
解: (1)在 y ? kx ?

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k ∴炮的最大射程是 10 千米。 (2)∵ a > 0 , 1 ∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? (1 ? k 2 )a 2 =3.2 成立, 20 2 2 2 即关于 k 的方程 a k ? 20ak ? a ? 64=0 有正根。
∴ x= 由 ? = ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

> 0 (不考虑另一根) 。

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 【考点定位】 本题主要考查二次函数的图像与性质以及求解函数最值问题, 在利用导数求解 函数的最值问题时, 要注意增根的取舍, 通过平面几何图形考查函数问题时, 首先审清题目, 然后建立数学模型,接着求解数学模型,最后,还原为实际问题,本题属于中档题,难度适 中。 18. (1) a=0,b= ? 3 (2) g ( x) 的极值点是-2 (3)当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个零点。 【解析】 (1)求出 y ? f (x) 的导数,根据 1 和 ?1 是函数 y ? f (x) 的两个极值点代入列方程 组求解即可。 (2)由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x ,求出 g ?( x) ,令 g ?( x)=0 ,求解讨论即可。

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(3)比较复杂,先分 d =2 和 d < 2 讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况;再考虑函数

y ? h( x) 的零点
解: (1)由 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a=0,b= ? 3 。 (2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g ?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ? 1? ? x ? 2 ? ,解得 x1 =x2 =1 x3 = ? 2 。 ,
2

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x <1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x= ? 2 是 g ( x) 的极值点。 ∵当 ?2 < x <1或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x=1 不是 g ( x) 的极值点。 ∴ g ( x) 的极值点是-2。 (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。 先讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况: d ? ? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注意到 f ( x) 是奇函数, ∴ f ( x)=2 的两个不同的根为一和 2。 当 d < 2 时,∵ f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0 , f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 , ∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x)=d 的根。 由(1)知 f' ( x)=3 ? x ? 1?? x ? 1? 。

? ① 当 x ? ? 2, ? ? 时, f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数,从而 f ( x) > f (2)=2 。

? 此时 f ( x)=d 在 ? 2, ? ? 无实根。
, ② 当 x ? ?1 2 ? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。
又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x)=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。

, ③ 当 x ? ? ?1 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。
又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 d =2 时, f ( x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当 d < 2 时

答案第 7 页,总 14 页

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f ( x)=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 。
现考虑函数 y ? h( x) 的零点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1,2 =2 。 t 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个零点。 ( 11 )当 c < 2 时, f (t )=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 ,满足 ti < 2,i =3, 4, 5 。 而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点。 综上所述,当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个零点 【考点定位】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的应用,考查较 全面系统,要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解。本题主要考查数 形结合思想和分类讨论思想,属于中高档试题,难度中等偏上,考查知识比较综合,全方位 考查分析问题和解决问题的能力,运算量比较大。 19.见解析 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。

? 3? 【解析】 (1)根据椭圆的性质和已知 (1, ) 和 ? e , ? 都在椭圆上列式求解。 e ? 2 ? ? ?
(2)根据已知条件 AF1 ? BF2 ? 解: (1)由题设知, a 2 =b2 ? c2,e=

6 ,用待定系数法求解 2

c ,由点 (1, ) 在椭圆上,得 e a

12 a2

?

e2 b2

?1?

1 a2

?

c2 a 2b 2

=1 ? b2 ? c 2 =a 2b2 ? a 2 =a 2b2 ? b2 =1 ,∴ c 2 =a 2 ? 1 。

? 3? 由点 ? e , ? 在椭圆上,得 ? 2 ? ? ?

? 3? ? 3? ? ? ? ? e2 ? 2 ? c2 ? 2 ? a2 ? 1 3 ? ?1? 4 ? ? 1 ? 4 ? ? 1 ? a 4 ? 4a 2 ? 4=0 ? a 2 =2 1 4 a2 b2 a a
∴椭圆的方程为

2

2

x2 ? y2 ? 1 。 2

(2)由(1)得 F1 (?1 , , F2 (1, ,又∵ AF1 ∥ BF2 , 0) 0) ∴设 AF1 、 BF2 的方程分别为 my =x ? 1,my =x ? 1 , A ? x1,y1 ?,B ? x2,y2 ?,y1 > 0,y2 > 0 。

答案第 8 页,总 14 页

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? x12 m ? 2m 2 ? 2 ? y12 ? 1 ? ? m2 ? 2 y12 ? 2my1 ? 1=0 ? y1 = ∴? 2 。 m2 ? 2 ?my =x ? 1 ? 1 1

?

?

∴ AF1 = ①

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 0 ?
2

2

= ? my1 ?

2

2 ? m2 ? 1? ? m m2 ? 1 m ? 2m 2 ? 2 ? y = m ?1 ? ? 。 m2 ? 2 m2 ? 2
2 1 2

同理, BF2 =

2 ? m 2 ? 1? ? m m 2 ? 1 m2 ? 2

。②

(i)由①②得, AF1 ? BF2 ? ∵注意到 m > 0 ,∴ m= 2 。 ∴直线 AF1 的斜率为

2m m 2 ? 1 2m m 2 ? 1 6 。解 得 m2 =2。 = 2 2 m ?2 m ?2 2

1 2 。 = m 2

(ii) 证明: AF1 ∥ BF2 , ∵ ∴

BF PB ? PF BF ? AF PB BF2 PB 1 1 ? ?1 ? 2 ?1? ? 2 , 即 。 PF1 AF1 PF1 AF PF AF 1 1 1

∴ PF1 =

AF1 BF1 。 AF1 ? BF2 AF1 2 2 ? BF2 。 AF1 ? BF2

由点 B 在椭圆上知, BF1 ? BF2 ? 2 2 ,∴ PF1 =

?

?

同理。 PF2 =

BF2 2 2 ? AF1 。 AF1 ? BF2 AF1 BF2 2 AF ?BF2 2 2 ? BF2 ? 2 2 ? AF1 ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2
2 2 m2 ? 1 m2 ? 2

?

?

∴ PF1 +PF2 =

?

?

?

?

由①②得, AF1 ? BF = ∴ PF1 +PF2 =2 2 ?

?

? , AF ?BF = m2 ? 1 ,
m2 ? 2

2 3 = 2。 2 2

∴ PF1 ? PF2 是定值。 20. (1)见解析 (2) a1 =b1 = 2

答案第 9 页,总 14 页

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【解析】 (1)根据题设 a n ?1 ?
2 2

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n?1 ? 1 ? ? n ? ,从而 an?1 an ? an ?

2

?b ? ?b ? 证明 ? n ?1 ? ? ? n ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
(2)根据基本不等式得到 1 < an ?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列 {an } 的公比

q=1 。
从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn ?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

数列。最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 解: (1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2



?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? 。 an?1 ? an ?
2 2 2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an ?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ? 2

2



?? b ? 2 ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 an ? ? ?? ? ?
(2)∵ an > 0,bn > 0 ∴ 1 < an ?1 ?

? a ? bn ? ,∴ n
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2。 (﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q=1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1q n > 2 ,与(﹡)矛盾。 a1 q a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1q n < 1 ,与(﹡)矛盾。 q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q=1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。
答案第 10 页,总 14 页

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又∵ bn ?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

2?
∴ bn =

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b1 = 2 【考点定位】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用,指数幂和根 式的互化, 数列通项公式的求解, 注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法, 本题是有关数列的综合题,从近几年的高考命题趋势看,数列问题仍是高考的热点、重点问 题,在训练时,要引起足够的重视。 21.见解析 【考点】圆周角定理,线段垂直平分线的判定和性质,等腰三角形的性质。 【解析】要证 ?E ? ?C ,就得找一个中间量代换,一方面考虑到 ?B和?E 是同弧所对圆周 角,相等;另 一方面由 AB 是圆 O 的直径和 BD ? DC 可知 AD 是线段 BC 的中垂线, 从而根据线段中垂线 上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到 ?B ? ?C 。从而得证。 本题还可连接 OD ,利用三角形中位线来求证 ?B ? ?C 证明:连接 AD 。

∵ AB 是圆 O 的直径,∴ ?ADB ? 900 (直径所对的圆周角是直角) 。 ∴ AD ? BD (垂直的定义) 。 又∵ BD ? DC ,∴ AD 是线段 BC 的中垂线(线段的中垂线定义) 。 ∴ AB ? AC (线段中垂线上的点到线段两端的距离相等) 。 ∴ ?B ? ?C (等腰三角形等边对等角的性质) 。 又∵ D, E 为圆上位于 AB 异侧的两点, ∴ ?B ? ?E (同弧所对圆周角相等) 。
答案第 11 页,总 14 页

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∴ ?E ? ?C (等量代换) 。 22.见解析 【考点】矩阵的运算,矩阵的特征值。 【解析】由矩阵 A 的逆矩阵,根据定义可求出矩阵 A ,从而求出矩阵 A 的特征值 解:∵ A?1 A = E ,∴ A = A ?1

?

?

?1



? 1 3 ? ?? 4 4 ? ? 2 3? ?1 ?1 ∵ A?1 ? ? ? ,∴ A = ? A ? ? ? ?。 ?2 1 ? ? 1 ? 1? ? 2 2? ? ?
?? ? 2 ? 3 ? 2 ∴矩阵 A 的特征多项式为 f ? ? ? = ? =? ? 3? ? 4 。 ? ?1 ? ? ?2 ?
令 f ? ? ? =0 ,解得矩阵 A 的特征值 ?1 = ? 1 ?2 =4 。 ,

?? 3 ? 23.解:∵圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点, 3? 2 ?

?? 3 ? ∴在 ? sin ? ? ? ? ? ? 中令? =0 ,得 ? ? 1 。 3? 2 ?
∴圆 C 的圆心坐标为(1,0) 。 ∵ 圆

C







P

?

2,

? 4

?

, ∴



C









PC ?

? 2?

2

? 12 ? 2 ? 1? 2 cos

?
4

=1 。

∴圆 C 经过极点。∴圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos? 。 【考点】直线和圆的极坐标方程。

?? 3 ? 【解析】 根据圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点求出的圆心坐标; 根据圆 C 经 3? 2 ?
过点 P

?

2,

? 求出圆 C 的半径。从而得到圆 C 的极坐标方程 4

?

?? 3 ? 解:∵圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点, 3? 2 ?

答案第 12 页,总 14 页

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?? 3 ? ∴在 ? sin ? ? ? ? ? ? 中令? =0 ,得 ? ? 1 。 3? 2 ?
∴圆 C 的圆心坐标为(1,0) 。 ∵ 圆

C







P

?

2,

? 4

?

, ∴



C









PC ?

? 2?

2

? 12 ? 2 ? 1? 2 cos

?
4

=1 。

∴圆 C 经过极点。∴圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos? 。 24.见解析 【考点】绝对值不等式的基本知识。 【解析】根据绝对值不等式的性质求证 证明:∵ 3 | y | =| 3 y | = | 2 ? x ? y ? ? ? 2 x ? y ? |? 2 x ? y ? 2 x ? y , 由题设 | x ? y |?

1 1 1 1 5 5 ∴ ,2 x ? y |? , 3 | y |< ? = 。∴ | y |? 。 | 3 6 3 6 6 18

4 11 6? 2 (2) 11
25. (1)

【解析】 (1)求出两条棱相交时相交棱的对数,即可由概率公式求得概率 P(? ? 0) 。 (2)求出两条棱平行且距离为 2 的共有 6 对,即可求出 P(? ? 2) ,从而求出 P(? ? 1) (两 条棱平行且距离为 1 和两条棱异面) ,因此得到随机变量 ? 的分布列,求出其数学期望 解: (1) 若两条棱相交, 则交点必为正方体 8 个顶点中的一个, 过任意 1 个顶点恰有 3 条棱,
2 ∴共有 8C3 对相交棱。

∴ P(? ? 0)=

8C32 8 ? 3 4 ? ? 。 2 C12 66 11

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对, ∴ P(? ? 2)=

6 6 1 4 1 6 ? ? , P(? ? 1)=1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 2)=1 ? ? = 。 2 C12 66 11 11 11 11

∴随机变量 ? 的分布列是:

?

0

1

2

答案第 13 页,总 14 页

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P(? )
∴其数学期望 E (? )=1?

4 11

6 11

1 11

6 1 6? 2 。 ? 2? = 11 11 11 【考点定位】本题主要考查概率统计知识,离散型随机变量的分布列,数学期望的求解,随机事 件的基本运算, 本题属于基础题目, 难度中等偏上, 考查离散型随机变量的分布列和期望的求解,
在列分布列时,要注意不哟啊遗漏 ? 的取值情况。 26. (1) f (4) =4。

? n 2 ? 2 ? n为偶数 ? ( 2 ) f ( n)= ? n ?1 。 ? 2 2 n为奇数 ? ? ?
【解析】 (1)找出 n=4 时,符合条件的集合个数即可。 (2)由题设,根据计数原理进行求解 解: (1)当 n=4 时,符合条件的集合 A 为: ?2?, 4?, ?1, ?2,3?, 4? , ?1,3, ∴ f (4) =4。 ( 2)任取偶数 x ? Pn ,将 x 除以 2 ,若商仍为偶数.再除以 2 ,··· 经过 k 次以后.商 必为奇数.此时记商为 m 。于是 x=m? k ,其中 m 为奇数 k ? N * 。 2 由条件知.若 m ? A 则 x ? A ? k 为偶数;若 m ? A ,则 x ? A ? k 为奇数。 于是 x 是否属于 A ,由 m 是否属于 A 确定。 设 Qn 是 Pn 中所有奇数的集合.因此 f (n) 等于 Qn 的子集个数。 当 n 为偶数〔 或奇数)时, Pn 中奇数的个数是

n n ?1 ( ) 。 2 2

? n 2 ? 2 ? n为偶数 ? ∴ f ( n)= ? n ?1 ? 2 2 n为奇数 ? ? ?
【考点】集合的概念和运算,计数原理。

答案第 14 页,总 14 页


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